【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第5章 第1讲_图文

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第五章 数 列

第五章 第1讲

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第1讲 数列的概念与简单表示法

第五章 第1讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

第五章 第1讲

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1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通 项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.

第五章 第1讲

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1个重要关系 数列是一种特殊的函数,在研究函数问题时,既要注意函 数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性. 2 点必记特殊
1. 对于数列与周期性有关的题目,关键是找出数列的周期. 2. 求数列最大项的方法:

①判断{an}的单调性, ②解不等式组?????aakk≥ ≥aakk- +11 .求数列最小 项依此类推.

第五章 第1讲

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3 种必会方法 1. 叠加法:对于 an+1-an=f(n)型,若 f(1)+f(2)+…+f(n)的 和是可求的,可用多式相加法求得 an. 2. 叠乘法:对于aan+n1=f(n)型,若 f(1)·f(2)·…·f(n)的积是可求 的,可用多项式相乘法求得 an. 3. 构造法:对 an+1=pan+q 型,构造等比数列,求得 an.

第五章 第1讲

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课前自主导学

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1.数列的定义、分类与通项公式 (1) 数列的定义:按照________________叫做数列,数列中 的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为这个数列 的第一项,也叫________.

第五章 第1讲

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(2)数列的分类

分类原则

类型

满足条件

按项数分类

有穷数列 无穷数列

项数______ 项数______

按项与项

递增数列 an+1____an

间的大小关 系分类

递减数列 常数列

an+1____an an+1=an

其中n∈N*

摆动数列

从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项 小于它的前一项

第五章 第1讲

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(3) 通项公式:如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可 以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的
________,即an=f(n).

第五章 第1讲

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判断以下说法是否正确.

(1)1,4,2,13, 5不是数列( )

(2)数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7}( )

(3)数列 1,0,-1,-2 与数列-2,-1,0,1 是相同的数

列( ) (4)数列{n+n 1}的第 k 项为 1+1k( )

(5)数列 0,2,4,6,…可记为{2n}( )

第五章 第1讲

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数列的通项公式唯一吗?是否每个数列都有通项公式?

第五章 第1讲

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观察数列的特点,用适当的数填空. (1)34,23,172,(________),152,13,… (2) 35,(________), 1157, 2246, 3357,…

第五章 第1讲

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2.数列的递推公式
如果已知数列{an}的________(或________),且任何一项an 与 它 的 前 一 项 an - 1( 或 前 几 项 ) 间 的 关 系 可 以 用 一 个 式 子 来 表 示,即an=f(an-1)或an=f(an-1,an-2),那么这个式子叫做数列 {an}的递推公式.

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(1) 已 知

f(1)



3



f(n



1)



f?n?+1 2

(n



N*)





f(4)=

________.

(2)数列{an}中,an+1=2+2aan n(n∈N*),且 a7=12,则 a5=

________. (3)数列{an}中,a1=a2=1,an+2=an+1+an,则 a4=

________.

第五章 第1讲

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3.数列的前 n 项和及与通项的关系

①Sn=a1+a2+…+an;

②an=?????

?n=1? ?n≥2? .

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(1) 已 知 Sn为 数 列 {an} 的 前 n 项和 , 若 Sn= 2n - 1 ,则 a5 = ________;a3+a4+a5=________.
(2)设数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=________

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1. 一定顺序排列着的一列数 首项 有限项 无限项

> < 通项公式

判一判:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×

想一想:提示:不唯一,如数列-1,1,-1,1,…的通

项公式可以为 an=(-1)n 或 an=?????-1 1

?n为奇数? ?n为偶数? ,有的

数列没有通项公式.

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填一填:(1)12

6 (2) 8

2.第一项 前几项

填一填:(1)54 (2)1 (3)3

3.S1 Sn-Sn-1

填一填:(1)16

28

??2, (2)???2n-1,

n=1, n≥2.

