四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性考试数学(文)试题

保密 ★ 启用前 【考试时间:2013 年 1 月 26 日 15:00—17:00】

绵阳市高中 2010 级第二次诊断性考试

数 学(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上, 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫米的黑 色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答 题无效。 3.考试结束后,将答题卡收回。

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x2-2x≤0,x∈R},集合 B={x||x|≤1,x∈R},则 A∩B= A.{x|0≤x≤2} B.{x|0≤x≤1} C.{x|-1≤x≤2} D.{x|1≤x≤2}

2.计算:1+i+i2+i3+?+i100(i 为虚数单位)的结果是 A.0 B.1 C.i D.i+1

3.已知 a、b∈R,那么“ab<0”是“方程 ax2+by2=1 表示双曲线”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 4.为了得到函数 y ? 3 sin ( 2 x ? A.横坐标缩短到原来的
1 2

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
?
5 )

的图象,只需把函数 y ? 3 s in ( x ?

?
5

)

图象上所有点的

倍,纵坐标不变

B.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 C.纵坐标缩短到原来的
1 2

倍,横坐标不变

D.纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变 5.如图,直线 l 和圆 C,当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 按逆时针 方向匀速转动(转动角度不超过 90° )时,它扫过的圆内阴影 部分的面积 S 是时间 t 的函数,这个函数的图象大致是 S S S S
O O c



l l ll0 0

O

t

O

t

O

t

O

t

A.

B.

C.

D. 1
3

6.一个正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)的三视图 如右图所示,则这个正三棱柱的体积为 A. 3 C. 4 3 B. 2 3 D. 6 3 正视图 侧视图

7.在平面直角坐标系 xOy 中,⊙M 过原点且与坐标轴交 于 A(a, B(0, 0), a)两点, 其中 a>0. 已知直线 x+y-2=0 截⊙M 的弦长为 6 ,则 a= A.
7 2
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俯视图

B.

7 4

C.

7 2

D. 7

8.已知函数 f (x)= ?

? (3 ? a ) x ? 3,( x ? 7 ) , ?a
x ?6



( x ? 7 ),

数列{an}满足 an=f (n)(n∈N+),且{an}是单调递增

数列,则实数 a 的取值范围是 A.(1,3)
x a
2 2

B.(2,3)
? y b
2 2

C. ? 2,3 ?

D. [ ,3)
4

9

9.已知椭圆
y ?
2

?1

(a>b>0)的半焦距为 c(c>0),左焦点为 F,右顶点为 A,抛物线

15 8

(a ? c) x

与椭圆交于 B、C 两点,若四边形 ABFC 是菱形,则椭圆的离心率是 B.
4 15

A.

8 15

C.

2 3

D.

1 2

10.用 max{a,b,c}表示 a、b、c 中的最大者,若 x、y、z 均为正数,则 max{x2+y2,xy+z,
1
3

}的最小值为
2

x y z

2

A. 2

B. 2 2

C. 3 2

D. 3 4

第Ⅱ卷 (非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.《人再囧途之泰囧》首映结束,为了了解观众对该片的看 法, 决定从 500 名观众中抽取 10%进行问卷调查, 在这 500 名观众中男观众占 40%,若按性别用分层抽样的方法抽取 采访对象,则抽取的女观众人数为 12.直线 3 x+y-1=0 的倾斜角的大小是 人. i=6,s=1 i>4? 是 s=s×i i=i-1 否 开始

.

输出 s 结束

13.右图表示的程序所输出的结果是

.

14.我们把离心率之差的绝对值等于 1 的两条双曲线称为“姊妹双曲线”.已知双曲线
x
2

?

y

2

? 1 与双曲线

x

2

?

y

2

? 1 是“姊妹双曲线”,则

n m

的值是

.

4

12

m

n

15.已知函数 f ( x ) ,若对给定的三角形 ABC,它的三边的长 a、b、c 均在函数 f ( x ) 的定义 域内,都有 f ( a ) 、 f ( b ) 、 f ( c ) 也为某三角形的三边的长,则称 f ( x ) 是△ABC 的“三 角形函数”.下面给出四个命题: ①函数 f1(x)=kx(k>0,x∈(0,+∞))是任意三角形的“三角形函数”; ②不存在三角形,使得函数 f 2 ( x ) ?
x ( x ? (0 , ? )) ?

