bc581.com:2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件-精品文档_图文

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第二章

平面向量

2.4.2

平面向量数量积的坐标表示、 模、夹角

第二章

平面向量

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学习目标
掌握

实例 ― ― → 平面向量数量积的坐标表示

理解

用平面向量坐标形式求 ― ― → 数量积、模、夹角 重点难点 重点:用两个向量的坐标来解决与向量的

模、夹角、垂直有关的问题. 难点:掌握数量积、求模公式、距离公式、夹角公式、 向量垂直与平行的等价形式.

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平面向量

新知初探思维启动
1.向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a = (x1 , y1), b= (x2 , y2) ,则 a· b x1x2+y1y2 = _______________ ,即两个向量的数量积等于 它们对应坐标的乘积的和. _________________________

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平面向量

做一做 1.已知向量a=(1,2),b=(2,3),则a· b=________. 解析:a· b=1×2+2×3=8.

答案:8

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平面向量

2.平面向量数量积坐标表示的几个公式 (1)向量模的坐标表示

x +y ,或|a|= x2+ y2. 若 a= (x, y),则 |a|2=________
(2)两向量平行、垂直的坐标表示 设 a= (x1, y1), b= (x2,y2),则

2

2

x1y2-x2y1=0 a∥b?___________________ ;
1 2 1 2 a⊥b?____________________.

x x +y y =0

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平面向量

(3)两向量夹角的余弦公式 设 a, b 是两个非零向量,a= (x1, y1), b= (x2,y2), θ
x1x2+ y1y2
2 2 2 x2 + y x + y 1 1 2 2 是 a 与 b 的夹角,则 cos θ= _______________.

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平面向量

做一做 2.已知向量a=(-2,2),b=(5,k),若a⊥b,则k=________. 答案:5
3.设向量 a=(0,2),b=( 3,1),则 a 与 b 的夹角等 于 ________.

π 答案: 3

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平面向量

驾驶员之家 jsyzj/ks/ 2019年新题库科目一模拟考试 驾驶员之家 jsyzj/aqks/ 2019年安全文明驾驶常识模拟考试 驾驶员之家 jsyzj/chexing/c1.html C1驾驶证能开什么车 驾驶员之家 jsyzj/chexing/c2.html C2驾驶证能开什么车 驾驶员之家 jsyzj/chexing/c3.html C3驾驶证能开什么车 驾驶员之家 jsyzj/chexing/c4.html C4驾驶证能开什么车 驾驶员之家 jsyzj/chexing/a1.html A1驾驶证能开什么车 驾驶员之家 jsyzj/chexing/a2.html A2驾驶证能开什么车 驾驶员之家 jsyzj/chexing/a3.html A3驾驶证能开什么车 驾驶员之家 jsyzj/chexing/b1.html B1驾驶证能开什么车 驾驶员之家 jsyzj/chexing/b2.html B2驾驶证能开什么车

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平面向量

典题例证技法归纳
题型探究
题型一 例1 数量积的坐标运算
已知向量a与b同向,b=(1,2),a· b=10. (1)求向量a的坐标; (2)若c=(2,-1),求(b· c)· a.

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平面向量

【解】

(1)∵向量a与b同向,且b=(1,2),

∴设a=λb=λ(1,2)=(λ,2λ)(λ>0), 由a· b=10,得1· λ+2· 2λ=10, 解得λ=2>0,符合a与b同向的条件, ∴λ=2,a=(2,4). (2)∵b=(1,2),c=(2,-1), ∴b· c=1×2+2×(-1)=0,

∴(b· c)· a=0.

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平面向量

】名师点评

【进行向量的数量积运算,前提是牢

记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条 途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量

积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,
再依据已知计算.

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平面向量

跟踪训练
1.已知向量a=(-1,2),b=(3,2). (1)求a· (a-b); (2)求(a+b)· (2a-b); (3)若c=(2,1),求(a· b)c,a(b· c) .

