高一数学入学测试卷

高一数学入学测试题
命题人:启点教育数学试题研究中心专家组
时间:2h 分值分布:30(6*5)+30(5*6)+50(2*10+2*15)+40(2*20)=150

一 选择 1. 过定点 P(2,1)作直线 l 分别交 x 轴正向和 y 轴正向于 A、B, 使△AOB(O 为原点)的面积最小,则 l 的方程为———— (A)x+y-3=0 (C)2x+y-5=0 (B)x+3y-5=0 (D)x+2y-4=0

x2 2.函数 y ? (x∈R,x≠1)的递增区间是———— x ?1

(A)x≥2 (C)x≤0 3. 已知集合 A ? ??x, y ?
? ?

(B)x≤0 或 x≥2 (D)x≤1 ? 2 或 x≥ 2
? y ?3 B ? ?x, y ? ?a 2 ? 1?x ? ?a ? 1? y ? 15 . 若 ? a ? 1? , x?2 ?

?

?

A ? B ? ? ,则 a 的所有取值是————

(A)-1,1 (C) ±1,2

(B)-1,

1 2 5 2

(D)±1,-4,

4.如图 1,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,点 M、N 分别在 AB1、BC1 上,且 AM=BN.那么, ①AA1⊥MN; ②A1C1∥MN; ③MN∥平面 A1B1C1D1;
A1 A M D1 B1 D B N C1

C

④MN 与 A1C1 异面. 以上 4 个结论中,不正确的结论的个数为————

图1

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

5.对一切实数 x,所有的二次函数 f ?x? ? ax2 ? bx ? c(a<b)的值均
b?a 的最大值是———— a?b?c 1 1 (A) (B) (C)3 3 2 1 ? sin x ? cos x 6.函数 f ( x) ? 是———— 1 ? sin x ? cos x

为非负实数.则

(D)2

(A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶 (D)无法判断 二 填空 1.点 P(a,b)在第一象限内,过点 P 作一直线 l,分别交 x、y 轴的 正半轴于 A、B 两点.那么,PA2+PB2 取最小值时,直线 l 的斜 率为 .

2.集合 A、 B、 C (不必两两相异) 的并集 A∪B∪C={1,2,3,…,n}. 则 满足条件的三元有序集合组(A,B,C)的个数是 .

3.在正四面体 ABCD 中,点 M、P 分别是 AD、CD 的中点,点 N、Q 分别是△BCD、△ABC 的中心.则直线 MN 于 PQ 的夹角的余弦 值为 .
x ?1 x ?1 )? f( ) ? 1 ? x ,其中 x≠0, ,则 x x

4.已知 f(x)满足 2 f ( f(x)=——————.

5.如图,正方体棱长为 1,C、D 分别是两条棱的中点,A、B、M 是顶点, 。那么点 M 到截面 ABCD 的距离是————.

三 简答 12.设对于任意实数 x,不等式 x2log2[4(a+1)/a]+2xlog2[2a/(a+1)]+log2[(a+1)2/4a2]>0 都成立,求实数 a 的取值范围。

13. 已知 x2+y2≤4,且 x≥0,证明 (-4+2 13 )/3≤(y+4)/(x+1) ≤6.

14.如图,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中,,PA=AC=a,PB=PD= 2 a, ∠ABC=60. ,点 E 在 PD 上,且 PE:PD=2:1, (1)证明:PA⊥平面 ABCD (2)求以 AC 为棱,EAC 与 DAC 为面得二面角的大小 (3) 在棱 PC 上是否存在一点 F, 使得 BF//平面 AEC?证明你的结论。

15. (1)求函数 y ? 3( x ? 2) ? 8 ? x 的值域 (2)已知 x,y,z,r 均为正数,且 x2+y2=z2, z x 2 ? y 2 ? x 2 证明:xy=rz

四 简答 16.在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? ,△ABC 的内切圆 O 分别与边

BC,CA, AB 相切于点 D,E,F,连接 AD,与内切圆 O 相
P,连接 BP,CP,若 ?BPC ? 90? ,求证: AE ? AP ? PD .
A _ P _ E _ C _ D _ B _ F _

交于点

17.设 X 是一个 56 元集合.求最小的正整数 n,使得对 X 的任意 15 个子集,只要它们中任何 7 个的并的元素个数都不少于 n,则这 15 个子集中一定存在 3 个,它们的交非空.

