高中数学(人教版选修2-3)同步教学课件:第三章 3-1 回归分析的基本思想及其初步应用_图文

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 回归直线方程 [提出问题] 教材《必修 3》中学习了回归直线方程^ y =^ b x+^ a. 问题 1:回归直线方程准确地反映了 x,y 之间的关系吗? 提示:不是. 问题 2:所有的两个相关变量都可以求回归方程吗? 提示:可以,但拟合程度很差. [导入新知] 1.回归分析 回归分析是对具有 相关关系 的两个变量进行统计分析 的一种常用方法. 2.回归直线方程 方程^ y =^ b x+ ^ a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1, y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方程,其中^ a ,^ b 是待定参数,其 最小二乘估计分别为: ? n n ? ? ?xi- x ??yi- y ? ?xiyi-n x y ? i= 1 i= 1 ? ?^ b= = ,?^ a = y -^ bx, n n ? 2 2 2 ? x - x ? x - n x ? ? i i ? i= 1 i= 1 ? ? 1n 1n 其中 x =n ?xi, y =n ?yi, ( x , y ) 称为样本点的中心. i= 1 i= 1 [化解疑难] 线性回归方程中系数^ b 的含义 (1)^ b 是回归直线的斜率的估计值,表示 x 每增加一个单 位,y 的平均增加单位数,而不是增加单位数. (2)当^ b >0 时,变量 y 与 x 具有正的线性相关关系;当^ b <0 时,变量 y 与 x 具有负的线性相关关系. 线性回归分析 [提出问题] 具有相关关系的两个变量的回归直线方程^ y =^ b x+^ a. 问题 1:预报变量^ y 与真实值 y 一样吗? 提示:不一定. 问题 2:预报值^ y 与真实值 y 之间误差大了好还是小了好? 提示:越小越好. [导入新知] 1.残差平方和法 (1)^ e i = yi - ^ y i = yi - ^ b xi-^ a (i=1,2,…,n),称为相应于点 (xi,yi)的残差. (2)残差平方和___________ 越小,模型拟合效果越好. i= 1 2.残差图法 残差点 比较均匀地 落在水平的带状区域内, 说明选用的 模型比较合适,其中这样的带状区域宽度 越窄 ,说明模型的 精确度越高. y i)2 ? (yi-^ n 3.利用相关指数 R2 刻画回归效果 2 ^ ? y - y ? ? i i i= 1 n n i= 1 其计算公式为 R2=1-_____________ , 2 R 越接近于 1 ,表示回归效果越好. 其几何意义: ? ? y i- y ? 2 [化解疑难] 1.在线性回归模型中,因为 e 是一个随机变量,所以可以 通过其数字特征来刻画它的一些总体特征. 2.在线性回归模型中,R2 表示解释变量对于预报变量变 化的贡献率,R2 越接近于 1,表示回归的效果越好. 求线性回归方程 [例 1] 某种产品的广告费用支出 x 与销售额 y(单位: 百万元) 之间有如下的对应数据. x/百万元 y/百万元 (1)画出散点图; 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 (2)求线性回归方程; (3)试预测广告费用支出为 10 百万元时,销售额多大? [解] (1)散点图如图所示: (2)列出下表,并用科学计算器进行有关计算. i xi yi xiyi x2 i 1 2 30 60 4 2 4 40 160 16 3 5 60 300 25 4 6 50 300 36 5 8 70 560 64 合计 25 250 1 380 145 5 25 250 所以, x = 5 =5, y = 5 =50, ?x2 i =145, i= 1 ?xiyi=1 380. i= 1 5 5 ? xi y i - 5 x y 于是可得^ b= i= 1 5 2 - 5 x ?x2 i i= 1 1 380-5×5×50 = =6.5, 2 145-5 ×5 ^ a = y -^ b x =50-6.5×5=17.5. 所以所求的线性回归方程为^ y =6.5x+17.5. (3)根据上面求得的线性回归方程,当广告费用支出为 10 百 万元时, ^ y =6.5×10+17.5=82.5(百万元), 即广告费用支出为 10 百万元时, 销售额大约为 82.5 百万元. [类题通法] 求线性回归方程的步骤 (1)列表表示 xi,yi,xiyi,x2 i; n 2 (2)计算 x , y , xi , xiyi; i= 1 i= 1 ? n ? (3)代入公式计算^ a ,^ b 的值; (4)写出线性回归方程. [活学活用] 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分 析,得下表数据. x y 6 2 8 3 10 5 12 6 (1)请画出上表数据的散点图;(要求:点要描粗) (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的 线性回归方程^ y =^ b x+^ a; (3)试根据求出的线性回归方程, 预测记忆力为 9 的同学的 判断力. 解:(1)如图: (2) ?xiyi=6×2+8×3+10×5+12×6=158, i= 1 n 6+8+10+12 - x= =9, 4 2+3+5+6 - y= = 4, 4 2 2 2 2 ?x2 i =6 +8 +10 +12 =344, i= 1 n 158-4×9×4 14 ^ b= =0.7, 2 = 20 344-4×9 ^ a =- y -^ b- x =4-0.7×9=-2.3, 故线性回归方程为^ y =0.7x-2.3. (3)由(2)中线性回归方程当 x=9 时,^ y =0.7×9-2.3=4, 预测记忆力为 9 的同学的判断力约为 4. 线性回归分析 [例 2] 已知某种商品的价格

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