平面向量数量积习题

平面向量数量积题
(2.4~2.5 数量积、应用举例)

A组
一、选择题 :共 6 小题 1、(易 数量积)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (1,0) , b ? 1 , 则 a ? 2b =( A. 7 B. 7 C.4 D.12 ) )

2、(易 数量积)已知正 △ ABC 的边长为 1, 且 BC ? a , CA ? b , 则 a ? b = ( A.

3

B3

C. 2

D. 1 )

3、(易 投影概念)已知 a =5, b =3, 且 a ? b ? ?12 , 则向量 a 在向量 b 上的投影等于( A.

12 5

B. 4

C. ?

12 5

D. ? 4

4、(中 应用举例)设 P 是曲线 y ? 原点, 则 OP ? OQ ? ( A.0 ) B.1

1 上一点, 点 P 关于直线 y ? x 的对称点为 Q , 点 O 为坐标 x
C.2 D.3

5、(中 数量积)在 △ ABC 中, BC ? a , CA ? b , AB ? c , 且 a ? b = b ? c = c ? a , 则 △ ABC 的形状 是( ) B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 正三角形

A. 锐角三角形

6、(中 应用举例)已知偶函数 f ( x ) 满足: f ( x) ? f ( x ? 2) , 且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? sin x , 其 图象与直线 y ? 于( A. 2 ) B. 4 C. 8 D. 16 D 二、填空题 :共 3 小题 7、(易 数量积)如图, 在边长为 1 的棱形 ABCD 中, AC ? BD =
2 2

1 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P 1, P 2 2

, 则 PP 1 3 ?P 2P 4 等

C

.

A

B

8、(中 数量积)已知 a ? (2,1) , b ? (?,1) , ? ? R , a 与 b 的夹角为 ? . 若 ? 为锐角, 则 ? 的取值 范围是 .

9、 (中 数量积)在△ABC 中, AB ? 立, 则实数 t 的取值范围是 .

3, BC ? 2, ?A ?

? , 如果不等式 BA ? t BC ? AC 恒成 2

三、解答题 :共 2 小题 10、(中 应用举例)设集合 D ? { 平面向量 } , 定义在 D 上的映射 f , 满足对任意 x ? D , 均有 b 不共线, 则( f ( a) ? f (b))? (a+b)= f (x) = ? x( ? ? R 且 ? ? 0 ). 若︱a︱=︱b︱且 a、 若 A(1,2), B(3,6),C (4,8) , 且 f ( BC) ? AB , 则 ? . B ;

11、(中 数量积)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB , 它们的 夹角为 90 . 如图所示, 点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动, 若

O

OC ? xOA ? yOB , 其中 x, y ? R , 则 xy 的范围是________.

A

C

B组
一、选择题 :共 6 小题 1 、 ( 中 数量积 ) 已知平面向量 a ? ( x1, y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , 若 | a |? 2 , | b |? 3 , a ? b ? ?6 , 则

x1 ? y1 的值为 ( x2 ? y2
A. ? 2

) C. ?

B. 2

2 3

D.

2 3

2、 (中 数量积)在平面直角坐标系 xOy 中作矩形 OABC , 已知 OA ? 4 , AB ? 3 , 则AC · OB 的 值为( A.0 ) B.7 C.25 D. -7

→ →

3、已知非零向量 a , b 若 a ? b ? 1 , 且 a ? b , 又知 (2a ? 3b) ? (k a ? 4b) , 则实数 k 的值为 ( ) A.6 B.3 C. -3 D. -6 4、(中 数量积)已知向量 a , b , x , y 满足 | a | ? | b | ? 1 , a ? b ? 0 , 且 ? 于( A. )

?a ? ? x ? y ,则 | x | ? | y | 等 b ? 2 x ? y ?

2? 3

B. 2 ? 5

C. 2

D. 5 B

C

5、(中 应用举例)如图,O,A,B 是平面上的三点, 向量 OA ? a ,

A

OB ? b , 设 P 为线段 AB 的垂直平分线 CP 上任意一点,

O

P

向量 OP ? p , 若 a =4, b =2, 则 p ?( a ? b) =( A.8 B.6 C.4

) D.0

6、(中 应用举例)设向量 a 与 b 的夹角为 ? , 定义 a 与 b 的“向量积”: a ? b 是一个向量, 它的模

a?b ? a ? b ? sin ? , 若 a ? (? 3, ?1) , b ? (1, 3) , 则 a ?b ?
A.