高一数学培优班入学测试答案 一 选择 DCDBAA 二 填空 1.
? ab a

2.1/18

3.7n

4.(x-4)/[3(x-1)] 5.2/3

三 简答 12 解答:化解原不等式得到 3x2+(log2[(a=2)/2a])(x2-2x+2)>0; 由于(x2-2x+2)>0,所以 log2[(a=2)/2a]>(-3x2/[(x-1)2+1]) 令-3x2/[(x-1)2+1]=f(x) ,f(x)最大值是 0,则 log2[(a+2)/2a]>0, 得到 0<a<1 13 解答:令(y+4)/(x+1)=k,则 y+4=k(x+1) ,其为斜率是 k,过点 (-1,-4)的直线,x2+y2<=4 且 x>0 是右半圆,考察斜率的变化范围, 当直线过(0,2)是 k 最大为 6,当直线与半圆相切,原点到他的距 离等于 2 时,k 最小为[-4+2sqrt(13)]/3,从而得证 14 解答: (1)证明:因为底面 ABCD 是菱形,角 ABC=60. ,同理,PA 垂直于 AD,所以 PA 垂直于面 ABXD (2) 作 EG//PA 交 AD 于 G,有 PA 垂直于平面 ABCD 知 BG 垂直于 ABCD, 作 GH 垂直 AC 于 H, 连结 EH,则 EH 垂直于 AC,角 EHG 为所求二面角, 有 PE:PD=2:1,EG=1/3a,AG=2/3a,GH=AGsin60.=sqrt(3)a/3, tanEHG=EG/GH= sqrt(3)/3,所以所求二面角为 30. (3)观察,F 是 PC 中点时 BF//面 AEC,证明如下:取 PE 中点 M,连 结 FM,则 FM//CE,由 EM=1/2PE=ED 知 E 是 MD 中点,连结 BM,BD,设

o 是 BD,AC 中点, 连结 OE, 得 BM//OE。 则面 BMF//面 AEC, 于是, BF// 面 AEC。 15. (1)
10 ? y ? 2 10

(2)作 Rt 三角形 ABC,AB=z,BC=x,AC=y,再作 CD 垂直于 AB 于 D, 令 CD=r,依据射影定理,有 x2=BC2=BD*AB=z*sqrt(x2-r2),构造图形满 足条件,依据面积法得证。 四 简答 16 证明 设 AE = AF = x,BD=BF=y,CD=CE=z,AP=m,PD=n. 因为 ?ACP ? ?PCB ? 90? ? ?PBC ? ?PCB ,所以 ?ACP ? ?PBC . 延长 AD 至 Q,使得 ?AQC ? ?ACP ? ?PBC ,连接 BQ,CQ,则 P,B,

Q,C 四点共圆,令 DQ=l,则由相交弦定理和切割线定理可得
yz ? nl ,

① ②

x2 ? m(m ? n) .

因为 ?ACP ∽ ?AQC ,所以

AC AP ? ,故 AQ AC

( x ? z)2 ? m(m ? n ? l ) .



在 Rt △ACD 和 Rt △ACB 中,由勾股定理得
( x ? z)2 ? z 2 ? (m ? n)2 , ( y ? z)2 ? ( z ? x)2 ? ( x ? y)2 .

