高一数学(1[1].3-1三角函数的诱导公式)教学课件_图文

4.3.1三角函数的诱导公式(1)

问题
1.任意角α 的正弦、余弦是怎样定 义的?

sin α ? y
cos? ? x

α 的终边
P(x,y)

y

O

x

2. 2kπ +α (k∈Z)与α 的三角 函数之间的关系是什么?
公式一: sin(?

? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ?

3. 求sin750°和sin930°的值

思考:公式一有什么作用?
利用公式一,可将任意角的三角函 数值,转化为00~3600范围内的三角函 数值.其中锐角的三角函数可以查表计 算,而对于900~3600范围内的三角函 数值,如何转化为锐角的三角函数值, 是我们需要研究和解决的问题.

知识探究(一):π+α的诱导公式

思考1:210°角与30°角有何内在 联系? 210°=180°+30°

思考2:若α 为锐角,则 (180°,270°)范围内的角 可以怎样表示?
180°+α

对于任意给定的一个角 α ,角π +α 的终边与角α 的终边有什 么关系?
y

思考3:

α 的终边

o

x π+α 的终边

思考4:设角α 的终边与单位圆交
于点P(x,y),则角π +α 的终边与 单位圆的交点坐标如何?
y α 的终边 P(x,y) o

x Q(-x,-y) π+α 的终边

思考5: 根据三角函数定义, sin(π+α) 、cos(π +α )的 值分别是什么?
y α 的终边

P(x,y) o

sin(π +α )=-y cos(π +α )=-x
x

Q(-x,-y) π+α 的终边

思考6:对比sinα ,cosα 的值, π +α 的三角函数与α 的三角函数 有什么关系? 公式二: sin( ? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ?

思考7:该公式有什么特点,如何 记忆?

知识探究(二):-α,π-α的诱导公式: 思考1: 对于任意给定的一个角α , -α 的终边与α 的终边有什么关系?
y α 的终边

o

x

-α 的终边

思考2:设角α 的终边与单位圆交于 点 P(x,y),则-α 的终边与单位圆 的交点坐标如何?
y α 的终边

P(x,y)
o

P(x,-y)
-α 的终边

x

思考3:根据三角函数定义,-α 的三 角函数与α 的三角函数有什么关系?
α 的终边 y

P(x,y)
o

P(x,-y)
-α 的终边

x

公式三:

sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ?

思考4:利用π -α =π +(-α ),结 合公式二、三,你能得到什么结论?

公式四:

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ?

思考5:如何根据三角函数定义推 导公式四?
α 的终边

y

π -α 的终边

P(x,y)
o

P(-x,y)
x

-α 的终边

思考6:公式三、四有什么特点,如 何记忆?

公式三:

sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ?

公式四:

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ?

思考7:公式一~四都叫做诱导公 式,他们分别反映了2kπ +α (k∈Z),π +α ,-α ,π-α的 三角函数与α的三角函数之间的关 系,你能概括一下这四组公式的共 同特点和规律吗?
2kπ +α (k∈Z),π +α ,-α ,π -α 的三角函数值,等于α 的同名函数 值,再放上原函数的象限符号.

例1 求下列各三角函数的值:
(1)cos225
?

11? (2)sin 3
(4)cos(-2040? )

16? (3)sin() 3

例2 各式的值:

1 已知cos(π +x)= 3

,求下列

(1)cos(2π-x);(2)cos(π-x). 例3 化简:
cos(180 ? ? ) ? sin( ? ? 360 ) (1) sian(- ? -180? ) ? cos(-180? - ? ) ; ? ? cos190 ? sin (?210 ) (2 ) ? ? . cos(-350 ) ? tan585
? ?

1.诱导公式都是恒等式,即在等式有意 义时恒成立. 2.以诱导公式一~四为基础,还可以 产生一些派生公式, 如sin(2π -α )=-sinα , sin(3π -α )=sinα 等.

3.利用诱导公式一~四,可以求任意 角的三角函数,其基本思路是:
任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数

锐角的三角 函数

0~2π 的角 的三角函数

这是一种化归与转化的数学思想.

4.3.1三角函数的诱导公式(2)

公式一: sin(?

? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ?
cos(? ? ? ) ? ? cos ?

公式二: sin( ? ? ? ) ? ? sin ?

公式三:

sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ?

公式四:

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ?

?
2

??

若α 为一个任意给定的角,那么 的终边与角α 的终边有什么对称关
y
?
2 ?? 的终边

系?

α 的终边 O

x

设角α 的终边与单位圆的交点 ? 为P1(x,y),则 2 ? ? 的终边与单 位圆的交点为P2(y,x),根据三角函 数的定义,你能获得哪些结论?
y
?
2 ?? 的终边

P2(y,x)

sin(
α 的终边

?
2

? ? ) ? x ? cos ?

O

P1(x,y) cos( ? ? ) ? y ? sin ? 2 x

?

公式五:
sin(

?
2

? ? ) ? cos ?
? ? ) ? sin ?

cos(

?
2

思考1.
2

?

2 ?

?? 与

?
2 ?
2

? ?有什么内在联系?
??)

?? ? ? ? (

2、根据相关诱导公式推导, ? ? sin( ? ? ) , cos( ? ? ) 分别等于什么?
2
sin(

?

2

2 ? cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

? ? ) ? cos ?

公式六

sin(

?
2

? ? ) ? cos ?

cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

?

sin(

?
2

? ? ) ? cos ? cos(

?
2

? ? ) ? sin ?

sin(

?

? ? ) ? cos ? cos( ? ? ) ? ? sin ? 2 2

?

?
2

的正弦(余弦)函数值分别等于 的余弦函 数值,前面加上一个把 看成锐角时原函数值得符 号

??

?

?

记忆方法:奇变偶不变,符号看象限.
说明:
奇偶指的是

?k

2 符号指的是前面三角函数的符号 (由象限决定)

中k的奇偶性;

例题讲解
? 例3

? 3? ? 证明(1) sin ? ? ? ? ? ? cos ? ? 2 ? (2) ? 3? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ?
? 2 ?

例4 化简
?? ? ? 11? ? sin ? 2? ? ? ? cos ?? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ?? ? ?2 ? ? 2 ? ? 9? ? cos ?? ? ? ? sin ? 3? ? ? ? sin ? ?? ? ? ? sin ? ?? ? ? 2 ?


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