1集合与函数综合


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高考总复习一: 集合与函数综合(#391237)

【考点梳理】
考点一、集合
1.集合含义与表示 (1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合,简称 元素。集合中的元素具有 要根据具体需要选择恰当的方法。 2.集合间的关系 (1)若集合中 A 的任何元素都是集合 B 的元素,则称集合 A 是集合 B 的子集, 记为“ 记为“ ”或“ ”或“ ” 。 ” 。 (2)若 A ? B,且 B 中至少存在一个元素不是 A 的元素,则 A 是 B 的真子集, (3)若两个集合的元素完全一样,则这两个集合相等,记为“A=B” 。判断集合相等 还可以用下面两种方法; 要点诠释:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的 换言之, 3.集合的基本运算 (1)由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素构成的集合,叫 A 与 B 的并集, 记作“A∪B” 。用数学语言表示为 (2)由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素构成的集合,叫 A 与 B 的交集, 记作“A∩B” 。用数学语言表示为 。 (3)若已知全集 U,A 是 U 的子集,则由所有 U 中不属于 A 的元素构成的集合称为 集合 A 在 U 中的补集。记作“ ?U A ” 。用数学语言表示为 要点诠释: ; 。 。 。 。 。 、 和 、 。 、 。它们各有优点, (2)集合常用的表示方法有: 。其中每个对象叫做

考点二、函数及其表示
1.两个函数相等的条件 用集合与对应的语言刻画函数,与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的。 函数有三要素—— 2.函数的常用表示方法 函数的常用表示方法有: 3.映射 设 A、B 是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意 一个元素 x(原象) ,在集合 B 中都有唯一确定的元素 f ( x) (象)与之对应,那么就称 对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。由映射定义知,函数是一种特殊的映射, 即函数是 的映射。 、 、 。注意领会在 实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。 、 、 ,它们是不可分割的一个整体。 。 当且仅当两个函数的三要素完全相同时,这两个函数

考点三、函数的性质
1.函数的单调性 (1)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 地址:新五中东大门北行 100 米斜对面 圆梦特训学校 1 电话:18986365596 15727105662

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f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说函数 f ( x) 在区间 D 上是增函数。

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(2)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说函数 f ( x) 在区间 D 上是减函数。
(3)若函数 f ( x) 在某个区间上总是递增(或递减)的,则该区间是函数的一个 单调增(或减)区间。若函数 f ( x) 在整个定义域上总是递增(或递减)的,则称该函数为 单调增(或减)函数。 2.函数的奇偶性 (1)若一个函数具有奇偶性,则它的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的 定义域不关于原点对称,那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件,即这个函数既不是 奇函数也不是偶函数。 (2)若奇函数 y ? f ( x) 的定义域内有零,则由奇函数定义知 即 f (0) ? ? f (0) ,所以 3.奇、偶性图象的特点 如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以 反之,如果一个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形; 为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数。 为对称轴的对称图形;反之,如果一个 。 ,

如果一个函数是偶函数,则它的图象是以 函数的图象是

为对称轴的轴对称图形,则这个函数是偶函数。

【典型例题】
类型一:集合的关系及运算
例 1.已知全集 U=R,集合 M={x|-2≤x-1≤2}和 N={x|x=2k-1,k=1,2,?}的关 系的韦恩(Venn)图如下图所示,则阴影部分所示的集合的元素区有( )

A.3 个

B.2 个

C.1 个

D.无穷多个

举一反三:【变式】设全集为













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类型二:映射

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例 3. 设集合 A ? B ? {( x, y) | x ? R, y ? R} ,f 是 A 到 B 的映射,并满足

f : ( x, y) ? (? xy, x ? y) 。
(1)求 B 中元素(3,-4)在 A 中的原象; (2)试探索 B 中有哪些元素在 A 中存在原象; (3)求 B 中元素(a,b)在 A 中有且只有一个原象时,a,b 所满足的关系式。

举一反三: 【变式 1】已知 a,b 为两个不相等的实数,集合 M ? {a 2 ? 4a, ?1} ,

N ? {b2 ? 4b ? 1, ?2} , f : x ? x 表示把 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x,
则 a+b 等于( A.1 ) C.3 D.4 B.2

类型三:函数的概念及性质
例 4. 设定义在 R 上的函数 y= f(x)是偶函数,且 f(x)在(-∞,0)为增函数. 若对于 x1 ? 0 ? x2 ,且 x1 ? x2 ? 0 ,则有 ( A. f (| x1 |) ? f (| x2 |) C. f ( x1 ) ? f (? x2 ) )

B. f (? x2 ) ? f (? x1 ) D. f (? x1 ) ? f ( x2 )

例 5.设偶函数 f ( x) 满足 f ( x) ? x3 ? 8( x ? 0) ,则 {x | f ( x ? 2) ? 0} ? ( A.{x|x<-2 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} B.{x|x<0 或 x>4} D.{x|x<-2 或 x>2}



例 7.设函数 f ( x) ?| 2 x ? 4 | ?1 。

(1)画出函数 y ? f ( x) 的图象;

(2)若不等式 f ( x) ? ax 的解集非空,求 a 的取值范围。 解:

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举一反三:

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【变式 1】 直线 y=1 与曲线 y=x2-|x|+a 有四个交点,则 a 的取值范围是________。

例 8.已知函数 f ( x) ? x 2 ?

a (x≠0,常数 a∈R) 。 x

(1)讨论函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f ( x) 在 x∈[2,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围。 【思路点拨】 (1)对 a 进行分类讨论,然后利用奇函数的定义去证明即可。 (2)由题意 知,任取 2≤x1<x2,则有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 恒成立,即可得 a 的取值范围。 解:

举一反三: 【变式 1】已知函数 f ( x) ? kx ?

