高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与 两个定点 F 1 ,F 2 的距离的和等于常数 2a ,且此常数 2a 一定 要大于 F1 F2 ,当常数等于 F1 F2 时,轨迹是线段 F 1 F 2 ,当 常数小于 F1 F2 时,无轨迹;双曲线中,与两定点 F 1 ,F 2 的 距离的差的绝对值等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要小于 |F 1 F 2 |, 定义中的 “绝对值” 2a <|F 1 F 2 |不可忽视。 2a 与 若 =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,若 2a ﹥ |F 1 F 2 |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表 示双曲线的一支。 如方程 ( x ? 6)2 ? y 2 ? (x ? 6)2 ? y 2 ? 8表示的曲线是 _____(答:双曲线的左支) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点, 坐标轴为对称轴时的标准位置的方程) : (1)椭圆:焦点在 x 轴上时

③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) , 两个顶点 (? a, 0) , 其中实轴长为 2 a , 虚轴长为 2 b , 特别地, 当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 ④准线: 两条准线 x ? ? x2 ? y 2 ? k , k ? 0 ;

a2 ; ⑤离心率: c

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a2 b2

y2 x2 焦 点 在 y 轴 上 时 2 ? 2 = 1 ( a ? b ? 0 )。 方 程 a b 2 2 Ax ? By ? C 表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且
A,B,C 同号,A≠B) 。 若 x, y ? R ,且 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是 ____, x 2 ? y 2 的最小值是___(答: 5, 2 ) (2) 双曲线: 焦点在 x 轴上: 上:

c ,双曲线 ? e ? 1 ,等轴双曲线 ? e ? 2 , e 越小, a b 开口越小, e 越大,开口越大;⑥两条渐近线: y ? ? x 。 a 2 (3)抛物线(以 y ?2 px p 0) 例) ①范围: : ( ? 为 p x ? 0, y ? R ;②焦点:一个焦点 ( , 0) ,其中 p 的几何意义 2 是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴 y ? 0 ,没有 p 对称中心,只有一个顶点(0,0) ;④准线:一条准线 x ? ? ; 2 c ⑤离心率: e ? ,抛物线 ? e ? 1 。 a 如 设 a ? 0, a ? R , 则 抛 物 线 y ? 4ax2 的 焦 点 坐 标 为 e?
________(答: (0,

1 ; )) 16 a

x2 y2 ? =1, 焦点在 y 轴 a2 b2

y2 x2 2 2 ? =1( a ? 0, b ? 0 ) 。方程 Ax ? By ? C 表示 a2 b2

双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B 异号) 。 如设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离

x2 y2 ? ?1 a ? b ? 0) ( 的关系: (1) a2 b2 2 2 x0 y0 点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外 ? 2 ? 2 ? 1 ; (2) P( x0 , y0 ) 在椭 点 a b x2 y2 圆 上 ? 0 ? 0 = 1 ;( 3 ) 点 P( x0 , y0 ) 在 椭 圆 内 a2 b2 x2 y 2 ? 0 ? 0 ?1 a 2 b2
5、 P( x0 , y0 ) 和椭圆 点 6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线 与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线 与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交 点,故 ? ? 0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条 件; ? ? 0 ? 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一 定有 ? ? 0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线 相交且只有一个交点, ? ? 0 也仅是直线与抛物线相交的充 故 分条件,但不是必要条件。 (2)相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直线与双 曲线相切; ? ? 0 ? 直线与抛物线相切; (3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离; ? ? 0 ? 直线与双 曲线相离; ? ? 0 ? 直线与抛物线相离。 提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的 位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐 近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与 抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点; (2)

2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10) ,则 C 的方程为 _______(答: x 2 ? y 2 ? 6 ) 2 (3)抛物线:开口向右时 y ? 2 px( p ? 0) ,开口向左 2 2 时 y ? ?2 px( p ? 0) ,开口向上时 x ? 2 py( p ? 0) ,开口 2 向下时 x ? ?2 py( p ? 0) 。
心率 e ? 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判 断) : 2 2 (1)椭圆:由 x , y 分母的大小决定,焦点在分母大 的坐标轴上。

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭 m ?1 2 ? m 3 圆,则 m 的取值范围是__(答: ( ?? ,?1) ? (1, ) ) 2 2 2 (2)双曲线:由 x , y 项系数的正负决定,焦点在系
如已知方程 数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号 决定开口方向。 提醒:在椭圆中, a 最大, a ? b ? c ,在双曲线中,
2 2 2

x2 y2 过双曲线 2 ? 2 =1 外一点 P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有 a b
一个公共点的情况如下: 点在两条渐近线之间且不含双曲 ①P 线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线 两支相切的两条切线,共四条; ②P 点在两条渐近线之间且包 含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双 曲线一支相切的两条切线,共四条; ③P 在两条渐近线上但非 原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是 切线;④P 为原点时不存在这样的直线; (3)过抛物线外一点 总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一 条平行于对称轴的直线。 7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成 的三角形)问题: S ? b tan
2

c 最大, c2 ? a 2 ? b2 。
4.圆锥曲线的几何性质:

x2 y2 (1)椭圆(以 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )为例) :①范 a b 围: ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ;②焦点:两个焦点 (?c, 0) ;③ 对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,四 个顶点 (? a, 0), (0, ?b) ,其中长轴长为 2 a ,短轴长为 2 b ;
c a2 ④准 线 :两条 准线 x ? ? ; ⑤离 心 率 : e ? , 椭圆 a c 0 ? e ? 1 , e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。 ? x2 y2 10 如(1)若椭圆 ,则 m 的值 ? ? 1 的离心率 e ? 5 m 5 25 是__(答:3 或 ) ; 3
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面 积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为__(答:b2+c2>2bc