(

). D. 4

3

B. 2 3

C. 2

二、填空题 :共 3 小题 7、(中 数量积)已知向量 a = ? 2, 4?, b = ?11 , ? . 若向量 b ? (? a + b) , 则实数 ? 的值是 .

8、(中 应用举例)设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 . 以 a , b , a ? b 为边长构成三角 形, 则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 个.

9 、 ( 中 数 量积 ) 在 直角 坐标 系 xOy 中 , i , j 分 别 是 与 x 轴 , y 轴 平 行 的单 位向 量 , 若 在

Rt△ ABC 中, AB = i + j , AC = 2i ? mj , 则实数 m=

.

三、解答题 :共 2 小题 10、(中 应用举例)已知 a = (1,0) , b = (0,1) , 若向量 c = (m, n) 满足 (a ? c )?(b ? c ) ? 0, 试求点 (m, n) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离的最小值.

11、(中 数量积)如图 4, 已知点 A(1 , 1) 和单位圆上半部分上的动点 B . (1)若 OA ? OB , 求向量 OB ; (2)求 | OA ? OB | 的最大值.

y B A

图4

O

x

C组
解答题 :共 2 小题 1、(难 应用举例)已知向量 AB ? (2 ? k , ?1) , AC ? (1, k ) . (1)若 △ ABC 为直角三角形, 求 k 值; (2)若 △ ABC 为等腰直角三角形, 求 k 值.

2、(难 数量积)在平面直角坐标系中, 已知向量 a ? (?1, 2), 又点 A(8,0), B(n, t ), C (k sin ? , t )

? (0 ? ? ? ) . 2
(1)若 AB ? a , 且 AB ? 5 OA (O 为坐标原点), 求向量 OB ; (2)若向量 AC 与向量 a 共线, 当 k ? 4 , 且 t sin ? 取最大值 4 时, 求 OA ? OC .

平面向量数量积题 考答案
A组
1. B 由已知 a ? 1 , a ? 2b ? a ? 4a ? b ? 4b ? 1 ? 4 ? 1 ? 1 ? cos60 ? 4 ? 7 , ∴ a ? 2b ? 7 . 2.A 由题意知 a 与 b 的夹角为 180 ? 60 ? 120 , 且 a ? b ? 1 , ∴a ? b = a b cos120 ? ?
2 2 2

1 2 2 2 , ∴ a ? b ? a + b ? 2a ? b = 3 ? a ? b ? 3 . 2

3.D 向量 a 在向量 b 上的投影等于 a ? cos ? ? a ?

a ? b ?12 ? ? ?4 . a?b 3

4.C 设 P ( x1 ,

1 1 1 1 1 1 ) , 则 Q( , x1 ) , OP ? OQ ? ( x1 , ) ? ( , x1 ) ? x1 ? ? ? x1 ? 2 . x1 x1 x1 x1 x1 x1

5.D 因 a, b, c 均为非零向量, 且 a ? b = b ? c , 得 b ? (a ? c ) ? 0 ? b ? ( a ? c ) , 又 a + b + c = 0 ? b = ?(a + c ) , ∴[?(a + c )] ? (a ? c ) ? 0 ? a2 = c 2 , 得 a = c , 同理 b = a , ∴ a = b = c , 得 △ ABC 为正三角形. 6.B 依题意 P 1, P 2, P 3, P 4 四点共线, PP 1与P 3,P 2与P 4 的横坐标都相差一个 1 3 与P 2P 4 同向, 且 P 周期, 所以 | PP 1 3 |? 2 , | P 2P 4 |? 2 , PP 1 3 ?P 2P 4 ?| PP 1 3 || P 2P 4 |? 4 . 7.4 AC ? AD ? AB , BD ? AD ? AB , 则 AC ? BD = AC ? BD ? ( AD ? AB)2 ? ( AD ? AB)2 = 2( AD ? AB )
2 2

2

2

2

2

又 AD ? AB ? 1 , ∴AC 2 ? BD2 ? 2 ? (1 ? 1) ? 4 . 8. {? ? ? ?

