广东省普宁市勤建学校2015-2016学年高二数学下学期第二次月考试题 理

普宁勤建中学 2015-2016 学年度下学期第二次月考 高二数学试题(理科)
(满分 150 分,答题时间 120 分钟) 注意事项: 1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ 卷 3 至 5 页。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。 3.全部答案答在答题卡上,答在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1、已知函数 y ? lg x 的定义域为集合 A ,集合 B ? ?x 0 ? x ? 1? ,则 A ? B ? ( A、 ? 0, ?? ? B、 ?0,1? C、 ?0,1? D、 ? 0,1? ) D、 ) )

3 ,则 tan ?? ? ? ? 的值是( 5 3 3 4 A、 ? B、 C、 ? 4 4 3 3、已知 a , b 为实数,则“ a ? b ? 2 ”是“ a ? 1且b ? 1 ”的(
2、已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ? A、充分不必要条件 C、充要条件

4 3

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

4、已知 f ? x ? ? e x ? sin x ? cos x ? ,则函数 f ? x ? 的图像 x ?
?

?
2

处的切线的斜率为(
?



A、 2e

B、 e 2

C、 e

D、 2 e 2

开始

5、已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? 满足 a1 , a3 , a4 成等比数列,Sn 为数列 ?an ?

S ? S2 的前 n 项和,则 3 的值为( S5 ? S3

m=1, i=1 ) m=m(2-i)+1 D、3 ) D、6 i=i+1

A、 ?2 B、 ?3 C、2 6、执行如图所示的程序框图,则输出的 i 值为( A、3 B、4 C、5

?? ? ? 7、将函数 f ? x ? ? 3 sin ? ? x ? ? 的图象分别向左和向右移动 之后的图象 3 3 ? ?
的对称中心重合,则正实数 ? 的最小值是( )

m=0?
校资源库

重庆名



2 A、 3

1 B、 2

3 C、 2

1 D、 3

是 输出 i
1

结束

8.已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线与坐标轴交于点 M , P 为抛物线第一象限上一 点, F 为抛物线焦点, N 为 x 轴上一点,若 ?PMF ?

?
6

, PM ? PN ? 0 ,则 (D) 2

| PF | = | PN |

(A)

3 2

(B)

4 3

(C)

3 2

9.某校投篮比赛规则如下:选手若能连续命中两次,即停止投篮,晋级下一轮.假设某选手 每次命中率都是 0.6,且每次投篮结果相互独立,则该选手恰好投篮 4 次晋级下一轮的概 率为 (A)

216 625
10

(B)

108 625

(C)

36 625

(D)

18 125

10.已知 (2 x ? 1) 为 (A) ?20

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? .... ? a9 x 9 ? a10 x10 ,求 a2 ? a3 ? .... ? a9 ? a10 的值

(B) 0

(C) 1

(D) 20

11.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2c cos B ? 2a ? b ,若 ?ABC 的面积 为S ?

3 c ,则 ab 的最小值为 12
(B)
x

(A)

1 2

1 3

( C)

1 6

(D)3

12.已知函数 f ( x) ? x ? e a 存在单调递减区间,且 y ? f ( x)的图象在 x ? 0 处的切线 l 与曲线 y ? e 相切,符合情况的切线 l
x

(A)有 3 条

(B)有 2 条

(C) 有 1 条

(D)不存在

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必 须作答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分. 共20分

? x ? y ? 0? ? ( 13 ) 设 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 1? 则 目 标 函 数 z ? 5 x ? y 的 最 大 值 ? x ? 2 y ? 1? ?

2





(14)已知 ? 是三角形的一个内角,且 sin ? 、 cos ? 是关于 x 的方程

4 x 2 ? px ? 2 ? 0

的两根,则 ? 等于 . (15)已知球 O 被互相垂直的两个平面所截,得到两圆的公共弦长为 2 ,若两圆的半径分别 为 3 和 3 ,则球 O 的表面积为 (16)已知双曲线 C: .

