【成才之路】3.3.2均匀随机数的产生_图文

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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
概率

第三章

概率

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第三章
3.3 几何概型 3.3.2 均匀随机数的产生

第三章

概率

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1

优 效 预 习

3

当 堂 检 测

2

高 效 课 堂

4

课 时 作 业

第三章

3.3

3.3.2

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优效预习

第三章

3.3

3.3.2

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●知识衔接
1.如右图,A 是圆上固定的一点,在圆上其他位置任取一点 A′,连接 AA′,它是一条弦,它的长度小于或等于半径长度的 概率为( 1 A.2 1 C.3 ) 3 B. 2 1 D.4

[答案] C

第三章

3.3

3.3.2

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2.如右图所示, 在地面上放置着一个塑料圆盘, 吉克将一粒玻 璃球丢在该圆盘中,则玻璃球落在 A 区域内的概率是( 1 A.2 1 C.4 1 B.8 D.1 )

[答案] A

第三章

3.3

3.3.2

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[解析] 玻璃球丢落在该圆盘内, 玻璃球落在各个区域内是随 机的,也是等可能的,并且落在该圆盘内的任何位置是等可能的, 4 因此该问题是几何概型.由于 A 区域占整个圆形区域面积的8,所 1 以玻璃球落入 A 区域的概率为2.

第三章

3.3

3.3.2

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●自主预习 1.均匀随机数

(1)定义
如果试验的结果是区间 [a,b]上的任何一个实数,而且出 现任何一个实数是等可能的,则称这些实数为均匀随机数.

第三章

3.3

3.3.2

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(2)特征 ①随机数是在一定范围内产生的; 相等 . ②在这个范围内的每一个数被取到的可能性________ (3)产生方法:方法一,利用几何概型产生;方法二,用转 计算器 或________ 计算机 产生. 盘产生;方法三,用________ (4) 应用:利用均匀随机数可以进行随机模拟试验估计 几何概型 的概率. ____________

第三章

3.3

3.3.2

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2.[0,1]上均匀随机数的产生
(1)利用计算器产生0~1之间的均匀随机数

(2)利用计算机产生 Excel 中用“ rand( )”函数来产生 [0,1] 区间上的均匀随

机数,每调用一次“rand(

)”函数,就产生一个随机数.

第三章

3.3

3.3.2

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3.[a,b]上均匀随机数的产生 (1)计算器不能直接产生区间 [a,b]上的均匀随机数,只能 利用线性变换产生.如果x是区间[0,1]上的均匀随机数,则a+ (b-a)x就是[a,b]上的均匀随机数;

(2) 利用计算机 Excel 中的随机函数“ rand(
a”得到.

)*(b - a) +

第三章

3.3

3.3.2

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●预习自测 1.下列关于随机数的说法:
①计算器只能产生(0,1)之间的随机数; ②计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数; ③计算器只能产生均匀随机数; ④我们通过命令rand( 间的随机数. 其中正确的是________. [答案] ④ )*(b-a)+a来得到两个整数值之

第三章

3.3

3.3.2

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[解析]
题号 ① ② ③ 判断 × × × 原因分析 计算器可以产生[0,1]上的均匀随机数和[a,b] 上的整数值随机数等 计算器不可以产生[a,b]上的均匀随机数,只 能通过线性变换得到 计算器可以产生整数值随机数





显然正确

第三章

3.3

3.3.2

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[规律总结]

随机数的产生还可以通过人工操作.例如:

抽签、摸球、转盘等方面,但这样做费时费力,用计算机可产 生大量的随机数,又可以自动统计试验结果,同时可以在短时 间内多次重复试验,方便快捷.因此,我们现在主要是通过计

算器或计算机来产生随机数.

第三章

3.3

3.3.2

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2.下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是( A.旋转的次数的多少不会影响估计的结果 B.旋转的次数越多,估计的结果越精确 C.旋转时可以按规律旋转 D.转盘的半径越大,估计的结果越精确 [答案] C

)

第三章

3.3

3.3.2

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3 .将 [0,1] 内的均匀随机数转化为 [ - 2,6] 内的均匀随机
数,需实施的变换为( A.a=a1*8 C. a=a1*8-2 [答案] C ) B.a=a1*8+2 D.a=a1*6

[解析]

将0~1之间的随机数转化为 a~b之间的随机数需

进行的变化为a=a1*(b-a)+a.

