江西省高中数学第一章立体几何初步1.6.1.2平面与平面垂直的判定课件北师大版_图文

第2课时 平面与平面垂直的判定

1.了解二面角的概念. 2.掌握平面与平面垂直的判定定理. 3.能运用面面垂直的判定定理证明面面的垂直关系.

1.二面角 (1)定义:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的 每一部分都叫作半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面 角的面. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平 面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作这个二 面角的平面角.二面角的大小用它的平面角来度量,平面角的度数 就是二面角的度数.平面角是直角的二面角叫作直二面角.

(3)记法:以直线AB为棱、半平面α,β为面的二面角,记作二面角αAB-β,如图所示.

名师点拨二面角的概念是平面几何中角的概念的扩展和延伸.平 面角是从平面内一点出发的两条射线(半直线)所组成的图形,二面 角是从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形;平面角可以看 作是一条射线绕端点旋转而成,二面角可以看作是一个半平面以其 棱为轴旋转而成.二面角定量地反映了两个相交平面的位置关系.

【做一做1】 有下列说法: ①两个相交平面所组成的图形叫作二面角; ②二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射 线所成的角; ③二面角的平面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关 系. 其中正确说法的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A

2.平面与平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两 个平面互相垂直. (2)画法:在画两个垂直的平面时,通常把表示直立平面的平行四 边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直.如图① ②所示.

(3)判定定理:

名师点拨平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线与 平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“若线面垂直, 则面面垂直”.也就是说证明平面与平面垂直,只要在一个平面内找 到一条直线和另一个平面垂直即可.

【做一做2】 已知直线l⊥平面β,l?平面α,则( A.α⊥β B.α∥β C.α∥β或α⊥β D.α与β相交但不一定垂直 答案:A

)

题型一

题型二

题型三

题型一

平面与平面垂直的判定

【例 1】 如图所示, 在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中, AD ∥BC, ∠ABC=90° , PA⊥平面 ABCD, AC∩BD=E ,AD=2, AB=2 3, = 6.

求证:平面 PBD⊥平面 PAC.

分析:条件中给出了线面垂直及底面梯形的形状.证明本题的突 破口是在其中一个平面内找一条直线垂直于另外一个平面.

题型一

题型二

题型三

证明 :∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD, ∴BD⊥PA. 又 tan∠ABD =

∴∠ABD=30° ,∠BAC=60° . ∴∠AEB=90° ,即 BD⊥AC. 又 PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC. ∵BD?平面 PBD,∴平面 PBD⊥平面 PAC.
反思证明面面垂直有两个途径:一是定义,二是证明线面垂直,二 者都是通过线线垂直来完成的.如果题目给出了长度、角度等条件, 可以考虑用勾股定理或求角来证线线垂直,所以空间问题平面化是 解决立体几何问题的重要思想.



=

3 , tan∠BAC= 3

= 3,

题型一

题型二

题型三

【变式训练1】 在三棱锥S-ABC 中,∠BSC=90°,∠ASB=60°,∠ASC=60°,SA=SB=SC. 求证:平面ABC⊥平面SBC. 证明:方法一:如图所示,取BC的中点D,连接AD,SD. 由题意知△ASB与△ASC是等边三角形,则AB=AC. ∴AD⊥BC,SD⊥BC.

令 SA=a,在 △SBC 中,SD= 又 AD= 2 - 2 =
2 , 2

2 , 2

∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD. 又AD⊥BC,SD∩BC=D,∴AD⊥平面SBC. ∵AD?平面ABC, ∴平面ABC⊥平面SBC.

题型一

题型二

题型三

方法二:∵SA=SB=SC=a, 又∠ASB=∠ASC=60°, ∴△ASB,△ASC都是等边三角形. ∴AB=AC=a. 作AD⊥平面BSC于点D, ∵AB=AC=AS,∴D为△BSC的外心. 又△BSC是以BC为斜边的直角三角形, ∴D为BC的中点,故AD?平面ABC. ∴平面ABC⊥平面SBC.

题型一

题型二

题型三

题型二

求二面角的平面角

【例2】 如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,PO⊥底面ABCD,O为 正方形ABCD的中心,PO=1,AB=2,求二面角P-AB-D的平面角的大 小. 分析:先找出二面角的平面角,再放在直角三角形中求解.

