小初高学习高中数学第二章平面向量第四节平面向量的数量积第二课时示范教案新人教A版必修4

学习教育+K12 资料 第二章第四节平面向量的数量积第二课时 整体设计 教学内容分析 以物体受力做功为背景引入数量积的概念,使向量数量积运算与物理知识联系起来;向 量数量积与向量的长度及夹角的关系;进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有 关的性质、几何意义和运算律. 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修 4》(A 版)第二章、第 4 节 第 1 课时.它是平面向量的核心内容,向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位 置关系,而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征,向量的数量积恰好是解决问题的一 个重要工具. 本节的知识结构: 学生学习情况分析 本节以力对物体做功作为背景,研究平面向量的数量积,以及对运算律的理解和平面向 量的数量积的灵活应用.但是,学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量,寻找两 向量的夹角又容易想当然.通过情境创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内 容.利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角,这些刻画几何元素(点、 线、面)之间度量关系的基本量学生容易混淆.利用数量积运算来反映向量的长度和两个向 量间夹角的关系解决问题,是学生学习本节内容的重点又是难点.由向量的线性运算迁移, 引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡,深入浅出、符合学生的认知规律,也有利于明 确本节课的教学任务,激发学生的学习兴趣和求知欲望. 设计思想 《高中数学课程标准》指出:“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手 实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”,转变学生的学习方式,激发学生 的学习积极性,让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来,这是新课程数学教学的 基本要求.《高中数学课程标准》还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过 程与方法,培养学生的情感态度、价值观的三维目标.为此,结合本节课的教学内容,教学 中注重过程、方法,注重引导学生自觉去看书,不断提出问题、研究问题,并解决问题.重 视在师生,生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观. 教学目标 通过师生互动、学生的自主探究:(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义;(2) 掌握向量数量积的性质和运算律,会进行平面向量数量积的运算;(3)能运用数量积表示两 个向量的夹角,会用数量积判断两个向量的垂直关系;(4)通过向量的线性运算及多项式乘 法运算的对照,强化学生的类比思想;通过数量积的性质、运算律的灵活应用,发展学生从 特殊到一般的能力,培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯. 教材重点和难点 重点是平面向量的数量积的概念和性质;用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹 角;平面向量数量积的运算律的探究及应用. 难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解;平面向量数量积的灵活应用. 教学过程 情境 1 问题 回忆物理中“功”的计算,它的大小与哪些量有关?结合向量的学习你有什么想 法?若一个物体在力 F 的作用下产生的位移为 s,那么力 F 所做的功 W 等于多少? 学习教育+K12 资料 学习教育+K12 资料 图3 设计意图 以物理问题为背景,初步认识向量的数量积,为引入向量的数量积的概念作铺垫. 师生互动 生:W=|F||s|cosθ (其中 θ 是 F 和 s 的夹角). 师:功是一个矢量还是标量?它的大小由哪些量来确定? 显然功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定.从中我们得到一个启发:能否将功 看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果呢?从而得出平面向量的“数量积”的概念. 情境 2 1.定义向量数量积.弄清定义中涉及哪些量?它们有怎样的关系?运算结果是向量还 是数量? 2.如何确定两个非零向量的数量积的符号,什么情况下值为零? 设计意图 使学生从感性到理性去认知数量积的定义.通过对概念的认识、分析和探究,使学生加 深理解,并掌握相关的性质及几何意义.同时加深对投影的认识. 师生互动 1.仿照物理问题建构“数学模型”,引入“向量数量积”的概念:已知两个非零向量 a 与 b,把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作:a·b,即 a·b= |a||b|cosθ (其中 θ 是 a 与 b 的夹角).|a|cosθ (|b|cosθ )叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影. 图4 2.规定:零向量与任何向量的数量积为 0. 3.(1)数量积运算结果的符号取决于 a 与 b 的夹角 θ (θ ∈[0,π ])的大小;(2)两个 向量的数量积是一个数量,它与两个向量的长度及其夹角有关;(3)符号 a·b 不能写成 ab 或 a×b 的形式;(4)找向量的夹角时,应将两向量的起点平移到同一个点上. 4.探究其性质: (1)a⊥b?a·b=0(a 与 b 都是非零向量); 设置情境:若 a·b=0,则向量 a 与 b 至少有一个是零向量.类比 a,b∈R 时,若 ab =0?a=0 或 b=0.而且此性质在解决有关线段垂直问题时具有很好的作用. (2)当向量 a 与 b 共线同向时,a·b=|a||b|;当向量 a 与 b 共线反向时,a·b=-|a||b|. 特别地 a·a=a2=|a|2 或|a|= a·a= a2(与二次根式性质: a2=|a|进行类比).这是求 向量长度的又一重要方法. 情境 3 由学生自主学习来完成书本例题 1. 设计意图 通过计算巩固对数量积定义的理解,进一步引导学生对|a·b|和|a||b|的大小关系进行 一般的研究比较. 师生互动 从例 1 容易得出性质|a·b|≤|a||b|和数量积的几何意义. 情境 4 给学生 2~3 分钟时间,阅读教材,并对前面所学的内容及研究方法作一个归纳小结. 设计意图 培养学生的阅读能力和及时进行归纳小结的学习习惯.把课堂还给学生,体现师生间的 学习教育+K12 资料 学习教育+K12 资料 合作探究,不管是老师还是课件,都是为学生服务的,

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