分类讨论在利用导数解题时的几个优先原则 Microsoft Word 文档 (2)
分类讨论在利用导数解题时的几个优先原则
433300 湖北省监利一中 利用导数解含参数的函数的单调区间或函数的最值问题，经常要考查分类讨论数学思 想，在解答过程中，讨论顾此失彼或者分类重复漏洞的现象屡屡发生，其实养成良好的做题 习惯，把握讨论中的几个优先原则，可有效的减少失误，大大提高准确率。 案例 1 分类讨论求函数的单调区间 例 1（2010 年高考山东省理科 22 题）已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? 时，讨论 f ? x ? 的单调性 解 函数定义域 ?x | x ? 0? ，
1? a x
? 1 ，当 a ?
1 2
f ?? x ? ?
1 x
?a?
a ?1 x2
??
ax 2 ? x ? 1 ? a ? 1? ? x ? 0, a ? ? 2 2? x ?
?x ? 0 ? f ?? x ? ? 0
先求函数的单调增区间，解不等式组 ?
即?
?x ? 0
2 ? h ? x ? ? ax ? x ? 1 ? a ? ? x ? 1??ax ? ?a ? 1?? ? 0
①当 a ? 0 时，不等式组为 ?
?x ? 0
? ? ? x ? 1? ? 0
? x ? 1 即 x ? ?1,?? ? ，函数 f ? x ? 单调增； x ? ?0,1? 时，函数 f ? x ? 单调减
?x ? 0 1? a ? ②当 a ? 0 时，不等式组变为 ? ， ，而 a ? 0 时 ?0 1? a ? ? ? x ? 1?? x ? a ??0 ? a ? ? ?
?x ? 0 ? ?不等式组的解为 ? 1? a ? x ? 1或 x ? a ?
得x ?1
即 x ? ?1,?? ? ,函数 f ? x ? 单调增； x ? ?0,1? 时，函数 f ? x ? 单调减
?x ? 0 ? ③当 a ? 0 时，不等式组变为 ? 1? a ? ? ?? x ? 1?? x ? a ? ? 0 ? ? ?
1
而1 ?
1－ a a
1 2
?
2a ? 1 a
? 0 ，1 ?
2a ? 1 a
，?0 ? a ?
? ?
1? ? 2?
当a ?
时不等式组变为 ?
?x ? 0 ?? x ? 1? ? 0
2
得 x ? ? ，即 x ? ?0,?? ? 函数 f(x)单调减
?x ? 1 ? 当 0 ? a ? 时，不等式组变为 ? 1? a 2 ?1 ? x ? a ?
1
?1 ? x ?
1? a a
即 f ? x ? 在 ?0,1? 上单调减，
? 1? a ? ?1? a ? , ?? ? 上单调减 ?1, ? 上单调增； ? a ? ? ? a ?
综上所述 当 a ? 0 时， f ? x ? 在 ?0,1? 上单调减，在 ?1,?? ? 上单调增 当0 ? a ? 当a ?
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时, f ? x ? 在 ?0,1? 上单调减; ? 1,
? 1? a ? ?1? a ? , ?? ? 上单调减 ? 上单调增 ? a ? ? ? a ?
1 2
时， f ? x ? 在 ?0, ?? ? 上单调减。
案例分析：分类讨论时的几个优先原则： ① 本题单调区间在定义域 ?0, ?? ? 上考虑，而分类时先求函数 f ? x ? 的增区间，其在 ?0, ?? ? 上的补集就是对应的减区间。 因此，在解题开始时，求出 f ?? x ? ?
1 x
?a?
a ?1 x2
??
ax 2 ? x ? 1 ? a x2
后，优先写出定
义域 ?0, ?? ? 和参数的范围 a ?
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； 并采用解不等式组 ?
?x ? 0 来先求函数的单调增区间。 ? f ?? x ? ? 0
目的是一方面避免出现单调区间还有 ?? ? ,1? ,不考虑定义域的错误；另一方面，使参 数的讨论在 a ?
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内进行，也为最后综合时对参数范围的讨论是否完整提供依据。
②解不等式组，涉及的二次项的系数 a ?
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，要分 a ? 0; a ? 0; a ? 0 三种情况
一般而言，先讨论 a ? 0 ；讨论 a ? 0 和 a ? 0 时先将不等式中 x 的系数变为 1。 目的，做题时常常会注意到 a ? 0 和 a ? 0 时的相对复杂的情形，却恰好漏掉 a ? 0 的 简单情况； 越是明显的越容易漏掉； 另外将 x 的系数变为 1， 可先注意到不等号是否变方向， 避免 a ? 0 时，忘记变号，将单调区间的增减性刚好弄反。
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③当 a ? 0 时，不等式中的两根 1 与
1? a a
比较大小，一般用比差法 1 ?
1? a a
?
2a ? 1 a
? 0，
1?
2a ? 1 a
一般而言， 两根大小比较用作差法， 要分成 1 ?
1? a
往往也是先考虑取等号，即 a ?
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的情形，再讨论 1 ?
a 1? a
，1 ?
1? a a
，1 ?
1? a a
三种情形，
a
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时，1 ?
目的：两个实数大小的比较，其分类按先等于，再大于，小于可避免漏掉等于情形。 另外，本题如果将条件改为 a ? R ，显然，还要考虑 a ?
1? a a
，从而不等式
?x ? 0 ?x ? 1 ? ? 组变为 ? 1 ? a ， 即 x ? 1或 ? 1? a ? x ? 1或 x ? ?x ? a a ? ?