第三章

3.3

3.3.2

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4.用计算器产生一个区间[10,20]内的随机数 a(a∈R),则这 个实数 a<14 的概率为( 2 A.5 ) 3 B.5

1 1 C.5 D.2 [答案] A [解析] 因为区间[10,20]内有无数个实数, 且取任一实数概率
是相等的,符合几何概型的条件.又 a<14,从而区间长度为 4, 4 2 故所求的概率为10=5.
第三章 3.3 3.3.2

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高效课堂

第三章

3.3

3.3.2

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●互动探究 用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率

取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪 断,用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于 1 m 的概 率. [探究] 在任意位置剪断绳子,则剪断位置到某一端点的 距离取遍 [0,3] 内的任意数,并且取到每一个实数都是等可能 的.因此在任意位置剪断绳子的所有结果 ( 基本事件 ) 对应 [0,3] 上的均匀随机数,其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置 与端点距离在[1,2]内,也就是剪得两段的长都不小于1 m.这 样取得的[1,2]内的随机数个数与 [0,3]内的随机数个数之比就是 事件发生的频率.
第三章 3.3 3.3.2

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[解析] 解法1:设“剪得两段长都不小于1 m”为事件A. (1) 利用计算器或计算机产生一组 [0,1] 的均匀随机数 a1 = RAND.

(2)经过伸缩变换,a=3a1.
(3)统计出[1,2]内随机数的个数N1和[0,3]内随机数的个数N.

第三章

3.3

3.3.2

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N1 (4)计算频率 fn(A)= N 即为概率 P(A)的近似值. 解法 2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度 [0,3](这里 3 和 0 重合).转动圆盘记下指针指在[1,2](表示剪断绳 N1 子位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总次数 N, 则 fn(A)= N 即为 概率 P(A)的近似值.

第三章

3.3

3.3.2

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[规律总结]

用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率的

步骤:(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数 a1= RAND; (2)经过伸缩变换 y=(b-a)x+a,得到一组[a,b]上的均匀随 机数; (3)统计出试验总次数 N 和满足所求概率事件的随机数个数 N1; N1 (4)计算频率 fn(A)= N ,即为所求概率的近似值.
第三章 3.3 3.3.2

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[特别提醒]

用随机模拟的方法估计事件的概率,首先要

确定所求的几何概型与哪个量有关系,然后产生相应的随机 数,并严格按照实验步骤进行.

第三章

3.3

3.3.2

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(1)将区间[0,1]内的均匀随机数x1转化为区间[-2,2]内的均
匀随机数x,需要实施的变换为( A.x=x1×2 C.x=x1×2+2 ) B.x=x1×4 D.x=x1×4-2

(2)取一根长度为5 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,用 均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于 2 m的概率有多 大?

第三章

3.3

3.3.2

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[探究]

1.如果试验的基本事件构成的总区域为[a,b],如

何产生[a,b]上的随机数,进行模拟试验? 2 .用模拟方法对长度型几何概型进行概率估计的步骤是

什么?
[解析] (1)因为x1∈[0,1], 所以0≤4x1≤4,-2≤4x1-2≤2, 所以x=x1×4-2满足题意.

第三章

3.3

3.3.2

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(2)设剪得两段的长都不小于 2 m 为事件 A. 方法一: ①利用计算器或计算机产生 n 个 0~1 之间的均匀随 机数,x=RAND. ②作伸缩变换:y=x*(5-0),转化为[0,5]上的均匀随机数. ③统计出[2,3]内均匀随机数的个数 m. m ④则概率 P(A)的近似值为 n .

第三章

3.3

3.3.2

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方法二:①做一个带有指针的转盘,把圆周五等分,标上刻 度[0,5](这里 5 和 0 重合). ②固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针,记下指针在[2,3] 内(表示剪断绳子位置在[2,3]范围内)的次数 m 及试验总次数 n. m ③则概率 P(A)的近似值为 n .

第三章

3.3

3.3.2

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用随机模拟方法估计面积型几何概型的概率 解放军某部进行特种兵跳伞演习,如图所示,

在长为16 m,宽为14 m的矩形内有大、中、小三个同心圆,其
半径分别为1 m、2 m、5 m.若着陆点在圆环B内,则跳伞成绩 为合格;若着陆点在环状的阴影部分,则跳伞成绩为良好;若 跳伞者的着陆点在小圆 A内,则跳伞成绩为优秀;否则为不合 格.若一位特种兵随意跳下,假设他的着陆点在矩形内,利用 随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率,

第三章

3.3

3.3.2

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[ 探究 ]

本题为面积型几何概型,所求的概率为面积之

比,若用随机模拟的方法求其概率则要转化为求点数之比,要 表示平面图形内的点必须有两个坐标,故需产生两组随机数来 表示点的坐标以确定点的位置. [解析] 设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”.

(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1
=RAND, b1=RAND. (2) 经过伸缩和平移变换, a = 16a1 - 8,6 = 14b1 - 7 ,得到 [-8,8]与[-7,7]上的均匀随机数.

