2016年春高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第3课时正、余弦定理习题课同步练习新人教B版必修5

【成才之路】2016 年春高中数学 第 1 章 解三角形 1.1 正弦定理和 余弦定理 第 3 课时 正、余弦定理习题课同步练习 新人教 B 版必修 5 一、选择题 1.三角形的两边长为 3cm、5cm,其夹角的余弦是方程 5x -7x-6=0 的根,则此三角形 的面积是( A.6cm C.8cm 2 2 ) 15 2 B. cm 2 D.10cm 2 2 [答案] A 3 2 [解析] 解方程 5x -7x-6=0,得 x1=- 或 x2=2. 5 3 由题意,得三角形的两边长为 3cm、5cm,其夹角的余弦为- , 5 4 ∴夹角的正弦为 , 5 1 4 2 故三角形的面积 S= ×3×5× =6cm . 2 5 2.△ABC 中,若∠A=60°,b=16,此三角形面积 S=220 3,则 a 的值为( A.7 C.55 [答案] D 1 1 3 [解析] 由题意,得 S=220 3= bcsinA= ×16×c× , 2 2 2 ∴c=55. 由余弦定理,得 a =b +c -2bccosA 1 2 2 =16 +55 -2×16×55× =2401, 2 ∴a=49. 3.在△ABC 中,若 sinA>sinB,则有( A.a<b C.a>b [答案] C ) B.a≥b D.a、b 的大小无法确定 2 2 2 ) B.25 D.49 -1- [解析] 利用正弦定理将角的关系化为边的关系, 由 b a sinA = 可得 = , 因为△ABC sinA sinB b sinB a b a 中 sinA>0,sinB>0,所以结合已知有 sinA>sinB>0,从而 >1,即 a>b. 4.若△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,那么 cosC=( 1 A.- 4 2 C.- 3 [答案] A [解析] 由正弦定理,得 sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=2∶3∶4, 令 a=2k,b=3k,c=4k(k>0), 1 B. 4 2 D. 3 ) a2+b2-c2 ∴cosC= 2ab = 4k +9k -16k 1 =- . 2×2k×3k 4 ) 2 2 2 1 2 2 2 5.在△ABC 中,若△ABC 的面积 S= (a +b -c ),则∠C 为( 4 π A. 4 π C. 3 [答案] A π B. 6 π D. 2 1 2 2 2 1 1 π [解析] 由 S= (a +b -c ),得 absinC= ×2abcosC,∴tanC=1,∴C= . 4 2 4 4 6.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( 5 A. 18 C. 3 2 3 B. 4 7 D. 8 ) [答案] D [解析] 设三角形的底边长为 a,则周长为 5a,∴等腰三角形腰的长为 2a.设顶角为 α , ?2a? +?2a? -a 7 由余弦定理,得 cosα = = . 2×2a×2a 8 二、填空题 7.在△ABC 中,a=2 3,b= 6,A=45°,则边 c=________. [答案] 3+ 3 2 2 2 -2- [解析] 由余弦定理,得 a =c +b -2cbcosA, ∴12=c +6-2 6c× ∴c -2 3c-6=0, 解得 c=3+ 3. 8.(2014·天津理,12)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,已知 b-c 1 = a,2sinB=3sinC,则 cosA 的值为________. 4 1 [答案] - 4 [解析] 本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理. ∵2sinB=3sinC,∴2b=3c. 1 3 1 又∵b-c= a,∴b= a,c= a. 4 4 2 9 2 1 2 a + a -a2 4 b +c -a 16 1 ∴cosA= = =- . 2bc 3 1 4 2× a× a 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 2 三、解答题 π 9.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,且 c=2,C= . 3 (1)若△ABC 的面积为 3,求 a、b 的值; (2)若 sinB=2sinA,求△ABC 的面积. [解析] (1)由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcosC, π 又 c=2,C= , 3 ∴a +b -ab=4. 1 3 由已知得 S△ABC= 3= absinC= ab,∴ab=4. 2 4 ?a +b -ab=4 ? 由? ?ab=4 ? 2 2 2 2 ,解得? ?a=2 ? ?b=2 ? . (2)∵sinB=2sinA,∴b=2a. π 2 2 又 c=2,C= ,∴a +b -ab=4. 3 -3- ? ?b=2a 由? 2 2 ?a +b -ab=4 ? 2 3 ? ?a= 3 ,解得? 4 3 b= ? ? 3 . 1 2 3 ∴S△ABC= absinC= . 2 3 10.(2015·天津文,16)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.已知△ABC 1 的面积为 3 15,b-c=2,cos A=- . 4 (1)求 a 和 sin C 的值; π? ? (2)求 cos?2A+ ?的值. 6? ? 1 [解析] (1)在△ABC 中,由 cos A=- , 4 得 sin A= 15 , 4 1 由 S△ABC= bcsin A=3 15,得 bc=24, 2 又由 b-c=2,解得 b=6,c=4. 由 a =b +c -2bccos A,可得 a=8. 由 2 2 2 a c 15 = ,得 sin C= . sin A sin C 8 π? π π ? (2)cos?2A+ ?=cos 2Acos -sin 2Asin 6? 6 6 ? = = 3 1 2 (2cos A-1)- ×2sin Acos A 2 2 15-7

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