2.6 函数模型及其应用_图文

第2章

函数概念与基本初等函数Ⅰ
2.6 函数模型及其应用

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1.通过实例,体验用函数描述实际问题的价值 ,感受函 数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,能利用函数模 型分析结果预测事物的发展趋势. 2. 建立函数模型就是将实际问题转化为数学问题,是数 学地解决问题的关键. 3. 通过对实际问题的抽象,概念,初步培养运用数学知
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识分析问题和解决问题的能力.

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1.解决实际问题通常按 实际问题 ―→ 建立数学模型 ―→ 得到数学结果 ―→

建立数学模型 是关键. 解决实际问题 的程序进行,其中__________________
2.将进货单价为 8 元的商品按 10 元一个销售,每天可卖出 100 个,若每涨价 1 元,则日销售量减少 10 个,为获得最大利润,
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14 则此商品当日销售价应定为每个______________________ 元.

二次函数 、 3 . 我 们 已 学 过 的 函 数 有 : 一次函数 __________ 、 __________ 指数函数 、__________ 对数函数 、__________ 分段函数 、反比例函数 幂函数 __________ __________、__________
等.

散点图 , 目 4.仅由变量的取值确定函数关系时,通常需要画 __________
观察图象,选择出最接近这一图象的函数类型,然后将已知数据代
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数据拟合 入求出具体函数表达式,这种方法称为__________

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一、分段函数
分段函数模型解实际应用问题是常见题型,也是高考常考题 型.现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的,如出租车计费、 个人所得税等.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不 栏 同,可以先将其写作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将 其合到一起,要注意各段变量的范围.
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二、数据拟合
建立函数模型,就必须考虑用什么函数来模拟,在选择函数 模型时,可以通过图表直观分析,联想具有此性质的比较熟悉又比 较简单的函数模型.在建立模拟函数的过程中,我们只可能建立近 似的函数模型,因此所建立的函数模型只能近似地反映客观现实的 量与量之间的关系,而且有时需要通过检验选择最佳模型 .
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题型一

分段函数模型的实际应用
(某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情

例 1

得知,从 2 月 1 日起的 300 天内,西红柿市场售价与上市 时间的关系用下图(1)的一条折线表示, 西红柿的种植成本 与上市时间的关系用下图(2)的抛物线表示.
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(1)写出图 (1)表示的市场售价与时间的函数关系式 P = f(t),写出图 (2)表示的种植成本与时间的函数关系式 Q =g(t); (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益, 问何时上市 的西红柿纯收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元 /102 kg;时间单 位:天)
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分析:本题是由函数图象给出基本条件,解题时要抓 住图象特征,抓住关键点的坐标,以确定函数关系式. 解析:(1)市场售价与时间的函数关系为
? ?300-t,0≤t≤200, f(t)= ? ? ?2t-300,200<t≤300.
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种植成本与时间的函数关系为

1 g(t)= (t-150)2+100(0≤t≤300). 200 (2)设 t 时间纯收益为 h(t),则由题意得 h(t)=f(t)-g(t),

? 即 h(t)=? 1 7 1025 ?-200t +2t- 2 ,200<t≤300.
1 2 1 175 - t + t+ ,0≤t≤200, 200 2 2
2

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当 0≤t≤200 时,配方整理得 1 h(t)=- (t-50)2+100, 200

所以,当 t=50 时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值 100; 当 200<t≤300 时,配方整理得 1 h(t)=- (t-350)2+100, 200 所以,当 t=300 时,h(t)取得区间(200,300]上的最大 值为 87.5.
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综上可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值 100,此 时 t=50,即从 2 月 1 日开始的第 50 天时,上市的西红柿纯 收益最大. 点评:由图观察易知:f(t)是一个分段函数,g(t)是一个二 次函数,待定系数法可求得函数解析式,但要注意定义域.
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例 2

依法纳税是每个公民应尽的义务,国家征收个人

工资、薪金所得税是分段计算的;总收入不超过 3 500 元的,免 征个人工资、薪金所得税;超过 3 500 元的部分需征税,设全月 应纳税所得额(所得额指工资、薪金中应纳税的部分 )为 x,x=全 月工资、薪金的收入-3 500 元,税率见下表:
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级数 1 2

全月应纳税所得额x 不超过1 500元部分 超过1 500元不超过4 500元部分

税率 3% 10%

3
? 7

超过4 500元不超过9 000元部分
? 超过80 000元部分

20%
? 45%

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(1)若应纳税额为 f(x), 试用分段函数表示 1~3 级纳税额 f(x) 的计算公式; (2)某人 2011 年 10 月份工资为 8 200 元,试计算这个人 10 月份应缴纳个人所得税多少元?
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解析:(1)第一级:f(x)=x· 3%; 第二级:f(x)=1 500· 3%+(x-1 500)· 10%; 第三级:f(x)=1 500· 3%+3 000· 10%+(x-4 500)· 20%.

? 即 f(x)=?0.1x-105,1 500<x≤4 500, ? ?0.2x-555,4 500<x≤9 000.
(2)0.2×(8 200-3 500)-555=385, 即这个人 10 月份应缴纳 个人所得税 385 元.

