最新人教版高中数学必修5第一章《应用举例》教材习题点拨

教材习题点拨 练习(1) 1.解:在△ABS 中,AB=32.2×0.5=16.1 n mile,∠ABS=115°. 根据正弦定理, AS AB , ? sin ?ABS sin(65? ? 20?) AS= AB ? sin ?ABS =AB×sin∠ABS×2=16.1×sin115°× 2 . sin(65? ? 20?) S 到直线 AB 的距离是 d=AS×sin20°=16.1×sin115°× 2 ×sin20°≈7.06(n mile). 所以这艘船可以继续沿正北方向航行. 点拨:分析△ABS 的边角关系,可以选择正弦定理求边 AS,然后与 S 到直线 AB 的距离作比较. 2.答案:顶杆的长约为 1.89 m. 练习(2) 1.证明:在△ABP 中,∠ABP=180°-γ +β , ∠BPA=180°-(α -β )-∠ABP=180°-(α -β )-(180°-γ +β )=γ -α . 在△ABP 中,根据正弦定理得 AP AB ? , sin ?ABP sin ?APB AP a ? , sin(180?  ? ? ? ? ) sin(? ? ? ) AP= a sin(? ? ? ) . sin(? ? ? ) a sin ? sin(? ? ? ) . sin(? ? ? ) 所以山高为 h=AP×sinα = 点拨:分析△ABP 的边角关系,可以选择正弦定理求得边 AP,再解 Rt△PAQ 即可得边 PQ. 2.解:在△ABC 中,AC=65.3 m,∠BAC=α -β =25°25′-17°38′=7°47′, ∠ABC=90°-α =90°-25°25′=64°35′. 根据正弦定理,得 AC BC ? , sin ?ABC sin ?BAC BC= AC ? sin ?BAC 65   .3 sin 7?47? ? ≈9.8(m), sin ?ABC sin 64?35? ∴井架的高约为 9.8 m. 点拨:求边 BC 可以解△ABC,因为可以知道其中的两个角和一边,故选择正弦定理. 3.解:设 29°的观测点为 A,38°的观测点为 B,山顶为 C,过 C 作地平线的垂线,垂足是 D,要求 h 可以解 Rt△DBC,但是需要先知道边 BC,而 BC 可以解△ABC 得到. 山的高度为 200 ? sin 38? sin 29? ≈381.5 m. sin 9? 点拨:在△ABC 中,根据正弦定理先求出边 BC,然后在△BCD 中求 CD 的长,即山的高度. 练习(3) 答案:约 63.7°. 点拨:可以直接代入余弦定理求角. 练习(4) 1.答案:(1)约 168.52 cm2;(2)约 121.75 cm2;(3)约 425.39 cm2. 点拨:(1)直接代入三角形面积公式; (2)根据正弦定理先求出一边,再代入三角形面积公式; (3) 先由余弦定理求出一角,再利用面积公式求解. 2.答案:约 4 476.40 m2. 点拨:先将四边形分割为两个三角形,第一个已知两边和夹角,容易求其面积,第二个三角形已 知一边,需要先求另一边和一角再求面积. 3.证明:右边=bcosC+ccosB=b× a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? c2 ? b2 ? c? 2ab 2ac a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 ? c 2 ? b 2 2a 2 ? ? ? a ? 左边. = 2a 2a 2a 类似可以证明另外两个等式. 点拨:可以利用正弦定理和余弦定理化边为角 ,再进行三角变换可证明 ,也可以考虑用两定理 化角为边.本题的结论称为射影定理. 习题 1.2 A组 1.解:在△ABC 中,BC=35×0.5=17.5 n mile,∠ABC=148°-126°=22°, ∠ACB=78°+(180°-148°)=110°,∠BAC=180°-110°-22°=48°, AC BC ? , sin ?ABC sin ?BAC BC ? sin ?ABC 17.5 ? sin 22? ? AC= ≈8.82(n mile). sin ?BAC sin 48? 根据正弦定理,得 货轮到达 C 点时与灯塔 A 的距离约是 8.82 n mile. 点拨:分析△ABC,已知两角和一边,可以选择正弦定理求另一边. 2.答案:70 n mile. 点拨:可以直接代入余弦定理求解. 3.解:在△BCD 中,∠BCD=30°+10°=40°, ∠BDC=180°-∠ADB=180°-45°-10°=125°, 1 =10(n mile). 3 CD BD ? 根据正弦定理,得 , sin ?CBD sin ?BCD CD=30× 10 BD ? , sin(108? ? 40? ? 125?) sin 40? BD= 10 ? sin 40? . sin 15? 在△ABD 中,∠ADB=45°+10°=55°, ∠BAD=180°-60°-10°=110°, ∠ABD=180°-110°-55°=15°. AD BD AB ? ? , sin ?ABD sin ?BAD sin ?ADB AD BD AB ? ? 就是 , sin 15? sin 110 ? sin 55? BD ? sin 15 ? 10 ? sin 40 ? ? AD= ≈6.84( n mile), sin 110 ? sin 70 ? BD ? sin 55? 10 ? sin 40? ? sin 55? ? AB= ≈21.65(n mile). sin 110 ? sin 15? ? sin 70? 根据正弦定理,得 如果一切正常,此船从 C 开始到 B 所需要的时间为 20+ AD ? AB 6.84 ? 21.65 ×60+10≈30+ ×60≈86.98(min), 30 30 即约 1 小时 26 分 59 秒,所以此船约在 11 时 27 分

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