北师大版高中数学必修5第一章《数列》等比数列的性质_图文
北师大版高中数学必修5 第一章《数列》
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复习数列的有关概念1
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项（或首项）用 a1 表示， …， 第2项用 a2 表示， 第n项用 an 表示，…， 数列的一般形式可以写成： a1 , a2 , a3 , …， an , …， 简记作：
?an ?
2
复习数列的有关概念2 如果数列 ?an ? 的第n项 an 与n之间的关
系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做 这个数列的通项公式。
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an 叫做数列 ?an ? 的前n项和。
? S1 (n ? 1) an ? ? ?S n ? S n?1 (n ? 2)
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定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
当d≠0时，这是 an 关于n的一个一 an ? a1 ? (n ?1)d 次函数。 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， a?b 那么A叫做a与b的等差中项。 A? 等差数列 an 的前n项和 2 等差数列 的通项公式为
复习等差数列的有关概念
an?1 ? an ? d (是与n无关的数或式子）
? ?
? ?
Sn ? Sn
n（a1 ? an ) 2 n（n ? 1) ? na1 ? d 2
Sn
n（n ? 1) ? na n ? d 2
当公差d=0时，Sn ? na1 ， d 2 d , 当d≠0时， S n ? ? n ? (a1 ? )n 2 2 是关于n的二次函数且常数项 为0.
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复习等比数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等 于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
an ?1 ? q(是与n无关的数或式子 , 且q ? 0） an
既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 由此可知，等比数列
an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0)
?an ? 的通项公式为
an ? am ? qn?m (am ? q ? 0)
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 那么G叫做a与b的等比中项。
G ? ? ab
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等比数列的性质
如果一个数列
a1 , a2 , a3 , …，an , …，
m?1
是等比数列，它的公比是q，若m+n=p+k，则那么 aman ? a p ak
am 由定义得：
? a1 ? q
an ? a1 ? q n?1
p?1
a p ? a1 ? q
ak ? a1 ? q
k ?1
?
?
am ? an ? a1 q
2
m?n?2
a p ? ak ? a1 q
2
p ? k ?2
am an ? a p ak
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判断等比数列的方法
定义法:
an?1 ? q(是与n无关的数或式子 , 且q ? 0） an
中项法:
an?1 ? an?1 ? an (? 0)
三个数a,b,c成等比数列
2 ? ac ? b ?
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2
等比数列的性质例题1
例1 已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号， 求证： a ? b ? c , ab ? bc ? ca , 3 abc 也成等比数列。 3 3 2 解：证明：由题设 得：
ac ? b
a?b?c 3 a ? b ? c 3 3 ab ? b 2 ? bc ab ? bc ? ca 2 ? abc ? ? b ? ?( ) 3 3 3 3
∴
a ? b ? c ab ? bc ? ca 3 , , abc 3 3
也成等比数列
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等比数列的性质例题2
例2 已知
求证
?an ?, ?bn ? 是项数相同的等比数列， ?an ? bn ? 是等比数列.
a1 ，公比为 q1 的首项为 b1 ，公比为 q2 ，那么数列 ?an ? bn ?
证明：设数列
?bn ?
?an ? 的首项是
的第n项与第n+1项分别为：
n?1
a1 ? q1
n?1
? b1 ? q2 与a1 ? q1 ? b1 ? q2
n
n?1
n
n
即为a1b1 (q1q2 ) 与a1b1 (q1q2 )
所以?an ? bn ? 是一个以
an?1 ? bn?1 a1b1 (q1q2 ) n ? ? ? q1q2 . 它是一个与n无关的常数， n ?1 an ? bn a1b1 (q1q2 )
q1q2 为公比的等比数列
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等比数列的性质例题3
例3 已知 ?an ? 是等比数列，且 an ? 0 , a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25
求 a3 ? a5 解：∵ ∴ ∴ ∴
?an ?
2
是等比数列，an ? 0 , a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25
2
a3 ? 2a3a5 ? a5 ? 25
(a3 ? a5 )2 ? 25
a3 ? a5 ? 5
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等比数列的性质例题4
例4 a≠c,三数a, 1, c成等差数列， a 2 ,1, c 2 成等比数列， a?c 求 a2 ? c2
解：∵a, 1, c成等差数列, ∴ a＋c＝2, 又 a ,1, c 成等比数列，∴ 有ac＝1或ac＝－1, 当ac＝1时, 由a＋c＝2得a＝1, c＝1,与a≠c矛盾， ∴ ac＝－1,
2 2
a c ?1
2 2
a 2 ? c 2 ? (a ? c) 2 ? 2ac ? 6
a?c 1 ? 2 ? 2 3 a ?c
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等比数列的性质练习
1.在等比数列 ?an ? ，已知 a1 ? 5, a9 a10 ? 100 ，求 解：∵ a1a18 ? a9 a10
a9 a10 100 ? a18 ? ? ? 20 a1 5
a18
b4 ? 3 ，求该数列前七项之积。 2.在等比数列 ?bn ? 中，
解： b1b2b3b4b5b6b7 ? ?b1b7 ??b2b6 ??b3b5 ?b4
?b4 ? b1b7 ? b2b6 ? b3b5
∴前七项之积
2
?3 ? ? 3 ? 3
2 3
7
? 2187
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等比数列的性质练习
3.在等比数列 ?an ? ，已知a2 ? ?2, 解：
3
a5 ? 54
q ? 5? 2 ，求 a8
a5 a2
a5 54 a8 ? a 5 q ? a 5 ? ? 54 ? ? ?1458 a2 ?2
另解：∵
a5 是 a2 与 a8 的等比中项，
∴ 542 ? a8 ? (?2) ∴
a8 ? ?1458
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等比数列的性质作业练习册3、5、 6、7
祝同学们学习愉快， 人人成绩优异！
教学反思：
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