第三章

3.3

3.3.2

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(3)统计满足-8<a<8,-7<b<7 的点(a,b)的个数 N.满足 1<a2 +b2<4 的点(a,b)的个数 N1. N1 (4)计算频率 fn(A)= N 即为所求概率的近似值.

第三章

3.3

3.3.2

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[规律总结]

用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概

型的概率的区别与联系: (1)联系:二者模拟试验的方法和步骤基本相同,都需产生 随机数; (2)区别:长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可,

所求事件的概率为表示事件的长度之比,对面积型几何概型问
题,一般需要确定点的位置,而一组随机数是不能在平面上确 定点的位置的,故需要利用两组均匀随机数分别表示点的两个 坐标,从而确定点的位置,所求事件的概率为点的个数比.

第三章

3.3

3.3.2

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在本例中,如何利用随机模拟的方法求该特种兵的成绩为
不合格的概率. [探究] 可用点的个数比来求概率,要表示平面图形内的 点必须有两个坐标,故可产生两组随机数来表示点的坐标以确 定点的位置.

第三章

3.3

3.3.2

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[解析] 设事件 A 表示“该特种兵跳伞的成绩不合格”. (1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1= RAND,b1=RAND. (2)经过伸缩和平移变换,a=16a1-8,b=14b1-7,得到[- 8,8]与[-7,7]上的均匀随机数. (3)统计满足-8<a<8,-7<b<7 的点(a,b)的个数 N.满足 a2 +b2>25 的点(a,b)的个数 N1. N1 (4)计算频率 fn(A)= N 即为所求概率的近似值.
第三章 3.3 3.3.2

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●探索延拓

利用随机模拟试验估计不规则图形的面积
利用随机模拟方法计算图 中阴影部分(曲线y=2x与x轴、x=±1围成 的部分)的面积. [ 探究 ] 在坐标系中画出正方形,用 随机模拟方法可以求出阴影部分与正方形

的面积之比,从而求得阴影部分面积的近
似值.
第三章 3.3 3.3.2

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[解析] 步骤:(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数, a1=RAND,b1=RAND. (2)进行平移和伸缩变换, a=2(a1-0.5), b=2b1, 得到一组[- 1,1]内的均匀随机数和一组[0,2]内的均匀随机数. (3)统计试验总数 N 和落在阴影内的点数 N1[满足条件 b<2a 的 点(a,b)的个数]. N1 (4)计算频率 N ,即为点落在阴影部分的概率的近似值.

第三章

3.3

3.3.2

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N1 S (5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为 P=4, 则N S =4. 4N1 4N1 故 S= N ,即阴影部分面积的近似值为 N .

第三章

3.3

3.3.2

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[规律总结]

利用随机模拟方法估计图形面积的步骤是: ①把

已知图形放在平面直角坐标系中,将图形看成某规则图形(长方形 或圆等)的一部分,并用阴影表示;②利用随机模拟方法在规则图 NA 形内任取一点,求出落在阴影部分的概率 P(A)= N ;③设阴影部 N1 N1 S 分的面积是 S,规则图形的面积是 S′,则有 = ,解得 S= N S′ N N1 S′,则所求图形面积的近似值为 N S′.

第三章

3.3

3.3.2

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利用随机模拟方法计算图中阴影部分
(y = x3 和 x = 2 以及 x 轴所围成的部分 ) 的面 积. [ 探究 ] 解答本题可先计算与之相应 的规则图形的面积,然后利用随机模拟的 方法求出几何概率,并对阴影部分的面积 进行估算.

第三章

3.3

3.3.2

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[解析] 在坐标系中画出矩形(x=0,x=2,y=0,y=8 所围 成的图形),利用面积比与概率、频率的关系进行求解. (1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1= RAND,b1=RAND; (2)经过伸缩变换,a=2a1,b=8b1; (3)统计出试验总次数 N 和落在阴影部分(满足 b<a3)点(a,b) 的个数 N1; N1 (4)计算频率 N 就是点落在阴影部分的概率的近似值;
第三章 3.3 3.3.2

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(5)设阴影部分的面积为 S.由几何概型概率公式得点落在阴影 16N1 S S N1 部分的概率为16.所以16= N .所以 S≈ N 即为阴影部分面积的近 似值.

第三章

3.3

3.3.2

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[规律总结]
法揭秘:

用随机模拟法近似计算不规则图形的面积方

(1)用随机模拟试验估计不规则图形的面积的基本思想是, 构造一个包含这个图形的规则图形作为参照,通过计算机产生 某区间内的均匀随机数,再利用两个图形的面积之比近似等于

分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.
(2)解决此类问题的关键是利用随机模拟法和几何概型的概 率公式分别求出几何概率,然后通过解方程求得相应部分面积 的近似值.