是它的“三角形函数”;

③若定义在 (0,? ? ) 上的周期函数 f 3 ( x ) 的值域也是 (0,? ? ) ,则 f 3 ( x ) 是任意三角形 的“三角形函数”;
0) ④对锐角△ABC,它的三边长 a、b、c∈N+,则 f 4 (x ) ? x 2+ ln x ( x ?

是锐角△ABC 的

“三角形函数”. 以上命题正确的有 .(写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x)=(sinx+cosx)2-2sin2x. (Ⅰ)求 f (x)的单调递减区间; (Ⅱ)A、B、C 是△ABC 的三内角,其对应的三边分别为 a、b、c.若 f ( ) ?
8
??? ???? ? AB ? AC

A

6 2



=12, a ? 2 7 ,且 b<c,求 b、c 的长. D1 A1 B1 C1

17. (本小题满分 12 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. (Ⅰ)求证:平面 A1BD//平面 CB1D1 ; (Ⅱ)求直线 A1B 与平面 A1B1CD 所成角的余弦值; (Ⅲ)设该正方体棱长为 4cm,现将正方体 的表面涂成红 色,再适当全部分割成棱长为 1cm 的小正方体,试求两 面涂色的小正方体和六面均没涂色的小正方体的各有多 少个?(请直接写出结果,不必说明理由) A

D B

C

18.(本小题满分 12 分)已知等比数列{an}(n∈N+)的首项和公比均为常数 q. (Ⅰ)若 a3、a2、a4 依次成等差数列,求 q 的值; (Ⅱ)若 an>0,数列{bn}的前 n 项和是 Sn,bn=lgan,求使得对任意 n∈N*都有 Sn≤n 2 恒成立的常数 q 的取值范围.
[来源:21 世纪教育网]

19.(本小题满分 12 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2-2x+b-a+3=0,其中 a、b 为常数,

点(a,b)是区域 ? : ?

? 0 ? a ? 4, ?0 ? b ? 4

内的随机点.

(Ⅰ)当方程无实根且 a、b∈N 时,试列举出所有的点(a,b),并求此时概率 P1; (Ⅱ)设该方程的两个实根分别为 x1、x2,试求 x1、x2 满足 0≤x1≤1≤x2 时的概率 P2. 20.(本小题满分 13 分)动点 M(x,y)与定点 F(1,0)的距离和它到直线 l:x=4 的距离之比 是常数
1 2

,O 为坐标原点.

(Ⅰ)求动点 M 的轨迹 E 的方程,并说明轨迹 E 是什么图形? (Ⅱ)已知圆 C 的圆心在原点,半径长为 2 ,是否存在圆 C 的切线 m,使得 m 与圆 C 相切于点 P,与轨迹 E 交于 A、B 两点,且使等式 A P ? P B ? O P 成立?若存在,求出 m 的方程;若不存在,请说明理由. 21.(本小题满分 14 分)已知函数 f (x)=xlnx(x∈(0,+∞)). (Ⅰ)求 f (x)的单调区间 ; (Ⅱ)若函数 g(x)=2f (x)-blnx+x 在 x ? [1,+ ? ) 上存在零点,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)任取两个不等的正数 x1、x2,且 x1<x2, 若存在 x0>0 使 f ? ( x 0 ) ? 立,求证:x0>x1.
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

??? ??? ? ?

??? 2 ?



绵阳市高中 2010 级第二次诊断性考试

数学(文)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. BBCAD ABDDA 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.30 12. ?
3 2

13.30
?
4

14. 或 8
8

1

15.①④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (Ⅰ)f (x)=1+sin2x-1+cos2x= 2 sin(2x+ ∴ 当 2k? ? 解得 k ? ?
?
8

),

?
2

≤2x+

?
4

≤ 2k? ?
5? 8

3? 2

时,f (x)单调递减,

≤x≤ k ? ?


?
8

即 f (x)的单调递减区间为[ k ? ? (Ⅱ)f ( ∴
A
A 8

, k? ?
6

5? 8

](k∈Z).
A 4

????????6 分
3

)= 2 sin(
?
3

A 4

+

?
4

)=
?
3

,即 sin(
5? 3

+

?
4

)=



2

2

+

?

=



2? 3

,即 A=



(舍). ,得 bc=24.①

4 4 ??? ???? ? 由 AB ? AC
2

=c·b·cosA=12,cosA=
2 2

1 2

又 cosA=

b ?c ?a 2bc

?

1 2

,a ? 2 7

,得 b2+c2=52.