1 a ? b = 2? ? 1 . 因? 为锐角, 有 0 ? cos ? ? 1 , , 且 ? ? 2} ∵cos ? ? a ?b 2 5 ? ?2 ? 1

1 ? ? ?? ? ? ? 2? ? 1 ? 0 ? 1 , ∴? ∴0 ? , 解得 ? 2. 2 5 ? ?2 ? 1 ? ? ? 2? ? 1 ? 5 ? ? ? 1 ?? ? 2
2? ? 1
9. ( ??, ]

1 2

[1, ??) 由题意得 AC ? 1 , BA ? tBC ? AC ? BA ? tBC ? AC ,

2

2

∴ BA ? 2tBA ? BC ? t 2 BC ? AC , 得 3 ? 2t ? 3 ? 2 ? 得t ? 10.0;2
2

2

2

2

3 2 2 2 ? t ?2 ?1 , 2

1 或t ?1. 2
∵ ︱a︱=︱b︱且 a、b 不共线, ∴ ( f ( a) ? f (b)) ? (a+b)= ( ? a- ? b)? (a+b)
2

= ? ( a ? b )=0;又 BC ? (1,2) , 有 f ( BC ) = ? (1, 2) , AB ? (2,4) , ∴? ? 2 . 11. [0, ] 由 OC ? xOA ? yOB ? OC ? x 2 OA ? y 2 OB ? 2 xyOA ? OB ,

1 2

2

2

2

1 , 2 1 而点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动, 得 x, y ? [0,1] , 于是 0 ? xy ? . 2
又 OC ? OA ? OB ? 1, OA ? OB ? 0 , ∴ 1 ? x2 ? y 2 ? 2 xy , 得 xy ?

B组
1.C 设 a , b 的夹角为 ? , 则 a ? b ? a b cos? ? ?6 ? cos? ? ?1, ∴? ? 180? . 即 a,b 共线且反向, ∴a = ?

2 2 2 x ?y 2 b, x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , ∴ 1 1 ? ? . x2 ? y2 3 3 3 3
2 2 2 2

2.D AC ? OB ? (OC ? OA) ? (OC ? OA) ? OC ? OA ? 3 ? 4 ? ?7 .
2 3.A (2 a ? 3b ) ? (k a ? 4b) =0 ? 2k a ?8 a ? b +3k a ? b ?12 b =0, ∴k ? 6 .
2

4.B 由所给的方程组解得 ?

?x = a + b 2 2 , x ? a ? b ? 2a ? b ? 2 , ? y = 2a + b

y ? 4a 2 ? b 2 ? 4a ? b ? 5 , ∴| x | ? | y | = 2 ? 5 .
5.B 由 BP ? AP , 知 p ? b ? p ? a , ∴ p ? b ? p ? a , p 2 ? 2 p ? b ? b 2 ?
2 2

p2 ? 2 p ?a ? a 2 , 得 2 p?a ? 2 p?b ? a 2 ? b2 ?16 ? 4 ?12 , ∴ p ? (a ? b) ? 6 .
6.C

a ? b = ? 3 ? 3 ? ? 3 , ? ? (0, ?) , ∴sin ? ? 1 , ∵cos ? ? a?b

2?2

2

2

∴ a?b ? a ? b ? sin ? ? 2 ? 2 ? 7. ?

1 ? 2. 2

1 ? a + b = (2? ? 1,4? ? 1) , b ? (?a + b) = 1 ? (2? ? 1) ? 1 ? (4? ? 1) ? 0 . 3 1 ∴? ? ? ? . 3

8.4 可得 a ? b ?

a2 ? b2 ? 2a ? b ? 5 , 设该三角形内切圆的半径为 r ,

则 (4 ? r) ? (3 ? r ) ? 5 ? r ? 1 , ∴ 对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆, 此时只有三个交点, 对于圆的位置 稍作移动, 则能实现 4 个交点, 但不能得到 5 个以上的交点. 9. -2 或 0 把 AB 、 AC 平移, 使得点 A 与原点重合, 则 B(1,1) 、 C (2, m) , 画图可知

?B ? 90 或 ?A ? 90 . 当 ?B ? 90 时, AB ? BC ? 0 , ∴(1,1) ? (2 ? 1, m ? 1) ? 0 , 得 m ? 0 ;
当 ?A ? 90 时, AB ? AC ? 0 , ∴(1,1) ? (2, m) ? 0 , 得 m ? ?2 . 10. 解:将 c = (m, n) , 代入 (a ? c )?(b ? c ) ? 0 得 ?m(1 ? m) ? n(1 ? n) ? 0 ,

∴(m ? ) ? ( n ? ) ?
2 2

1 2

1 2

1 1 1 2 , 它表示以 ( , ) 为圆心, 为半径的圆. 2 2 2 2

1 1 ? ?1 1 1 2 2 ? 2, ∵ 圆心 ( , ) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ? 2 2 2
∴ 点 (m, n) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离的最小值为 d ? r ?