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核心要点研究

第五章 第1讲

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例 1 写出下面各数列的一个通项公式 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…; (2)0.8,0.88,0.888,…;

第五章 第1讲

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(3)12,14,-58,1136,-2392,6614,…; (4)32,1,170,197,…; (5)0,1,0,1,….

第五章 第1讲

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[审题视点] 先观察各项的特点,然后归纳出通项公式, 要注意项与项数的关系及项与前后项的关系.
[解] (1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的 绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值 大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5).

第五章 第1讲

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(2)将数列变形为 89(1-0.1),89(1-0.01),89(1-0.001),…, ∴an=89(1-110n). (3)各项的分母分别为 21,22,23,24,…,易看出第 2,3,4 项 的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为-2-2 3,原数列可 化为

第五章 第1讲

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-212-1 3,222-2 3,-232-3 3,242-4 3,…,

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∴an=(-1)n·2n2-n 3.

(4)将数列统一为32,55,170,197,…,对于分子 3,5,7,9,…,

是序号的 2 倍加 1,可得分子的通项公式为 bn=2n+1,对于 分母 2,5,10,17,…,联想到数列 1,4,9,16,…,即数列{n2},

可得分母的通项公式为 cn=n2+1,因此可得它的一个通项公

式为 an=2nn2++11.

第五章 第1讲

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(5)an=?????01

?n为奇数? ?n为偶数?

或 an=1+?2-1?n或 an=1+c2osnπ.

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求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n项与序号n之间 的关系,常用技巧有(1)借助于(-1)n或(-1)n+1来解决项的符号 问题;(2)项为分数的数列,可进行恰当的变形,寻找分子、分 母各自的规律以及分子、分母间的关系;(3)对较复杂的数列的 通项公式的探求,可采用添项、还原、分割等方法,转化为熟 知的数列,如等差数列、等比数列等来解决.

第五章 第1讲

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[变式探究] 写出下面各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,…; (2)1,3,6,10,15,…; (3)-1,32,-13,34,-15,36,…; (4)3,33,333,3333,….

第五章 第1讲

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解:(1)各项减去 1 后为正偶数,所以 an=2n+1. (2)将数列改写为1×2 2,2×2 3,3×2 4,4×2 5,5×2 6,…因 而有 an=n?n+ 2 1?,也可逐差法 a2-a1=2,a3-a2=3,a4- a3=4,a5-a4=5,…,an-an-1=n,各式累加得 an=n?n+ 2 1?.

第五章 第1讲

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(3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(- 1)n;各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,…;而各项绝对值 的分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,
即奇数项为 2-1,偶数项为 2+1, 所以 an=(-1)n·2+?n-1?n.

也可写为 an=????3-1n ?n

?n为正奇数?
. ?n为正偶数?

第五章 第1讲

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(4)将数列各项改写为93,939,9939,99399,…,分母都是 3,而分子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,…,
所以 an=13(10n-1).

第五章 第1讲

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例2 [2013·金版原创]已知数列{an},满足a1+2a2+3a3 +…+nan=2n,则数列{an}的通项公式为________.
[解析] 当 n=1 时,由已知,可得 a1=21=2, 当 n≥2 时,a1+2a2+3a3+…+nan=2n,① 故 a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1,② 由①-②得 nan=2n-2n-1=2n-1,∴an=2nn-1.

第五章 第1讲

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??2,n=1, 显然 n=1 时不满足上式,∴an=???2nn-1,n≥2.

[答案]

??2,n=1 an=???2nn-1,n≥2

第五章 第1讲

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数 列 的 通 项 an 与 前 n 项 和 Sn 的 关 系 是 an =

??S1,n=1, ???Sn-Sn-1,n≥2.

当 n=1 时,a1 若适合 Sn-Sn-1,则 n=1

的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn -Sn-1,则用分段函数的形式表示.