解:(1)法一:∵a=(-1,2),b=(3,2),
∴a-b=(-4,0). ∴a· (a-b)=(-1,2)· (-4,0) =(-1)×(-4)+2×0=4.
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平面向量

法二:a·(a-b)=a2-a· b =(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4. (2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-b=2(-1,2)-(3,2)

=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),
∴(a+b)· (2a-b)=(2,4)· (-5,2) =2×(-5)+4×2=-2.

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平面向量

(3)(a· b)c=[(-1,2)· (3,2)](2,1) =(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1). a(b· c)=(-1,2)[(3,2)· (2,1)] =(-1,2)(3×2+2×1) =8(-1,2)=(-8,16).

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平面向量

题型二
例2

两个向量的夹角问题

在平面上建立了直角坐标系 xOy, O 是原点(如图 ). 已知点 A(16,12)、 B(- 5,15).

→ → (1)求 |OA|, |AB|; (2)求∠ OAB.

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平面向量

【解】

→ (1)由OA= (16,12),

→ AB= (- 5- 16,15- 12)= (- 21,3),得 → |OA|= → 16 + 12 = 20, |AB|=
2 2

?- 21? 2+32= 15 2.

→ → AO · AB → → (2)cos∠ OAB= cos〈 AO ,AB〉= . → → |AO||AB | → → → → 其中AO · AB=-OA· AB=- (16,12)· (- 21,3) =-[16×(- 21)+ 12×3]=300. 300 2 故 cos∠ OAB= = .∴∠ OAB= 45° 20× 15 2 2
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平面向量

【名师点评】

根据向量的坐标表示求 a与 b的夹角时

,需要先求出 a· b及 |a||b|,再由夹角的余弦值确定 θ.其
中,当a· b>0时,a与b的夹角为锐角;当a· b<0时,a与 b的夹角为钝角;当a· b=0,a与b的夹角为直角.

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平面向量

跟踪训练

2.已知a=(1,1),b=(0,-2),当k为何值时,
(1)ka-b与a+b共线? (2)ka-b与a+b的夹角为120°? 解:∵a=(1,1),b=(0,-2), ∴ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),

a+b=(1,1)+(0,-2)=(1,-1).
(1)∵ka-b与a+b共线, ∴k+2-(-k)=0.∴k=-1.
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平面向量

(2)∵ |ka- b|= |a+ b|=

k2+?k+ 2?2,

12+?-1? 2= 2.

又 (ka- b)· (a+b)= (k,k+2)· (1,- 1)= k- k- 2=- 2,而 ka- b 与 a+ b 的夹角为 120° , ?ka- b? · ? a+ b? ∴ cos 120° = , |ka-b||a+ b| -2 1 即- = , 2 2 2 2· k +?k+ 2? 化简整理,得 k2+2k- 2=0,解得 k=-1± 3.

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平面向量

题型三

两向量垂直的坐标运算

例3 已知在△ABC 中,A(2,-1)、B(3,2)、C(-3,-1),
→ AD 为 BC 边上的高,求 |AD |与点 D 的坐标.

【解】

设 D 点坐标为 (x, y),

→ → → 则AD = (x- 2,y+ 1),BC= (-6,- 3),BD = (x-3,y- 2), → → ∵ D 在直线 BC 上,即BD 与BC共线, → → ∴存在实数 λ,使BD = λBC,

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平面向量

? ?x-3=- 6λ, 即 (x-3, y- 2)= λ(- 6,-3).∴? ? ?y- 2=- 3λ,

∴ x- 3= 2(y-2),即 x-2y+ 1= 0.① → → 又∵ AD⊥ BC,∴AD · BC= 0, 即 (x-2, y+ 1)· (- 6,-3)= 0, ∴-6(x-2)- 3(y+1)= 0,即 2x+ y- 3= 0.②
? ?x=1, → ? 由①②可得 ∴ |AD |= ?y= 1. ?