?0.03x,0<x≤1 500,

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变式 训练
1.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超 过 4 吨时,每吨为 1.80 元,当用水超过 4 吨时,超过部分 每吨 3.00 元,某月甲、乙两用户用水量分别为 5x、3x(吨), y 表示该月两户共交水费. (1)求 y 关于 x 的函数; (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、 乙两户该月的用水量和水费.
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变式 训练

解析:(1)当甲的用水量不超过 4 吨时,即 5x≤4,乙 的用水量也不超过 4 吨时, y=(5x+3x)×1.8=14.4x; 当甲的用水量超过 4 吨,乙的用水量不超过 4 吨时,栏 目 即 3x≤4 且 5x>4, y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8; 当乙的用水量超过 4 吨时,即 3x>4,y=24x-9.6.
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变式 训练

? ? 4 4 所以 y=?20.4x-4.8,5<x≤3, ?24x-9.6,x>4. ? 3
4 14.4x,0≤x≤ , 5 (2) 由 于 y = f(x) 在 各 段 区 间 上 均 为 单 调 递 增 , 当 ? ?4? 4? x∈?0,5 ?时,y≤f?5?<26.4; ? ? ? ? ?4 4? ?4 ? 当 x∈?5,3?时,y≤f?3 ?<26.4; ? ? ? ? ?4 ? 当 x∈?3,+∞?时, ? ?

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变式 训练

令 24x-9.6=26.4,解得 x=1.5. 所以甲户用水量为 5x=7.5 吨, 付费 S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元); 乙户用水量为 3x=4.5 吨, 付费 S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元).
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变式 训练

2. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的 交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位: 千米/时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的 车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度 为 0,当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/时,研究表明:当 20<x≤200 时,车流速度 v 是 车流密度 x 的一次函数.
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变式 训练

(1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式. (2)当车流速度 x 多大时, 车流量(单位时间内通过 桥上某观测点的车辆数,单位:辆 /时)f(x)=xv(x)可以 达到最大?求出最大值(精确到 1 辆/时).
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变式 训练

解析: (1)由题意, 当 0≤x≤20 时, v(x)=60, 当 20<x≤200 时,设 v(x)=ax+b,则由已知得
? ?200a+b=0, ? ? ? ?20a+b=60

? ? 200 ?b= 3 ,
1 a=- , 3

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变式 训练

60,0≤x≤20, ? ? 故 v(x)=?1 ?200-x?,20<x≤200. ? ?3 (2)由题意及(1)可得 60x,0≤x≤20, ? ? f(x)= ?1 x?200-x?,20<x≤200, ? 3 ? 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,当 x=20 时, f(x)是最大值为 60×20=1 200;
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变式 训练

1 1 当 20<x≤200 时, f(x)= x(200 - x)=- (x - 3 3 10 000 100) + ,当 x= 100∈(20,200]时, f(x)最大值 3
2

10 000 为 . 3 综上, 当 x=100 时,f(x)在[0,200]上取得最大值 10 000 ≈3 333. 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达 到最大,最大值均为 3 333 辆/时.

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题型二

数据拟合

例 3

南方某地市场信息中心为了分析本地区蔬菜的供
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求情况,通过调查得到家种野菜“芦蒿”的市场需求量和供应 量数据(见下表): 表 1 芦蒿的市场需求量信息表

需求量y/吨

40

38

37.1

36

32.8

30
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价格x/千元·吨-1

2

2.4

2.6

2.8

3.4

4

表2

芦蒿的市场供应量信息表

价格x/千元·吨-1

2

2.5

3.2

4.46

4.5

5
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供应量y/吨

29

32

36.3

40.9

44.6

47

(1)试写出描述芦蒿市场需求量y关于价格x的近似函数 关系式; (2) 试 根 据 这 些 信 息 , 探 求 市 场 对 芦 蒿 的 供 求 平 衡 量.(需求量与供应量相等,就称供求平衡,近似到1吨)
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分析:

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将表格的数据描绘成图形,通过分析图形,建立函数模 型,然后通过模型函数,探求市场供求平衡量. 解析:(1)在直角坐标系中,由表 1 描出数对(x,y)对应 的点,这些点近似地构成一条直线,芦蒿的市场需求量关于 40-30 价格的近似函数关系式为 y-40= (x-2),即 y=50- 2-4 5x.
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(2) 与上同理可知芦蒿市场价格关于供应量的近似函数 1 17 关系式为 x= y- ,所以芦蒿市场供应量关于价格的近似 6 6 函数关系式为 y=6x+17. 解 y=50-5x,y=6x+17 联立的方程组,得 x=3,y =35,则市场对芦蒿的供求平衡量为 35 吨. 点评: 本例中通过画散点图可知需求量 y 关于价格 x 的 函数图象近似为一条直线,因而选用一次函数作为模拟函 数.
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变式 训练

3.我市某企业常年生产一种出口产品,根据需求预测: 进入 21 世纪以来,前 8 年在正常情况下,该产品产量将平稳 增长.已知 2000 年为第一年,头 4 年年产量 f(x)(万件),如下 表所示: x f(x) 1 4.00 2 5.58 3 7.00 4 8.44
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变式 训练

(1)画出 2000—2003 年该企业年产量的散点图; 建立 一个能基本反映(误差小于 0.1)这一时期该企业年产量发 展变化的函数模型,并求之;
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变式 训练

(2)2006 年(即 x=7)因受到某外国对我国该产品反倾 销的影响,年产量应减少 30%,试根据所建立的函数模 型,确定 2006 年的年产量应约为多少?
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变式 训练

(1)如图,设 f(x)=ax+b,把(1,4)、(3,7)代入 ?a+b=4, 3 5 得? 解得 a= ,b= . 2 2 ?3a+b=7,
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变式 训练

3 5 3 5 * ∴f(x)= x+ (x∈N ), 检验: f(2)= ×2+ = 2 2 2 2 5.5,而|5.58-5.5|=0.08<0.1; f(4)=8.5,|8.44-8.5|=0.06<0.1. 3 5 ∴模型 f(x)= x+ 能基本反映产量变化. 2 2 3 5 (2)∵f(7)= ×7+ =13,13×70%=9.1. 2 2 ∴2006 年年产量应约为 9.1 万件.
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