第三章

3.3

3.3.2

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(3)对于较复杂的问题通常需要设计一个图形,使其面积与 某个常数有关,进而就可以设计一个概率模型,然后设计适当 的试验并通过这个试验结果来确定所求面积的近似值. [特别提醒] 解决此类问题时应注意两点:一是选取适当 的对应图形,二是由几何概型的概率公式正确的计算概率,

第三章

3.3

3.3.2

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●误区警示 在正方形中随机撒一把豆子, 通过考察落在其内切圆内豆子的数目,用随机 模拟的方法可计算圆周率π的近似值(如图). (1) 用两个均匀随机数 x ,y 构成的一个点的 坐标(x,y)代替一颗豆子,请写出随机模拟法的

方案.
(2)以下程序框图用以实现该模拟过程,请 将它补充完整, ( 注: rand( ) 是计算机在 Excel 中产生[0,1]区间上的均匀随机的函数)
第三章 3.3 3.3.2

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[ 失分警示 ]

1. 误认为面积问题与边界无关,但与随机数

值有关,导致落在阴影内的点数N1错误.也导致第二问填错. 2.计算错误,图形面积计算错误;N1与N的比值错误;几 何概率与频率关系错误. [规范解答] (1)具体方案如下:

①利用计算器产生两组 [0,1] 区间上的均匀随机数, x1 =
RAND,y1=RAND; ②经过平移和伸缩变换,x=2(x1-0.5),y=2(y1-0.5); ③统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件x2+ y2≤1的点(x,y)的个数);
第三章 3.3 3.3.2

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N1 ④计算频率 N ,即为点落在圆内的概率的近似值; ⑤设圆的面积为 S, 由几何概率公式得点落在阴影部分的概率 4N1 S S N1 为 P=4,所以4≈ N 所以 S≈ N 即为圆的面积的近似值. 4N1 又 S=πr =π,所以 π=S≈ N 即为圆周率的近似值.
2

(2)由题意, 第一个判断框中应填 x2+y2≤1,其下的处理框中应填 m=m +1, m 跳出循环体后的处理框中应填 P= n .
第三章 3.3 3.3.2

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[防范措施] 1.准确应用条件 要深入理解利用均匀随机数估计概率的思想,掌握列出相 关条件的规律方法,确保条件应用准确,如本例中豆子落在正 方形的内切圆中.

2.熟练掌握公式
熟练掌握随机数伸缩变换公式,能正确产生所需随机数.

第三章

3.3

3.3.2

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3.正确分析图形
弄清基本事件对应的图形并正确计算其面积,弄清所求事 件对应的图形并正确计算其面只,如本例中准确计算内切圆面 积. 4.规范解答

解答题的解答过程要规范,计算要准确,养成准确计算、
化简的解题习惯.

第三章

3.3

3.3.2

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为了测算如图阴影部分的面积,作一个边长为6 的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷800 个点,已知恰有200个点落在阴影部分内,据此,试

估计阴影部分的面积. [解析] 根据题意,设阴影部分的面积为 S,由题意可得正方
形的面积为 36,向正方形内随机投掷 800 个点,已知恰有 200 个 点落在阴影部分内,则向正方形内随机投掷一点,其落到阴影部 200 1 S S 1 分的概率 P=800=4,而 P=36,则36=4,可得 S=9,即阴影部 分的面积约为 9.
第三章 3.3 3.3.2

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当堂检测

第三章

3.3

3.3.2

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1.关于随机模拟方法,下列说法正确的是( A.比扔豆子试验更精确 B.所获得的结果比较精确 C.可以用来求平面图形面积的精确值

)

D.是用计算器或计算机模拟实际的实验操作
[答案] D

第三章

3.3

3.3.2

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2.下列说法与均匀随机数特点不符的是( A.我们常用的是[0,1]内的均匀随机数 B.它是一个随机数 C.出现每一个实数是等可能的

)

D.它是随机数的平均数
[答案] D

第三章

3.3

3.3.2

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3 .把 [0,1] 内的均匀随机数转化为 [ - 3,6] 内的均匀随机 数,需实施的变换为( A.y=9x ) B.y=9x+3

C.y=9x-3
[答案] C

D.y=6x-3

第三章

3.3

3.3.2

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4.如图,在正方形内有一扇形(见阴影部分).扇形对应的圆 心是正方形的一顶点,半径为正方形的边长,在这个图形上随机 地撒一粒黄豆,它落在扇形外正方形内的概率为( π A.1-4 π C.1-2 π B.4 π D.2 )

[答案] A

第三章

3.3

3.3.2

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5.设函数 f(x)=x+2,x∈[-6,6],那么任取一个数 x0∈[- 6,6]使 f(x0)>0 的概率为( 3 A.4 2 C.3
[答案] C

) 1 B.4 1 D.3

第三章

3.3

3.3.2

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课时作业
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第三章

3.3

3.3.2


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