一般数列求和方法

一般数列求和方法
一般数列的求和方法 (1) 直接求和法,如等差数列和等比数列均可直接求和. (2) 部分求和法将一个数列分成两个可直接求和的数列,而后可求出数列的前 n 项的和. (3) 并项求和法将数列某些项先合并,合并后可形成直接求和的数列. (4) 裂项求和法将数列各项分裂成两项,然后求和. (5) 错位相减求和法.用 Sn 乘以 q ,若数列{ an }为等差数列,{ bn }为等比数 列,则求数列{ anbn }的前 n 项的和均可以采用此方法. (6) 拟等差,写成一堆式子再相加。(叠加 )

对于一些非等差数列,又非等比数列的某些数列求和,是教材的难点。不过,只 要认真去探求这些数列的特点。和结构,也并非无规律可循。 典型示例: 1、 用通项公式法: 规律:能用通项公式写出数列各项,从而将其和重新组合为可求数列和。 例 1:求 5,55,555,…,的前 n 项和。 解:∵an= 5 9(10n-1) ∴Sn = 5 9(10-1)+ 5 9(102-1) + 5 9(103-1) + … + 5 9(10n-1) = 5 9[(10+102+103+……+10n)-n] = (10n+1-9n-10) 2、 错位相减法: 一般地形如{an·bn}的数列,{ an }为等差数列, { bn }为等比数列,均可用 错位相减法求和。 例 2:求:Sn=1+5x+9x2+……+(4n-3)xn-1 解:Sn=1+5x+9x2+……+(4n-3)xn-1 ① ①两边同乘以 x,得 x Sn=x+5 x2+9x3+……+(4n-3)xn ② ①-②得,(1-x)Sn=1+4(x+ x2+x3+……+ )-(4n-3)xn 当 x=1 时,Sn=1+5+9+……+(4n-3)=2n2-n 当 x≠1 时,Sn= 1 1-x [ 4x(1-xn) 1-x +1-(4n-3)xn ] 3、 裂项抵消法: 这一类数列的特征是:数列各项是等差数列某相邻两项或几项的积, 一般地,{an}是公差为 d 的等差数列,则: 即裂项抵消法, 多用于分母为等差数列的某相邻 k 项之积,而分子为常量的分 式型数列的求和,对裂项抵消法求和,其裂项可采用待定系数法确定。 例 3:求 1 3, 1 1 5, 1 3 5, 1 63 之和。 解: 4、 分组法: 某些数列,通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,从而可利用 等差数列或等比数列的求和公式分别求和,从而得出原数列之和。 例 4:求数列 的前 n 项和。 解:

5、 聚合法: 有的数列表示形式较复杂,每一项是若干个数的和,这时常采用聚合法, 先对其第 n 项求和,然后将通项化简,从而改变原数列的形式,有利于找出解题 办法。 例 5:求数列 2,2+4,2+4+6,2+4+6+8,……,2+4+6+……+2n,…的前 n 项和 解:∵an=2+4+6+……+2n= n(n+1)=n2+n ∴Sn=(12+1)+(22+2)+(32+3) +……+( n2+n) =(12+22+32+……+ n2)+(+2+3+……+n) = n(n+1)(2n+1)+ n(n+1) = 1 3n(n+1)(n+2) 以上一个几种方法虽然各有其特点,但总的原则是要善于改变原数列的形式结 构, 使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知 的基本求和公式来解决,只要很好地把握这一规律,就能使数列求和化难为易, 迎刃而解。

精华知识 数列求和有哪五种方法?
精华知识 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: 2、 等比数列求和公式: 自然数方幂和公式: 3、 4、 5、 [例] 求和 1+x2+x4+x6+…x2n+4(x≠0) 解: ∵x≠0 ∴该数列是首项为 1,公比为 x2 的等比数列而且有 n+3 项 当 x2=1 即 x=± 1 时 和为 n+3 评注: (1)利用等比数列求和公式.当公比是用字母表示时,应对其是否为 1 进行讨论,如本题若 为“等比”的形式而并未指明其为等比数列,还应对 x 是否为 0 进行讨论. (2)要弄清数列共有多少项,末项不一定是第 n 项. 对应高考考题:设数列 1, (1+2) ,…, (1+2+ ) ,……的前顶和为 ,则 的值。 二、错位相减法求和 错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置, 近几年来的高考题其中的数列方面都出了这 方面的内容。 需要我们的学生认真掌握好这种方法。 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和 公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an? bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别 是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的 公比 ;然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和,这种方法就

是错位相减法。 [例] 求和: ( )………………………① 解:由题可知,{ }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ }的通项之积 设 ………………………. ② (设制错位) ①-②得 (错位相减) 再利用等比数列的求和公式得: ∴ 注意、1 要考虑 当公比 x 为值 1 时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。 对应高考考题:设正项等比数列 的首项 ,前 n 项和为 ,且 。 (Ⅰ)求 的通项; (Ⅱ) 求 的前 n 项和 。 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再 把它与原数列相加,就可以得到 n 个 . [例] 求证: 证明: 设 ………………………….. ① 把①式右边倒转过来得 (反序) 又由 可得 …………..…….. ② ①+②得 (反序相加) ∴ 四、分组法求和 有一类数列, 既不是等差数列, 也不是等比数列, 若将这类数列适当拆开, 可分为几个等差、 等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 若数列 的通项公式为 ,其中 中一个是等差数列,另一个是等比数列,求和时一般用分组 结合法。 [例]:求数列 的前 n 项和; 分析: 数列的通项公式为 , 而数列 分别是等差数列、 等比数列, 求和时一般用分组结合法; [解] :因为 ,所以 分组) 前一个括号内是一个等比数列的和,后一个括号内是一个等差数列的和,因此 五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分 解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: [例] 求数列 的前 n 项和. 解:设 (裂项) 则 (裂项求和) 小结: 此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后, 其中中间的大部分项都互相抵消了。 只剩下有限的几项。 注意: 余下的项具有如下的特点 1 余下的项前后的位置前后是对称的。 2 余下的项前后的正负性是相反的。


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