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点为 F1 , F2 , P 为双曲线 C 右支 a 2 b2

x 轴切于点(1,0),且 P 与点 F1 关于直线 上异于顶点的一点, ?PF 1 F2 的内切圆与
y?? bx 对称,则双曲线方程为 a


三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? an ? 1(n ? N? ) . (Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log 4 (1 ? Sn?1 ) (n ? N? ) , Tn ? 的最小的正整数 n 的值.

1 3

1007 1 1 1 ,求使 Tn ? 成立 ? ? ?? ? b1b2 b2b3 bnbn?1 2016

(18)(本小题满分 12 分) 某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况, 随机抽取了 100 名学生进行调查. 下面 是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图. (Ⅰ)根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数 x 和众数 m (同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表) ;

3

(Ⅱ)已知样本中玩电脑游戏时长在 [50,60] 的学生中,男生比女生多 1 人,现从中选 3 人 进行回访,记选出的男生人数为 ? ,求 ? 的分布列与期望

E (? ) .

(19) (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形,?BCD ? 135? , 侧面 PAB ? 底 面 ABCD , ?BAP ? 90? , AB ? AC ? PA ? 2 , E , F 分别为 BC, AD 的中点,点 M 在线段
PD 上.

(Ⅰ)求证: EF ? 平面 PAC ; (Ⅱ)如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 ABCD 所成的角相等,求
PM 的值. PD

P M A D

F C

B

E

(20) (本小题满分 12 分)

4

已知椭圆 C: 圆心,

x2 y 2 2 ,直线 l : x ? y ? 2 ? 0 与以原点为 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为 2 a b 2

以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 M 是椭圆的上顶点,过点 M 分别作直线 MA, MB 交椭圆于 A , B 两点,设两 直线的斜率分别为 k 1 , k2 ,且 k1 ? k2 ? 4 , 证明:直线 AB 过定点( ?

1 ,-l). 2

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 2 x ? 2ax ? 1 ? ln x 2

(Ⅰ)当 a ? 0 时, 若函数 f ( x ) 在其图象上任意一点 A 处的切线斜率为 k , 求 k 的最小值, 并求此时的切线方程; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的极大值点为 x1 ,证明: x1 ln x1 ? ax1 ? ?1 .
2

5

请考生在第(22) , (23) , (24)3 题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多 做,则按所做的第一题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径,弦 BD 、 CA 的延长线相交于点 E , EF 垂直 BA 的延长 线于点 F .求证: (Ⅰ) ?DEA ? ?DFA ; (Ⅱ) AB ? BE ? BD ? AE ? AC .
2

E D

F A O B

C

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的长 度单位相同,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2(cos ? ? sin ? ) . (Ⅰ)求 C 的直角坐标方程;

1 ? x ? t, ? 2 (Ⅱ)直线 l : ? ( t 为参数)与曲线 C 交于 A, B 两点,与 y 轴交于 E ,求 ? 3 ? y ? 1? t ? ? 2

EA ? EB .

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? | 2 x ? 3 | , g ( x) ?| x ? 1| ?2 . (Ⅰ)解不等式 | g ( x) |? 5 ; (Ⅱ)若对任意 x1 ? R ,都存在 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围. 数学(理科)参考答案
6

题 号 选 项

1 D

2 A 14、 3 ?

3 B

4 D

5 C

6 B

7 C 16、 x 2 ?

8 C

9 D

10 D

11 B

12 D

13、5

4

15、 44?

y2 ?1 4

1.解析: A ? {0,1,2,3} 有 4 个元素,则真子集个数为 2 4 ? 1 ? 15个. 2.解析: z ?
_ (1 ? i ) (1 ? i ) ? i ? 1 ? i ? ? ? 1 ? i ,所以 z ? 1 ? i ,得虚部为 1. 2 i i ?1

3.解析:当 q ? 1 , a1 ? 0 时,?an ? 不是递增数列;当 0 ? q ? 1 且 a1 ? 0 时,?an ? 是递增 数列,但是 q ? 1 不成立,所以选 D.

1 1 (3 ? 5) ? 3 Sh ? ? ?2 ? 8. 3 3 2 2 1 2 1 5. 解析: 由题意得, BD ? 3 , 则 AD ? AB ? AC , 所以 ? ? , u ? , CD ? 2 3 , 3 3 3 3
4.解析:该几何体为四棱锥,其体积为 V ? 则

?

u

? 2.