∵ b2+c2+2bc=(b+c)2 =100,b>0,c>0, ∴ b+c=10,② 联立①②,且 b<c,解得 b=4,c=6.???????????????12 分 17.(Ⅰ)证明:在正方形 ABCD-A1B1C1D1 中, D1 C1 由 A1D1 BC,知四边形 A1BCD1 是平行四边形, ∴ A1B∥D1C, A1 B1 ∴ A1B//平面 CB1D 1. O 同理可证:BD//平面 CB1D1, ∴ 平面 A1BD∥平面 CB1D1.?????????4 分 D C (Ⅱ) 解: 设正方体的边长为 a, 连接 BC1 交 B1C 于点 O, A B

连接 A1O, 在正方形 ABCD-A1B1C1D1 中,DC⊥平面 BCC1B1, ∴ DC⊥BC1. 又 BC1⊥B1C, ∴ BC1⊥平面 A1 B1CD. ∴ A1B 在平面 A1B1CD 上的射影为 A1O. ∴ ∠BA1O 是直线 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角. 易知: A1 B ?
2 a, B O ? 2 2 6 2 a a

, , c o s ? B A1 O ?
3 2

在 Rt△A1BO 中,A1O= A1 B 2 ? B O 2 ?

A1 O A1 B

?

3 2



即直线 A1B 与平面 A1B1CD 所成角的余弦值为



????????8 分

( Ⅲ ) 解 : 两 面 涂 色 的 小 正 方 形 有 24 个 ; 六 面 均 没 有 涂 色 的 小 正 方 形 有 8 个. ?????????????????????????????12 分 18.解:(Ⅰ)∵ a3、a2、a4 依次成等差数列, ∴2a2=a3+a4,即 2a1q=a1q2+a1q3. 由已知 a1=q≠0,于是上式化简 q2+q-2=0,解得 q=1 或 q=-2.????4 分 (Ⅱ)由题意知:an=a1 q n ? 1 =qn, 由 an>0 知 q>0. ∴ bn=lgqn=nlgq. ∴ 数列{bn}是首项为 lgq,公差为 lgq 的等差数列 ∴ Sn ?
n (lg q ? n lg q ) 2 lg q ( n ? n )
2

?

lg q ( n ? n )
2

.????????????????7 分

2

∴ 由题知不等式 即 lgq≤
2n 1? n
2n 1? n

≤n2 对任意 n∈N*恒成立,

2

对任意 n∈N*恒成立. ,由 g ( n ) ?
2n 1? n ? 2? 2 1? n

设 g (n) ?

,易知 g ( n ) 对任意 n∈N*单调递增,∴

[ g ( n )] m in ? g (1) ? 1 ,

∴ lgq≤[g(n)]min,即 lgq≤1,解得 0<q≤10, 即常数 q 的取值范围为 0<q≤10. ????????????????12 分 19.解:(Ⅰ)当 a、b∈N 时,所有的点(a,b) 共有 25 个,分别为: (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 2 ∵ 关于 x 的一元二次方程 x -2x+b-a+3=0 无实根, ∴ ? ? 4 ? 4 ( b ? a ? 3) ? 0 ,即 a-b-2<0,
[来源:21 世纪教育网] 21 世纪教育网

满足 a-b-2< 0 的点(a,b)共有 19 个, ∴ P1 ?
19 25

.????????????????6 分

b 4

(Ⅱ)设函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? b ? a ? 3 , ∵ 该方程的二实根 x1、x2 满足 0≤x1≤1≤x2, O 2 34 a

∴ ?

? f(0)? 0, ? f (1) ? 0,

即 ?

? a ? b ? 3 ? 0, ? a ? b ? 2 ? 0.

1

?2?2?

1

?1?1 ?

由图知:满足

0≤x1≤1≤x2 时的概率 P2 ? 2
( x ? 1) ? y
2 2

2 4?4

3 32

. ??12 分

20.解:(Ⅰ)由题意得, 化简得:
x
2

x?4

?

1 2

, ??????5 分
??? ??? ? ?

?

y

2

? 1 ,即轨迹 E

为焦点在 x 轴上的椭圆.
??? ?

4
??? ??? ? ?

3
??? ? ??? ? ??? ?

(Ⅱ)设 A(x1,x2),B(x2,y2).
??? ??? ? ?

∵ O A ? O B =( O P ? P A )? ( O P ? P B )= O P + O P ? P B + P A ? O P + P A ? P B , 由题知 OP⊥AB,故 O P ? P B =0, P A ? O P =0. ∴ O A ? O B = O P + P A ? P B = O P - A P ? P B =0. 假设满足条件的直线 m 存在, ①当直线 m 的斜率不存在时,则 m 的方程为 x= ? 2 , 代入椭圆 ∴
x
2

??? 2 ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? 2 ?

