2.2.1条件概率(一)x_图文

高二数学 选修2-3

2.2.1条件概率(一)

复习引入:
1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的 和事件,记为 A ? B (或 A ? B ); 2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件, 记为 A ? B (或 AB ); 3. 求事件的概率有加法公式:

若事件A与B互斥,则. P( A ? B) ? P ( A) ? P ( B)

探究:
三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学 无放回的抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率 是否比前两名同学小。

思考1?
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那 么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少?
已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最 后一名同学抽到中奖奖券的概率呢? 一般地,在已知另一事件A发生的前提下,事件B发 生的可能性大小不一定再是P(B). 条件的附加意味着对样本空间进行压缩.

思考2?
对于上面的事件A和事件B,P(B|A)与它们的概 率有什么关系呢?

n( AB ) n( AB ) P ( AB ) n (? ) P ( B | A) ? ? ? n( A) n( A) P ( A) n (? )
几何解释: P(B|A)相当于把A看作新的 基本事件空间,求A∩B发 生的概率。

?

B

A

基本概念
1.条件概率
对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的 条件下事件B发生的概率,叫做事件B发生的条件 概率。 记作P(B |A).

2.条件概率的两个计算公式:

n(AB) P(A | B) ? n(A)
(公式1)

P ( AB ) P( A | B ) ? P( A ) 注:前提 P( A) ? 0
(公式2)

3.条件概率的两个性质:
⑴ 0 ≤ P ( B | A) ≤1 ; ⑵如果 B和C 是互斥事件, 那么 P ?( B ? C ) | A? ? P( B | A) ? P(C | A)

4.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P( AB) 表示在样本空间? 中, 计算 AB发生 的概率, 而 P(B A ) 表示在缩小的样本空间? A 中, 计算 B 发生的概率.用古典概率公式, 则 AB 中样本点数 P( B A ) ? , ? A 中样本点数 AB 中样本点数 P( AB) ? ? 中样本点数 一般来说, P(B A ) 比 P( AB) 大.

例1、盒中有球如表. 任取一球 ,
玻璃 红 蓝 2 4 木质 3 7 总计 5 11

总计

6

10

16

若已知取得是蓝球,问该球是玻璃球的概率.

变式

:若已知取得是玻璃球,求取得是蓝球的概率.

4 P? 11 2 P? 3

1 1 例2 设P(A|B)=P(B|A)= ,P(A)= ,求P(B). 2 3

1 P( B) ? 3

例3、在6道题中有4道理科题和2道文科题,如果不放回
的依次抽取2道题 3 (1)第1次抽到理科题的概率 (1) P ? 5 3 (2)第1次与第2次都抽到理科题的概率 (2) P ? 10 (3)第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科 1 题的概率. (3) P ? 2

练习:抛掷两颗均匀的骰子,已知第一颗骰子掷
出6点,问:掷出点数之和大于等于10的概率。

1 P? 2

1.抛掷一颗骰子,观察出现的点数 B={出现的点数是奇数}={1,3,5} A={出现的点数不超过3}={1,2,3}

若已知出现的点数不超过3,求出现的点数是奇数 的概率
解:即事件 A 已发生,求事件 B 的概率 也就是求:P(B|A) ? A B 都发生,但样本空 间缩小到只包含A的样本点 1 5 n( AB) 2 3 2 P( B | A) ? ? n( A) 3 4,6

B

A

设 100 件产品中有 70 件一等品,25 件二等品,规 定一、二等品为合格品.从中任取1 件,求 (1) 取得一 等品的概率;(2) 已知取得的是合格品,求它是一等品 的概率. 解: 设B表示取得一等品,A表示取得合格品,则 70 P ? 0.7 (1)因为100 件产品中有 70 件一等品, ( B ) ? 100 (2)方法1: 因为95 件合格品中有 70 件一等品,所以 ? B ? A ? AB ? B 70 14 P( B A) ? ? ? 95 19 方法2: 70 95

2.

P( AB) 70 100 14 P( B A) ? ? ? P( A) 95 100 19

B

A

5

3.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7,活到25 岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种动物活到25岁 的概率。 解 设A表示“活到20岁”(即≥20),B表示 “活到25岁” (即≥25) 则 P( A) ? 0.7, P( B) ? 0.56

由于B ? A故A ? B ? B,
所求概率为

?

P( AB) P( B ) 4 P( B A) ? ? ? P( A) P( A) 5

B
5

0.56

0.7

A

4、考虑恰有两个小孩的家庭.
(1)若已知某一家有一个女孩,求这家另一个是男 孩的概率; (2)若已知某家第一个是男孩,求这家有两个男孩 (相当于第二个也是男孩)的概率.(假定生男生女 为等可能)

1 (1) P ? 2


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