第五章 第1讲

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[变式探究] (1)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n-1, 则a1+a3+a5+…+a25=________.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,若an+1=3Sn,且a1=1,则 其通项公式an=________.

答案:(1)350

??1,n=1, (2)???3×4n-2,n≥2.

第五章 第1讲

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解析:(1)当 n=1 时,a1=S1=2,当 n≥2 时,an=Sn-

Sn-1=2n+1,a1 不适合 an,所以 an=?????22n+1

n=1 n≥2



所以 a1+a3+a5+…+a25=(a1+1)+a3+a5+…+a25- 1=?3+251?×13-1=350.故填 350.

第五章 第1讲

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(2)当n≥2时,有an=Sn-Sn-1.又由an+1=3Sn,可得an=3Sn -1,两式相减,得an+1-an=3Sn-3Sn-1,即an+1-an=3an,整 理,得an+1=4an.
所 以 数 列 {an} 从 第 二 项 起 构 成 一 个 首 项 为 a2 = 3S1 = 3a1 = 3,公比q为4的等比数列.其通项公式为an=a2×qn-2=3×4n- 2(n≥2).
当n=1时,a1=1≠3×41-2,所以不适合上式.
综上,数列{an}的通项公式为 an=?????13, ×n4= n-21,,n≥2.

第五章 第1讲

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例 3 根据下列条件,求数列的通项公式 an. (1)a1=4,an+1=n+n 2an; (2)a1=-1,an+1=an+2n. (3)a1=1,an+1=2an+1.

第五章 第1讲

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[审题视点] (1)可转化后利用累乘求解,(2)可利用累加法 求解,(3)可构造等比数列求解.

[解] (1)由递推关系得aan+n 1=n+n 2,

又 a1=4,



an

= an an-1

·aann--12·…·aa23

·aa21

·a1

=nn+ -11·n-n 2

n-1 ·n-3

·…·42

3 ·1

·4=

?n+2·11?·n·4=2n(n+1)(n∈N*).

第五章 第1讲

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(2)由an+1=an+2n,得an+1-an=2n, 当n≥2时,an-an-1=2(n-1), 所以an-an-1=2(n-1), …
a3-a2=2×2, a2-a1=2×1, 将以上n-1个式子相加,

第五章 第1讲

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得 an-a1=2(1+2+…+n-2+n-1), 所以 an=a1+2×?1+n-21??n-1?=-1+n(n-1)=n2- n-1. 当 n=1 时,a1=12-1-1=-1,也与已知 a1=-1 相 符,所以数列{an}的通项公式为 an=n2-n-1.

第五章 第1讲

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(3)两边同时加 1,得 an+1+1=2(an+1),令 bn=an+1, 则 b1=a1+1=2,且bbn+n1=aan+n+1+11=2.
所以{bn}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. 则 bn=2×2n-1=2n,所以 an=2n-1.

第五章 第1讲

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1.由a1和递推关系求通项公式,可观察其特点,一般常利 用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等.
2.利用a1与递推关系可求a2,a3,a4,…,观察其周期性 也是解决递推关系的重要方法.
3.变形递推关系构造等差或等比数列是解决递推数列的 常用方法.

第五章 第1讲

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[变式探究] 根据下列条件,求数列的通项公式 an. (1)a1=1,an=an-1+3n-1(n≥2); (2)a1=1,且 an+1=3ana+n 1(n∈N*).

第五章 第1讲

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解:(1)∵an=an-1+3n-1(n≥2), ∴an-1=an-2+3n-2, an-2=an-3+3n-3, … a2=a1+31, 以上(n-1)个式子相加得 an = a1 + 31 + 32 + … + 3n - 1 = 1 + 3 + 32 + … + 3n - 1 = 3n-1 2.

第五章 第1讲

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(2)由已知,可得当 n≥1 时,an+1=3aan+n 1, 两边同时取倒数,得an1+1=3ana+n 1=a1n+3, 即an1+1-a1n=3,所以{a1n}是一个首项为a11=1,公差为 3 的等差数列.