?
2

? c | y0 | ,当 | y0 |? b 即 P 为

短轴端点时, S max 的最大值为 bc;对于双曲线 S ?
2

b2 t an

?
2



y ? 1 上一点, F1 , F2 为双曲线 12 的两个焦点,且 PF PF2 =24,求 ?PF F2 的周长。 1 1
练习:点 P 是双曲线上 x ?
2

2 2)
x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )为例) :① a 2 b2 范围: x ? ?a 或 x ? a, y ? R ;②焦点:两个焦点 (?c, 0) ;
(2)双曲线(以
1

8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: (1)以过 焦点的弦为直径的圆和准线相切; (2)设 AB 为焦点弦, M 为 准线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF; (3)设 AB 为焦点弦, A、B 在准线上的射影分别为 A 1 ,B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点, 则 PA⊥PB;

9、弦长公式: 若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、 B, 且 x1 , x2 分别为 A、B 的横坐标,则 AB = 1 ? k 若 y1 , y2 分别为 A、 的纵坐标, AB = 1 ? B 则
2



C2

x1 ? x2 ,

x2 ? y 2 ? 1. ( II ) 将 的 方 程 为 3

1 y1 ? y 2 , k2 若 弦 AB 所 在 直 线 方 程 设 为 x ? ky ? b , 则 AB =
1 ? k 2 y1 ? y2 。特别地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的
弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为 两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定 理”或“点差法”求解。

y ? kx ? 2代入

x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 2kx ? 4 ? 0. 4

由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得

?1 ? (8 2 ) 2 k 2 ? 16(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 1) ? 0,
k2 ? 1 . 4




x2 y2 在椭圆 2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的 a b 2 b x 斜率 k=- 2 0 ; a y0
弦所在直线的方程:
2 2

将y ? kx ? 2代入

x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 3

. 由 直 线 l 与 双 曲 线 C2 恒 有 两 个 不 同 的 交 点 A , B 得

垂直平分线的方程:

x y ? 2 ? 1 中, P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的 以 2 a b b2 x 2 斜率 k= 2 0 ; 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 中, P( x0 , y0 ) 为 以 a y0 p 中点的弦所在直线的斜率 k= 。 y0 提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件, 故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验 ? ? 0 !
在双曲线 11.了解下列结论 2 2 (1)双曲线 x ? y ? 1 的渐近线方程为 x ? y ? 0 ; a b a2 b2 2 2 b (2)以 y ? ? x 为渐近线(即与双曲线 x ? y ? 1 共渐 2 2 a a b x2 y2 近线)的双曲线方程为 ? ? ? (? 为参数, ? ≠0)。 a2 b2 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程 可设为 mx ? ny ? 1 ; (4) 椭圆、双曲线的通径 (过焦点且垂直于对称轴的弦)
2 2

?1 ? 3k 2 ? 0, 1 ? 即k 2 ? 且k 2 ? 1. ? 2 2 2 3 ?? 2 ? (?6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0. ?
6 2k ?9 设A( xA , y A ), B( xB , yB ), 则x A ? xB ? , x A ? xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ??? ??? ? ? 由OA ? OB ? 6得xA xB ? y A yB ? 6, 而 xA xB ? y A yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2)
? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2 ? (k 2 ? 1) ? ? 3k 2 ? 7 . 3k 2 ? 1 ?9 6 2k ? 2k ? ?2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

于是
k2 ?

3k 2 ? 7 15k 2 ? 13 ? 6,即 ? 0. 解 此 不 等 式 得 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

2b b ,焦准距(焦点到相应准线的距离)为 ,抛物线的 a c 通径为 2 p ,焦准距为 p ;
为 (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

2

2

13 1 或k 2 ? . ③ 由 ① 、 ② 、 ③ 得 15 3 1 1 13 ? k 2 ? 或 ? k 2 ? 1. 故 k 的 取 值 范 围 为 4 3 15

(6)若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB, A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则① | AB |? x1 ? x2 ? p ; ② x1 x2 ?
p2 , y1 y2 ? ? p 2 4

(?1, ?

13 3 1 1 3 13 ) ? (? ,? )?( , )?( ,1) 15 3 2 2 3 15

x2 y 2 2 3 设双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x a b
+1 相切,则该双曲线的离心率等于( )

12.圆锥曲线中线段的最值问题: 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准 线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距 离和最小,则点 Q 的坐标为 。 交椭圆于点 P , F2 为右焦点,若 ?F PF2 ? 60? ,则椭圆的 1 离心率为

4、过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线 a 2 b2

x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦 1、已知椭圆 C1 的方程为 4
点分别为 C1 的左、右顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的 左、右焦点。 (1) 求双曲线 C2 的方程; (2) 若直线 l:y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 恒有两 个 不 同 的 交 点 , 且 l 与 C2 的 两 个 交 点 A 和 B 满 足

5、已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 2 b2

F2 ,其一条渐近线方程为 y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.
则 PF · PF2 =( 1 )

8、设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直 线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点。若 AB 的中点为(2,2) , 则直线 l 的方程为_____________. 9、椭圆

OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。
2 2 解 : Ⅰ ) 设 双 曲 线 C2 的 方 程 为 x ? y ? 1 , 则 ( 2 2 a b

a 2 ? 4 ? 1 ? 3, 再由a 2 ? b 2 ? c 2得b 2 ? 1.

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 9 2
; F PF2 的大小为 ? 1 .

则 | PF1 |? 4 , | PF2 |?
2


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