?1-2? 2+22=

5,

→ 即 |AD |= 5,点 D 的坐标为(1,1).
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平面向量

】名师点评

【利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题

的实质与利用定义解决垂直问题一致,利用坐标表示是把 垂直条件代数化,从而使判定方法更加简捷、运算更加直 接,体现了向量问题代数化的思想.

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平面向量

跟踪训练 3.已知点A(1,2)和B(4,-1),问能否在y轴上找到一点 C,使∠ ACB= 90°,若不能,请说明理由;若能,求 出C点的坐标.
解:假设存在点 C(0, y)使∠ ACB= 90° , → → → → → → 则AC⊥ BC.∵AC= (- 1, y-2), BC= (- 4, y+1), AC⊥ BC, → → ∴AC· BC=4+(y-2)(y+1)= 0, ∴ y2- y+ 2= 0.而在方程 y2-y+2= 0 中, Δ<0, ∴方程无实数解,故不存在满足条件的点 C.
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平面向量

方法感悟
1.由于两个非零向量 a、 b 的夹角 θ 满足 0° ≤ θ≤180° ,所以 用 cos θ= a· b 来判断, 可将 θ 分为五种情况: cos θ= 1, θ= 0° ; |a||b|

cos θ= 0, θ= 90° ; cos θ=- 1, θ=180° ;cos θ< 0 且 cos θ≠ - 1, θ 为钝角; cos θ> 0 且 cos θ≠ 1, θ 为锐角. 2.已知两向量的坐标,根据平面向量的数量积的定义和性质, 可以求其数量积、长度和它们的夹角,此外,求解数量积的有 关综合问题,应该注意函数思想与方程思想的运用.

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平面向量

精彩推荐典例展示
名师解题 例4 平面向量坐标表示的综合应用
已知向量 a= (cos(- θ), sin(- θ)),

π π b= (cos( - θ), sin( - θ)), 2 2 (1)求证:a⊥b; (2)若存在不等于 0 的实数 k 和 t,使 x= a+ (t2+ 3)b, k+ t2 y=- ka+ tb 满足 x⊥ y,试求此时 的最小值. t

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平面向量

【解】

(1)证明:∵ a· b

π π = cos(- θ)cos( - θ)+sin(- θ)sin( - θ) 2 2 = sin θcos θ- sin θcos θ= 0 1 . ∴ a⊥ b.

(2)由x⊥y,得x· y=0, 即[a+(t2+3)b]· (-ka+tb)=0,

∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t2+3)]a· b=0,
∴-k|a|2+(t3+3t)|b|2=0.

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平面向量

又 |a|2=1, |b|2=1,∴-k+t3+3t=0, ∴ k= t3+3t
2



k+ t2 t3+t2+3t 2 ∴ = = t +t+3 t t 1 2 11 3 = (t+ ) + . 2 4 k+t2 1 11 故当 t=- 时, 有最小值 . 2 4 t

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平面向量

信息提炼

层层剖析

1 要证 a⊥ b 只需验证 a· b= 0. 2 由 x⊥ y 即可得出 k 和 t 的关系,用 t 表示 k,从而

k+ t2 把 转化为关于 t 的函数,利用函数性质求最值. t
3 求最大 (小 )值问题, 一方面要注意利用变量之间的

关系消元, 另一方面要注意对求函数最大(小)值的常 用方法的应用.

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平面向量

跟踪训练 4.已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),t∈R. 求|a+tb|的最小值及相应的t值.
解:∵a=(-3,2), b= (2,1),c=(3,-1), ∴ a+ tb= (- 3,2)+t(2,1)=(-3+2t,2+ t), ∴ |a + tb|= ?- 3+2t? 2+? 2+ t?2 = 5t2-8t+13 =

4 2 49 5? t- ? + . 5 5 4 7 ∴当 t= 时,|a+ tb|取得最小值 5. 5 5
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