??? ??? ? ?

??? 2 ?

??? ??? ? ?

?

y

2

? 1 ,得

y= ?

6

. =0 矛盾,故此时 m 不存在.

2 4 3 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 6 O A ? O B =x1x2+y1y2=-2- ? 0,这与 O A ? O B 4

②当直线 m 的斜率存在时,设直线 m 的方程为 y=kx+b, ∴ |OP|= 联立 ∴
x
2

b 1? k
2

?

2

,即 b2=2k2+2.

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?

y

2

? 1与

y=kx+b 得,(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0, ,x1x2=
4b ? 12
2

4

3

x1+x2=

?8kb 3 ? 4k
2

3 ? 4k

2


3b ? 1 2 k
2 2

y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2= ∴ O A ? O B =x1x2+y1y2=
??? ??? ? ?
4b ? 12
2 2

3 ? 4k
2 2

2



3 ? 4k

2

+

3b ? 1 2 k 3 ? 4k

=0.

∴ 7b2-12k2-12=0, 又∵ b2=2k2+2, ∴ 2k2+2=0,该方程无解,即此时直线 m 也不存在. 综上所述,不存在直线 m 满足条件.???????????????13 分 21.解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? ln x ? 1 , 由 ln x ? 1 ? 0 ,即 x ?
1 e

时 f ? ( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在区间 ( ,? ? ) 上单调递增,
e
1 e

1

由 ln x ? 1 ? 0 ,即 0 ? x ?

时 f ? ( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在区间 ( 0, ) 上单调递减,
e

1

∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ,? ? ) ,单调递减区间为 ( 0, ) .???5 分
e e

1

1

(Ⅱ)∵ 函数 g(x)=2f (x)-blnx+x 在 x ? [1,+ ? )上存在零点, ∴ 方程 2 x ln x ? b ln x ? x ? 0 在 x ? [1,+ ? )上有实数解.

易知 x=1 不是方程的实数解, ∴ 方程 2 x ln x ? b ln x ? x ? 0 在 x ? (1,? ? ) 上有实数解, 即 方程 b ? 2 x ? 设? ( x) ? 2 x ?
? ?( x ) ? 2 ?
x ln x
ln x ? 1 (ln x )
2

x ln x

在错误!未找到引用源。上有实数解.
( x ? 1) ,

?

2 (ln x ) ? ln x ? 1
2

(ln x )

2

?

( 2 ln x ? 1)(ln x ? 1) (ln x )
2



∵ x ? 1 ,∴ ln x ? 0 , ln x ? 1 ? 0 , 当 2 ln x ? 1 ? 0 ,即 x ?
e 时, ? ? ( x ) ? 0 ;
e

当 2 ln x ? 1 ? 0 ,即 1 ? x ?

时, ? ? ( x ) ? 0 ,

∴ ? ( x ) 在 (1, e ) 上单调递减,在 ( e,? ? ) 上单调递增, ∴ [? ( x )] m in ? ? ( e ) ? 4 e , ∴ 实数 b 的取值范围为 [ 4 e, ? ? ) .???????????????10 分 (Ⅲ)∵ 存在 x0>0 使 f ? ( x 0 ) ? ∴ ln x 0 ? 1 ?
x 2 ln x 2 ? x1 ln x1 x 2 ? x1 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

成立,

成立.

要证明:x0>x1 成立, 只需证明 ln x 0 ? 1 ? ln x1 ? 1 只需证明 只需证明 只需证明 设
x2 x1 ?t x 2 ln x 2 ? x ln x 1 x 2 ? x1

成立, 成立,

1 ? ln x1 ? 1

x2 ( l nx2 ?
ln x2 x1 ?1?

l n 1 ?) x 2 ? x
x2 x1

x成立, 1

成立.

,∵ x1<x2 ,∴ t ? 1 ,∴ 即证明: ln t ? 1 ? t 当 t ? 1 时成立.

令 h ( t ) ? ln t ? t ? 1( t ? 1) , ∵ h ?( t ) ?
1 t ? 1 t
2

?

t ?1 t
2

? 0



∴ h ( t ) 在 (1, ? ? ) 上单调递增, ∴ h ( t ) ? h (1) ? 0 ,即 ln t ? 1 ? t 成立, ∴ 不等 式 x0>x1 成立.?????????????????????14 分


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