④ ⑤ ⑥

③-②,得

z 2 ? 2 zx ? ml ,

①÷⑥,得 所以 ②×⑦,结合④,得 整理得 又⑤式可写为 由⑧, ⑨得 又⑤式还可写为

yz n ? , z ? 2 zx m yz m?n 1? 2 ? , z ? 2 zx m
2



x2 ?

x 2 yz ? ( m ? n) 2 ? ( x ? z ) 2 ? z 2 , z 2 ? 2 zx

x2 y ? 2 z( x ? z) . z ? 2x x?z ? x 4z ? . z ? 2x y ? z
y?z ? 2 xz , x?z

⑧ ⑨ ⑩ 11 ○

2 xy , y?z

把上式代入⑩,消去 y ? z ,得 3x2 ? 2 xz ? 2 z 2 ? 0 , 解得 代入1 1得, ○
x? 7 ?1 z, 3

y ? (2 7 ? 5) z ,
2( 7 ? 1) z, 3 x2 7 ?1 ? z, m?n 6 n? 7 ?1 z, 2

将上面的 x,y 代入④,得 m ? n ? 结合②,得 从而
m?

所以, x ? m ? n ,即 AE ? AP ? PD . 17 解 n 的最小值为 41. 首先证明 n ? 41 合乎条件.用反证法.假定存在 X 的 15 个子集, 它们中任何 7 个的并不少于 41 个元素, 而任何 3 个的交都为空集. 因

每个元素至多属于 2 个子集,不妨设每个元素恰好属于 2 个子集(否 则在一些子集中添加一些元素,上述条件仍然成立) ,由抽屉原理, 必有一个子集,设为 A,至少含有 ? ?
2 ? 56 ? ? 1 =8 个元素,又设其它 14 ? 15 ? ?

个子集为 A1, A2 , ?, A14 .考察不含 A 的任何 7 个子集,都对应 X 中的 41
7 个元素,所有不含 A 的 7-子集组一共至少对应 41C14 个元素.另一方

面,对于元素 a,若 a ? A ,则 A1, A2 , ?, A14 中有 2 个含有 a,于是 a 被
7 7 计算了 C14 次;若 a ? A ,则 A1, A2 , ?, A14 中有一个含有 a,于是 a 被 ? C12 7 7 计算了 C14 次,于是 ? C13

7 7 7 7 7 7 7 7 7 41C14 ? (56 ? A )(C14 ? C12 ) ? A (C14 ? C13 ) ? 56(C14 ? C12 ) ? A (C13 ? C12 )
7 7 7 7 ? 56(C14 ? C12 ) ? 8(C13 ? C12 ),

由此可得 196 ? 195 ,矛盾. 其次证明 n ? 41 . 用反证法.假定 n ? 40 ,设 X ? ?1, 2, ?, 56? ,令
A i ? ?i, i ? 7, i ?14, i ? 21, i ? 28, i ? 35, i ? 42, i ? 49?, i ? 1, 2,?,7 , Bj ? ? j, j ? 8, j ?16, j ? 24, j ? 32, j ? 40, j ? 48?, j ? 1, 2,?,8 .
2, 显 然 , Ai ? 8 (i ? 1 , ? , 7A )? , A i j ? ? 0( i1 ? j?, B 7 j) ? 7( j ? 1, 2,? ,8)

, 3

Bi ? B j ? 0(1 ? i ? j ? 8) , Ai ? B j ? 1(1 ? i ? 7,1 ? j ? 8) ,于是,对其中任何

个子集,必有 2 个同时为 Ai ,或者同时为 B j ,其交为空集. 对其中任何 7 个子集 Ai , Ai ,?, Ai , Bj , Bj , ?, Bj ( s ? t ? 7) ,有
1 2 s 1 2 t

Ai1 ? Ai2 ??? Ais ? B j1 ? B j2 ??? B jt

? Ai1 ? Ai2 ? ? ? Ais ? B j1 ? B j2 ? ? ? B jt ? st

? 8s ? 7t ? st ? 8s ? 7(7 ? s) ? s(7 ? s)

? (s ? 3)2 ? 40 ? 40 ,

任何 3 个子集的交为空集,所以 n ? 41 . 综上所述,n 的最小值为 41.


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