1 ,且 f(1)=1. x

(1)求实数 k 的值及函数的定义域; (2)判断函数在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明. 解:

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例 9.请先阅读下列材料,然后回答问题。 对于问题“已知函数 f ( x) ?

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1 ,问函数 f ( x) 是否存在最大值或最小值? 3 ? 2x ? x2

若存在,求出最大值或最小值;若不存在,说明理由。 ” 一个同学给出了如下解答: 解:令 u=3+2x―x2,则 u=―(x―1)2+4,当 x=1 时,u 有最大值,umax=4, 显然 u 没有最小值。∴当 x=1 时, f ( x) 有最小值

1 ,没有最大值。 4

(1)你认为上述解答正确吗?若不正确,说明理由,并给出正确的解答; (2)对于函数 f ( x) ? 解:

1 (a ? 0) ,试研究其最值情况。 ax2 ? bx ? c

举一反三: 【变式 1】(1)已知函数 y ? 1 ? x ? x ? 3 的最大值为 M,最小值为 m, 则

m 的值为( M
A.



1 4

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

(2)设 f ( x) ? ?

? x 2 , | x |? 1 , g ( x) 是二次函数,若 f [ g ( x )] 的值域是 ? x, | x |? 1
) B. (-∞,-1]∪[0,+∞) D.[1,+∞)

[0,+∞) ,则 g ( x) 的值域是( A. (-∞,-1]∪[1,+∞) C.[0,+∞)

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类型四:函数的综合问题

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例 10. (1)已知函数 f ( x) ? ax 2 ? 2ax ? 1 在区间[-1,2]上最大值为 4,求实数 a 的值; (2)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2 ,x∈[-1,1],求函数 f ( x) 的最小值。

举一反三: 【变式】设函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2 ,x∈[t,t+1],t∈R,求函数 f ( x) 的最小值。

2 例 11. 设 a 为实数,函数 f ( x) ? 2 x ? ( x ? a) | x ? a | 。

(1)若 f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; (2)求 f ( x) 的最小值; (3)设函数 h( x) ? f ( x) ,x∈(a,+∞) ,直接写出(不需要给出演算步骤) 不等式 h( x) ? 1 的解集。 解:

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【巩固练习】

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1.设全集 A. 2.已知{a,b} A. 8

, B.

,则集合 C.

等于( D.

).

,则满足条件的集合 A 的个数为( B. 7 C. 4 D. 3

)

3. 已知集合 M={x|-1≤x<2},N={x|x≤a},若 A. {a|a<2} 4.函数 A. 5.函数 B. {a|a>-1} 的定义域为( B. 的单调递减区间是( ) ) C. C. {a|-1≤a≤1}

,那么实数 的取值范围是( D. {a|a≥-1}

)

D.

A. 6.设 A. C. 是

B.

C.

D. )

上的任意函数,则下列叙述正确的是( 是奇函数 是偶函数 B. D.

是奇函数 是偶函数

7. 已知函数 A. C. 8.实数 A.23 9.设 满足 B.21 ,则函数
5 3

,则不等式 B.{x|x≤1} D. ,则 C.19 的最大值是( D. 17. 的值域是 . . 则 )

的解集是(



10.已知 f(x)=x +ax -bx-8,且 f(-2)=10,则 f(2)= 11.函数 是定义在 上的偶函数,且

的解析式可以是

.(写出一个符合

条件的函数即可)
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12.关于函数 ①当 ②当 时,函数 时,函数 ,必有 ,必有 在区间 在区间 成立;

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,有下列四个结论: 上单调递增; 上单调递减;

③对于任意 ④对于任意

成立. .(将全部正确结论的序号都填上)
2

其中正确的论断序号是 13. 已知函数 f(x)=-x +2ax-a +1
2

(1)若函数 f(x)在区间[0,2]上是单调的,求实数 a 取值范围; (2)当 x [-1,1]时,求函数 f(x)的最大值 g(a),并画出最大值函数 y=g(a)的图象.

14. 已知实数

,将函数 f(x)=ax -2x+1 在区间[1,3]上的最大值和最小值分别表示为 a 的 (1)求 g(a)的表达式;

2

函数 M(a),N(a),令 g(a)=M(a)-N(a).

(2)判断函数 g(a)在区间

上的单调性,并求出 g(a)的最小值.

15.已知函数 都有 .

的定义域是 (1)求 ;

,且满足 (2)解不等式

,

,如果对于 .

,

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