6.解析:当 n ?1 时, S ?

1 1 1 ;当 n ? 2 时, S ? ? 2 ; . . . ;当 n ? 4 时, 2 2 2 1 1 1 1 15 1 1 1 1 1 31 S ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ;当 n ? 5 时, S ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ,输出 S,此时 2 2 2 2 2 32 2 2 2 2 16
4 ? a ? 5 ,所以选 B.

7.解析:函数 f ( x) ? 1 ? 2 cos2 x , x ? (0,3? ) .当 a ?

3? 时, f ( x ) 为偶函数. 2

8.解析:作出图像,设 PM ? 2 ,则 PF 转化到 P 到准线的距离,在直角三角形 NMP 中,

PN ?

| PF | 3 2 3 ,易知 PF ? 3 ,则 = . | PN | 2 3

9.解析:根据题意得,第二次不中,第三次和第四次必须投中,得概率为

1 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ?

18 . 125

10 .解析:令 x ? 1 得, a0 ? a1 ? a2 ? ....? a9 ? a10 ? 1 ,再令 x ? 0 得, a0 ? 1 ,所以

a1 ? a2 ? .... ? a9 ? a10 ? 0 ,又因为 a1 ? ?20,代入得 a2 ? a3 ? .... ? a9 ? a10 =20.
11.解析:由正弦定理,有 =2R,又 2c·cosB=2a+b,得 sinA sinB sinC = =

a

b

c

2sinC·cosB=2sin A+sinB,

7

由 A+B+C=π ,得 sin A=sin(B+C), 则 2sinC·cosB=2sin(B+C)+sinB,即 2sinB·cosC+sinB=0, 1 又 0<B<π ,sinB>0,得 cosC=- , 2 2π 因为 0<C<π ,得 C= , 3 1 3 则△ABC 的面积为 S△= ab sinC= ab,即 c=3ab, 2 4 由余弦定理,得 c =a +b -2ab cosC,化简,得 a +b +ab=9a b , ∵a +b ≥2ab,当仅当 a=b 时取等号, 1 1 2 2 ∴2ab+ab≤9a b ,即 ab≥ ,故 ab 的最小值是 . 3 3
1 x 1 x 12.解析: f / ( x ) ? 1 ? e a ,依题意可知, f / ( x) ? 1 ? e a ? 0 在 (??, ??) 有解,① a ? 0 时, a a
2 2 2 2 2 2 2 2 2

f / ( x) ? 0
f /( x ? ) ? 0


x

(??, ??)

无 解 , 不 符 合 题 意 ; ②

a?0

时 ,

a a ?

x e ? l na ? a

? x ?la n a a ? 0 .易知,曲线 y ? f ( x) 在 符合题意,所以

1 x ? 0 的切线 l 的方程为 y ? (1 ? ) x ? 1 . a
1 ? x0 e ? 1? ? ? a 假设 l 与曲线 y = e x 相切,设切点为 ( x0 , y0 ) ,则 l : ? ?e x0 ? (1 ? 1 ) x ? 1 0 , ? a ?
消去 a 得 e x0 ? e x0 x0 ? 1 ,设 h( x) ? e x x ? e x ? 1 ,则 h/ ( x) ? e x x ,令 h/ ( x) ? 0 ,则 x ? 0 , 所以 h( x) 在 ( ??,0) 上单调递减,在 (0,??) 上单调递增,当 x ? ??, h( x) ? ?1 ,
x ? ??, h( x) ? ??

所以 h( x) 在 (0, ??) 有唯一解,则 e 不存在.

x0

? 1 ,而 a ? 0 时, 1 ?

1 ? 1 ,与 e x0 ? 1 矛盾,所以 a

13.解析:当目标函数过(1,0)时,Z 最大值为 5. 14.解析:sin ? ? cos ? ? ?

1 2 联立 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 得 sin ? ? ? ,由 ? 为三角形内角 2 2

得 sin ? ?