还需进一步比较 a ? 理如下：
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时，
1? a a
与 0 大小，于是继续分 a ? 1,
1 2
? a ? 1, 和 a ? 1 ，处
?x ? 0 a ? 1 时，不等式组为 ? ? x ? 1 ， 即 f ? x ? 在 ?0,1? 上单调减， ? x ? 1或 x ? 0
在 ?1,?? ? 上单调增；
a ? 1 时，
1? a a
? 0 ，故不等式解为 x ? 1
即 f ? x ? 在 ?0,1? 上也是单调减， ?1,?? ? 上还是单调增；
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? a ? 1 时， 0 ?
? ?
1? a a
? 1 故不等式组解为 x ? 1 或 0 ? x ?
1? a a
即 f ? x ? 在 ? 0,
1? a ? ?1? a ? ,1? 单调减， ?1,?? ? 单调增 ? 单调增， ? a ? ? a ?
很明显，在 a ?
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时，因 ? 1 ?
1? a a
? 1 ，则需考虑
1? a a
与 0 的大小的三种情形。
④分类讨论结束，综合时，要检查参数的范围取并集是否恰好是 a ? 2 案例 2：分类讨论求函数的最值
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，做到没有遗漏.
例 2（2011 年高考浙江文科 21 题）设函数 f ? x ? ? a ln x ? x ? ax, a ? 0（1）求 f ? x ?
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的单调区间； （2）求所有的实数 a ，使 e ? 1 ? f ? x ? ? e 对 x ? ?1, e? 恒成立
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注 e 为自然对数的底数，
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解 （1） f ?? x ? ? 减区间为 ?a , ?? ?
a2 x
? 2x ? a ? ?
? x ? a ??2 x ? a ?
x
? x ? 0, a ? 0 ? ， 所以增区间为 ?0, a ? ，
（ 2 x ? ?1, e? 时 ， e ? 1 ? f ? x ? ? e 对 x ? ?1, e? 恒 成 立 ， 即 f min ? x ? ? e ? 1 和
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f max ? x ? ? e 2 要同时成立.由题意得， f ?1? ? a ? 1 ? e ? 1 ，即 a ? e
由(1)知 f ? x ? 在 ?1, e ? 内单调递增。? ?
? f min ? x ? ? f ?1? ? a ? 1 ? e ? 1
2 2 2 ? f max ? x ? ? f ?e ? ? a ? e ? ae ? e
得?
?a ? e ?? 2e ? a ? e
解得 a ? e
案例分析 ①含参数函数的最值求解的一般方法是： 先分析函数在整个定义域上的单调性， 再考虑 给定区间 ?1， e ? 的单调性来确定最值。如果用这样一般的思路， 则因为 a ? R ,首先对于 f ?? x ? ? ?
? x ? a ??2 x ? a ?
x
? x ? 0, a ? R ? 的单调性应分成三类
a ? 0 时，在 ?0, a ? 上单调增， ?a , ?? ? 单调减 a ? 0 时，在 ?0, ?? ? 上单调减
a? ? ? a ? a ? 0 时，在 ? 0,? ? 上单调增， ? ? , ?? ? 单调减 2? ? ? 2 ?
那么即便只考虑 a ? 0 时的情形，也要分三类考虑，即 ⑴ a ? e 时 f ? x ? 在 ?1, e ? 上单调增 求出 a ? e ?a ? e ? ? ? f max ? x ? ? f ?e ? ? e 2 ? f ? x ? ? f ?1? ? e ? 1 ? min ⑵1 ? a ? e 时， f ? x ? 在 ?1, a ? 上单调增， ?a, e ? 上单调减
?1 ? a ? e ? 2 ? f max ? x ? ? f ?a ? ? e ?? ? f ?1? ? e ? 1 ? f ?e ? ? e 2 ?
大小比较了.
a ??
此处因 f min ? x ? 只可能在 f ?1? 和 f ?e ? ,不再把两者进行
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⑶ 0 ? a ? 1 时， f ? x ? 在 ?1, e ? 上单调减
?0 ? a ? 1 ? ? ? f max ? x ? ? f ?1? ? a ? 1 ? e 2 ? 2 2 ? f min ? x ? ? f ?e ? ? a ? e ? ae ? e ? 1
?0 ? a ? 1 ? ?? ? e ? 5e 2 ? 4 e ? 4 ? e ? 5e 2 ? 4 e ? 4 a? 或a? ? 2 2 ?
而
? e ? 5e ? 4 e ? 4 2
?1,
? e ? 5e ? 4 e ? 4 2
? 0 , 从而解集也为 ?
综合得， a ? 0 时，取 a ? e 同理，还需对 a ? 0 进行类似的分三种情况讨论，即 － 以及 a ? 0 的讨论 可见机械地沿用先整体分析 ?0， ? ? 上单调性，再局部分析 ?1， e ? 上的单调性，会产 ? 生三类七种不同情况的讨论，而且可以看到非常繁琐的计算，这虽然是通性、通法、通解 ②解答之所以能化繁为简，四两拔千斤，就是因为在分类讨论前，优先考虑参数 a 的范围， 不是简单的 a ? R ，而是用 f ?1? ? a ? 1 ? e ? 1 缩小 a ? e ，从而三类七种不同情况的分类 只有一种情况 至此可见，分类讨论在导数解题时的几个优先原则有：先确定定义域；先缩小参数的范 围；当自变量最高次数的系数为参数，要考虑参数为零，为正、为负的三种可能；在比较两 根 ? 与 ? 大小时，要考虑 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? 三种可能；而且一般先考虑等号，再考虑不 等情形
a 2
? e ；1 ? ?
a 2
? e ；?
a 2
? 1；
5