2?

2 2 . ? 2 2

11. 解:(1)依题意, B(cos? , sin ? ) , 0 ? ? ? ? (不含 1 个或 2 个端点也对)

OA ? (1 , 1) , OB ? (cos? , sin ? ) (写出 1 个即可),
因为 OA ? OB , 所以 OA ? OB ? 0 , 即 cos ? ? sin ? ? 0 , 解得 ? ?

?? 2 2 , ). , 所以 OB ? (? 4 2 2

(2) OA ? OB ? (1 ? cos? , 1 ? sin ? ) , 则 | OA ? OB |?
2

(1 ? cos θ) 2 ? (1 ? sin ? ) 2 ? 3 ? 2(sin? ? cos? ) ,

∴ OA ? OB ? 3 ? 2(sin ? ? cos ? ) ,
2 令 t ? sin ? ? cos ? , 则 t ? 1 ? sin 2? ? 2 , 即 t ?

2,
2 ?1

∴ OA ? OB ? 3 ? 2 2 ? ( 2 ? 1) , 有 OA ? OB ?
2

2

当 2? ?

? ? , 即 ? ? 时, | OA ? OB | 取得最大值 2 ? 1 . 2 4

C组
1.(1) AB ? (2 ? k , ?1) , AC ? (1, k ) ? BC ? AC ? AB ? (k ? 1, k ? 1) ① 若 ?A ? 90 , 则 AB ? AC ? (2 ? k , ?1) ? (1, k ) ? 0 , ∴k ? 1 ; ② 若 ?B ? 90 , 则 AB ? BC ? (2 ? k , ?1) ? (k ? 1, k ? 1) ? 0 , 得 k 2 ? 2k ? 3 ? 0 无解; ③ 若 ?C ? 90 , 则 AC ? BC ? (1, k ) ? (k ? 1, k ? 1) ? 0 , 得 k 2 ? 2k ? 1 ? 0 , ∴k ? ?1 ? 2 . 综上所述, 当 k ? 1 时, △ ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形;当 k ? ?1 ? 2 时,

△ ABC 是以 C 为直角顶点的直角三角形.
(2)① 当 k ? 1 时, AB ? (1, ?1) , AC ? (1,1) ? AB ? AC ? 2 ; ② 当 k ? ?1 ? 2 时, AC ? (1, ?1 ? 2) , BC ? (?2 ? 2, 2) , 得 AC ? 4 ? 2 2 , BC ? 8 ? 4 2 , AC ? BC ; ③ 当 k ? ?1 ? 2 时, AC ? (1, ?1 ? 2) , BC ? (?2 ? 2, 2) , 得 AC ? 4 ? 2 2 , BC ? 8 ? 4 2 , AC ? BC ; 综上所述, 当 k ? 1 时, △ ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形. 2. 解:(1)可得 AB ? (n ? 8, t ) , ∵AB ? a , ∴ AB ? a ? (n ? 8, t ) ? (?1, 2) ? 0 , 得 n ? 2t ? 8 . 则 AB ? (2t , t ) , 又 AB ? 5 OA , OA ? 8 . ∴(2t )2 ? t 2 ? 5 ? 64 , 解得 t ? ?8 , 当 t ? 8 时, n ? 24 ;当 t ? ?8 时, n ? ?8 . ∴OB ? (24,8) 或 OB ? (?8, ?8) . (2)∵ 向量 AC 与向量 a 共线, ∴t ? ?2k sin ? ? 16 ,

4 32 t sin ? ? (?2k sin ? ? 16) sin ? ? ?2k (sin ? ? ) 2 ? . k k 4 4 32 32 ? 4 ,得 k ? 8 . ∵k ? 4 , ∴0 ? ? 1 , 故当 sin ? ? 时, t sin ? 取最大值 ,有 k k k k 1 这时, sin ? ? , k ? 8 , t sin ? ? 4 , 得 t ? 8 , 则 OC ? (4,8) . 2
∴OA ? OC ? (8,0) ? (4,8) ? 32 .


相关文档

平面向量的数量积习题课
平面向量数量积练习题
平面向量的数量积基础+复习+习题+练习)
平面向量的数量积习题
平面向量的数量积及运算练习题
平面向量的数量积练习题
平面向量数量积的坐标表示习题精选
平面向量数量积习题课
平面向量数量积及运算基础练习题
2.4平面向量的数量积习题课
电脑版