3π 2 2 , cos? ? ? ,所以 ? ? . 4 2 2

15.解析:设圆 O1 的半径为 3 ,圆 O2 的半径为 3,则 OO1 ? O2 E ? 2 2 , AO1 ?

3,
8

所以球的半径 R ? AO ?

2 2 OO1 ? AO1 ? 11 ,所求表面积为 S ? 4?R 2 ? 44? .

x 轴切于点(1,0) 16 . 解 析 : 设 点 A ( 1 , 0 ) , 因 为 ?PF ,则 1 F2 的 内 切 圆 与
PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 ,所以 2a ? (c ? 1) ? (c ? 1) ,则 a ? 1 .因为 P 与点 F1 关于
直线 y ? ?

PF1 b bx ? ? ? b , 联 立 PF1 ? PF2 ? 2 且 对 称 , 所 以 ?F1 PF2 ? 且 PF2 a a 2
2

PF1 ? PF2

2

? 4c 2 ? 4 ? 4b 2 解得 b ? 2 .所以双曲线方程为 x 2 ?

y2 ? 1. 4

17.解: (Ⅰ) 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ,由 S1 ? a1 ? 1 ? a1 ?

1 3

3 , 4

1 ? S n ? an ? 1 ? 1 1 ? 3 ? S n ? S n ?1 ? (an ? an ?1 ) ? 0 ? an ? an?1 当 n ? 2 时, ? 3 4 ?S ? 1 a ? 1 n ?1 n ?1 ? 3 ?
∴ ?an ? 是以 故 an ?

3 1 为首项, 为公比的等比数列. 4 4

3 1 n?1 1 ( ) ? 3( )n (n ? N? ) 4 4 4
1 1 an ?1 ? ( ) n ?1 3 4

(Ⅱ)由(1)知 1 ? S n ?1 ?

1 bn ? log 4 (1 ? S n ?1 ) ? log 4 ( ) n ?1 ? ?( n ? 1) 4

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n?2
1 1 1007 ? ? ? n ? 2014 , 2 n ? 2 2016
故使 Tn ?

1007 成立的最小的正整数 n 的值 n ? 2014 2016

18.解: (Ⅰ) m ? 35

x ? 5 ? 0.1 ? 15 ? 0.18 ? 25 ? 0.22 ? 35 ? 0.25 ? 45 ? 0.2 ? 55 ? 0.05 ? 29.2
(Ⅱ)样本中玩电脑游戏时长在 [50,60] 的学生为 0.05 ? 100 ? 5 人,其中男生 3 人,女生 2 人,则 ? 的可能取值为 1,2,3
9

P(? ? 1) ?

2 1 1 2 3 C3 C2 C3 C2 C3 6 3 3 1 ? , P ( ? ? 2 ) ? ? ? , P ( ? ? 3 ) ? ? 3 3 3 C5 10 C5 10 5 C5 10

? 的分布列为
?
P (? )
1 2 3

3 3 5 10 3 3 1 9 ? 2 ? ? 3? ? 所以 E (? ) ? 1 ? 10 5 10 5
所以 AB ? AC . 由 E , F 分别为 BC, AD 的中点,得 EF //AB , 所以 EF ? AC . 因为侧面 PAB ? 底面 ABCD ,且 ?BAP ? 90? , 所以 PA ? 底面 ABCD . 又因为 EF ? 底面 ABCD , 所以 PA ? EF .

1 10

19. (Ⅰ)证明:在平行四边形 ABCD 中,因为 AB ? AC , ?BCD ? 135? ,

又因为 PA ? AC ? A , PA ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC , 所以 EF ? 平面 PAC . (Ⅱ) 解: 因为 PA ? 底面 ABCD ,AB ? AC , 所以 AP, AB, AC 两两垂直, 故以 AB, AC, AP 分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴,如上图建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0, 2,0), P(0,0, 2), D(?2, 2,0), E(1,1,0) , ??? ? ??? ? ??? ? 所以 PB ? (2,0, ?2) , PD ? (?2, 2, ?2) , BC ? (?2,2,0) ,
???? ? PM ? ? (? ? [0,1]) ,则 PM ? (?2?, 2?, ?2? ) , PD ???? 所以 M (?2? , 2? , 2 ? 2? ) , ME ? (1 ? 2?,1 ? 2?,2? ? 2) ,



z P M A D

易得平面 ABCD 的法向量 m ? (0,0,1) . 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z) , F C y

??? ? ??? ? ?2 x ? 2 y ? 0, 由 n ? BC ? 0 , n ? PB ? 0 ,得 ? ? ?2 x ? 2 z ? 0,
令 x ? 1 , 得 n ? (1,1,1) .