第五章 第1讲

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设等差数列{a1n}的公差为 d, 其通项公式a1n=a11+(n-1)×d=1+(n-1)×3=3n-2. 所以数列{an}的通项公式为 an=3n1-2.

第五章 第1讲

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【选题·热考秀】 [2013·吉林调研]已知数列{an}满足 a1=33,an+1-an= 2n,则ann的最小值为________.

第五章 第1讲

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[规范解答] an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1) +a1=2[1+2+…+(n-1)]+33=33+n2-n,所以ann=3n3+n -1.
∵n∈N*,∴3n3+n≥2 3n3·n=2 33,等号当且仅当3n3= n,即 n= 33时取到.由于 n∈N*,故上式中等号不成立.而 与 33相接近的自然数是 5 或 6.

第五章 第1讲

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当 n=5 时,ann=353+5-1=553;

n=6 时,ann=363+6-1=663=221,而553>221.[或设 f(x)=3x3

+x-1(x>0),则 f′(x)=1-3x32 .令 f′(x)>0,得 x> 33,从而

f(x)在( 33,+∞)上是增函数,在(0, 33)上是减函数,又 6

比 5 接近 33,∴x=6 时,f(x)有最小值.]

所以ann的最小值为a66=221.

[答案]

21 2

第五章 第1讲

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【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角 (1)已知 an+1-an=f(n),求通项公式,可用累加法来解. (2)已知函数 y=x+px,求最值,除考虑运用基本不等式 外,还可利用导数来解.

第五章 第1讲

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No.2 角度关键词:方法突破 研究数列的最值问题,往往借助函数的思想利用导数研究 数列的单调性来解决,但考生不能对数列通项公式中的n直接 求导,而要先构造相应的函数,然后根据函数的单调性研究数 列的单调性,从而求解其最值.

第五章 第1讲

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经典演练提能

第五章 第1讲

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1.数列23,-45,67,-89,…的第 10 项是( )

A.-1167

B.-1189

C.-2201

D.-2223

答案:C

解析:an=(-1)n+12n2+n 1,a10=-2201,选 C 项.

第五章 第1讲

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2.[2013·江西抚州月考]数列{an}的前 n 项积为 n2,那么

当 n≥2 时,{an}的通项公式为( )

A.an=2n-1

B.an=n2

C.an=?n+n21?2

D.an=?n-n21?2

答案:D

第五章 第1讲

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解析:设数列{an}的前 n 项积为 Tn,则 Tn=n2,当 n≥2 时,an=TTn-n 1=?n-n21?2.

第五章 第1讲

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3.[2013·北京模拟]数列{xn}中,若 x1=1,xn+1=xn+1 1-

1,则 x2013=( A.-1

) B.-12

1 C.2

D.1

答案:D

第五章 第1讲

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解析:x1=1,代入 xn+1=xn+1 1-1 得,x2=-12,再将 x2 代入 xn+1=xn+1 1-1 得,x3=1,所以数列周期为 2,x2013 =x1=1.

第五章 第1讲

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金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

4.已知数列{an}的前n项和Sn=kn2,若对所有的n∈N*,

都有an+1>an,则实数k的取值范围是( )

A.k>0

B.k<1

C.k>1

D.k<0

答案:A

解析:本题考查数列中an与Sn的关系以及数列的单调性. 由Sn=kn2得an=k(2n-1),因为an+1>an,所以数列{an}是 递增的,因此k>0.

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5.[2013·精选题]根据下列5个图形及相应点的个数的变化 规律,试猜测第n个图中有________个点.

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答案:n2-n+1 解析:图(1)中为12-0;图(2)中为22-1;图(3)中为32- 2;图(4)中42-3;图(5)中为52-4,…,故第n个图中为n2-(n -1)=n2-n+1.

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限时规范特训

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