B x

E

因为直线 ME 与平面 PBC 所成的角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等, ???? ???? ???? ???? | ME ? m | | ME ? n | , 所以 | cos ? ME, m ?|?| cos ? ME, n ?| ,即 ???? ? ???? | ME | ? | m | | ME | ? | n |

10

所以 | 2? ? 2 |?| 解得 ? ?

2? |, 3

3? 3 3? 3 ,或 ? ? (舍) . 2 2

综上所得: PM ? 3 ? 3 PD 2 20.解:(Ⅰ)? 椭圆 C 的离心率 e ?

2 2

? e2 ?

c2 a 2 ? b2 1 ? ? ,? a 2 ? 2b 2 . 2 2 a a 2

? 由 x ? y ? 2 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? b2 相切,得 b ? 1,? a 2 ? 2. ? 椭圆 C 的方程为:
x2 ? y 2 ? 1. 2

(Ⅱ)①若直线 AB 的斜率不存在,设方程为 x ? x0 ,则点 A( x0 , y0 ) , B( x0 , ? y0 ) . 由已知 -l). ②若直线 AB 的斜率存在,设 AB 方程为 y ? kx ? m ,依题意 m ? ?1 .

1 1 y0 ? 1 ? y0 ? 1 1 ? ? 4, 得 x0 ? ? .此时 AB 方程为 x ? ? ,显然过点( ? , 2 2 x0 x0 2

? y ? kx ? m ? 2 2 2 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 得 ?1 ? 2k ? x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0. 2 ? ? y ?1 ?2
则 x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 2 x x ? . , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

由已知 k1 ? k2 ? 4 ,

y1 ? 1 y2 ? 1 ? ? 4, x1 x2

?

kx1 ? m ? 1 kx2 ? m ? 1 x ?x ? ? 4 即 2k ? (m ? 1) 1 2 ? 4 将 x1 ? x2 , x1 x2 代 入 得 x1 x2 x1 x2

km k ? 2 ,? k ? 2(m ? 1) ,? m ? ? 1. m ?1 2 k 1 故直线 AB 的方程为 y ? kx ? ? 1 ,即 y ? k ( x ? ) ? 1 . 2 2 1 ? 直线过定点 ( ? ,-l). 2 k?
11

(Ⅱ)法二:由已知 MA 方程为 y ? k1 x ? 1 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

? y ? kx1 ? 1 ? 2 2 由 ? x2 得 ?1 ? 2k1 ? x ? 4k1 x ? 0. 2 ? ? y ?1 ?2
4k1 1 ? 2k12 , ? xA ? ? ? y A ? k1 xA ? 1 ? 1 ? 2k12 1 ? 2k12

? A(?

4k1 1 ? 2k12 4k2 1 ? 2k22 ,同理可得 , ) B ( ? , ) 1 ? 2k12 1 ? 2k12 1 ? 2k22 1 ? 2k22
1 , ?1) ,下面只要证 A, B, N 三点共线即可. 2

设 N (?

K AN

1 ? 2k12 ?1 1 ? 2k12 2 ? ? , 4k1 1 1 2 ? 4 k ? ? k ? ? 1 1 2 1 ? 2k12 2

同理 K BN ?

2 , 1 ?4k2 ? ? k2 2 2

? k1 ? k2 ? 4,

? K AN ?

2 2 2 ? ? ? K BN . 1 1 1 2 2 2 ?4k1 ? ? k1 ?4(4 ? k2 ) ? ? ? 4 ? k2 ? ?4k2 ? ? k2 2 2 2

? A, B, N 三点共线
1 ? 直线过定点( ? ,-l). 2
21.解: (Ⅰ)∵ a ? 0 ,∴ f ( x ) ?

1 2 x ? 1 ? ln x ( x ? 0) 2 1 1 ∴ f ' ( x ) ? x ? ? 2 当仅当 x ? 时,即 x ? 1 时, f ' ( x ) 的最小值为 2 x x 3 ∴斜率 k 的最小值为 2,切点 A (1, ) , 2 3 ∴切线方程为 y ? ? 2( x ? 1) ,即 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 2

1 x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 0) (Ⅱ)∵ f ' ( x ) ? x ? 2a ? ? x x
①当 ? 1 ? a ? 1 时, f ( x ) 单调递增无极值点,不符合题意

12

2 ②当 a ? 1 或 a ? ?1 时,令 f ' ( x ) ? 0 则 x ? 2ax ? 1 ? 0 的两根为 x1 和 x2 ,

因为 x1 为函数 f ( x ) 的极大值点,所以 0 ? x1 ? x2 又∵ x1 x2 ? 1, x1 ? x2 ? 2a ? 0 ,∴ a ? 1 , 0 ? x1 ? 1

1 x ?1 ∴ f ' ( x1 ) ? 0 ,所以 x1 ? 2ax1 ? ? 0 ,则 a ? 1 x1 2 x1
2

2

x ? x1 x 1 ∵ x1 ln x1 ? ax1 ? x1 ln x1 ? 1 ? ? 1 ? x1 ? x1 ln x1 , x1 ? (0,1) 2 2 2
2

3

3

令 h( x ) ? ?

x

3

2 3x 2

?
2

1 x ? x ln x , x ? (0,1) 2 ?
1 1 ? 3x 2 1 , x ? (0,1) ? ln x ∴ h " ( x ) ? ?3x ? ? x x 2

∴ h ( x) ? ?
'

当0 ? x ?

3 3 时, h" ( x) ? 0 ,当 ? x ? 1 时, h" ( x) ? 0 3 3 3 3 ) 上单调递增,在 ( ,1) 上单调递减 3 3 3 ) ? ? ln 3 ? 0 3

∴ h ' ( x ) 在 (0,

∴ h ( x) ? h (
' '

∴ h( x ) 在 (0,1) 上单调递减∴ h( x) ? h(1) ? ?1 ,原题得证. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 证明: (Ⅰ)连结 AD,因为 AB 为圆的直径,所以∠ADB=90°,又 EF⊥AB,∠EFA=90°则

A、D、E、F 四点共圆∴∠DEA=∠DFA
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, BD ? BE ? BA ? BF 又△ABC ∽△AEF ∴

AB AC ? AE AF

即: AB ? AF ? AE ? AC ∴ BD ? BE ? AE ? AC ? BA ? BF ? AB ? AF ? AB( BF ? AF ) ? AB 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)由 ? ? 2 ? cos ? ? sin ? ? 得 ? ? 2 ? ? cos ? ? sin ? ? ,
2
2

13

得直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ? 2 y ,即 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ;
2 2
2 2

(Ⅱ)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,化简得 t 2 ? t ? 1 ? 0 ,点 E 对应的参数

t ? 0 ,设点 A,B 对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? 1 , t1t2 ? ?1 ,
所以 | EA | ? | EB |?| t1 | ? | t2 |?| t1 ? t2 |?

? t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ? 5 .

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)由 x ? 1 ? 2 ? 5 得 ?5 ? x ?1 ? 2 ? 5

??7 ? x ?1 ? 3 ,得不等式的解集为 ? x ? 2 ? x ? 4?
(Ⅱ)因为任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 所以 { y | y ? f ( x)} ? { y | y ? g ( x)} , 又 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 3 ?| (2x ? a) ? (2x ? 3) |?| a ? 3| ,

g ( x) ?| x ? 1| ?2 ? 2 ,
所以 | a ? 3 |? 2 ,解得 a ? ?1 或 a ? ?5 , 所以实数 a 的取值范围为 a ? ?1 或 a ? ?5

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