题型一

题型二

题型三

解:如图所示, 取 AB 的中点 E , 连接 PE, OE. 由 O 为正方形 ABCD 的中心知 AB ⊥EO. 由 PA=PB , E 为 AB 的中点, 知 AB ⊥EP, 所以∠PEO 为二面角 P-AB-D 的平面角. 在 Rt△PEO 中,tan∠PEO= = 1
2

=

1 2×2

1

= 1.

所以∠PEO=45° . 故二面角 P-AB-D 的平面角的大小为 45° .

题型一

题型二

题型三

【变式训练 2】

如图所示,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,AB=2,BC= 2, = 6, 求二面角 ? ? 的平面角的大小.

题型一

题型二

题型三

解:∵PA⊥平面 ABC, BC?平面 ABC, ∴PA⊥BC. 又 AC⊥BC, PA∩AC=A , ∴BC⊥平面 PAC. 又 PC?平面 PAC, ∴BC⊥PC. 又 BC⊥AC, ∴∠PCA 为二面角 P-BC-A 的平面角. 在 Rt△PBC 中, ∵PB= 6, = 2, ∴ = 2. 在 Rt△ABC 中, ∵AB=2, BC= 2, ∴ = 2.

∴在 Rt△PAC 中,cos ∠PCA= 2 , ∴∠PCA=45° , 即二面角 P-BC-A 的平面角的大小为 45° .

2

题型一

题型二

题型三

题型三

易错辨析

易错点:对定理理解不准确而致误 【例3】 α,β为不重合的两个平面,给出下列说法: (1)若α内的两条相交直线分别平行于平面β,则α平行于β. (2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行. (3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直. (4)若b为α中的一条直线,平面α垂直于平面β,则b垂直于平面β. 上面说法正确的序号是 (写出所有的正确序号). 错解:(1)(2)(4) 错因分析:对于(4)因对情况考虑不周而误认为只有b垂直于β这一 种情况.

题型一

题型二

题型三

正解:(1)若α内的两条相交直线分别平行于平面β,则两条相交直 线确定的平面α平行于平面β,正确. (2)若平面α外的一条直线l与α内的一条直线平行,则l平行于α,正 确. (3)如图所示,α∩β=l,a?α,a⊥l, 但不一定有α⊥β,错误. (4)b与β的位置关系为相交、平行或b?β,错误. 答案:(1)(2)

题型一

题型二

题型三

【变式训练3】 设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面, 给出下列三个命题,其中正确命题的序号是 . (1)若m⊥α,n∥α,则m⊥n; (2)若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ; (3)若m∥α,n∥α,则m∥n. 解析:(1)若m⊥α,n∥α,则m⊥n,正确;(2)若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ, 正确;(3)两条直线还可能相交或异面,错误. 答案:(1)(2)

1

2

3

4

5

1下列命题:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a,b 分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相 等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内 作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上 的位置没有关系,其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.③④ D.①② 答案:B

1

2

3

4

5

2.如图所示,在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下 面四个结论中不成立的是( ) A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC 解析:由题意知BC∥DF,则BC∥平面PDF成立;因为BC⊥PE,BC⊥AE, 且PE∩AE=E,所以BC⊥平面PAE,则DF⊥平面PAE成立,平面PAE⊥ 平面ABC也成立. 答案:C

1

2

3

4

5

3.给出下列四个命题:①若直线l与平面α内无数条直线垂直,则直线 l⊥平面α;②平面α与β分别过两条互相垂直的直线,则α⊥β;③若直线 l⊥平面α,则存在a?α,使l∥a;④若平面α内的一条直线垂直于平面β内 的两条相交直线,则α⊥β. 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 解析:当l与平面α内无数条互相平行的直线垂直时,l不一定与α垂直, 故①错误; 当平面α与β分别过两条互相垂直的直线时,α,β可能垂直,也可能不垂 直,故②错误; 根据直线与平面垂直的定义,知直线l⊥平面α时,l与α内的所有直线 都垂直,在α内不可能存在直线与l平行,故③错误; 根据线面垂直和面面垂直的判定定理知④正确.故选A. 答案:A

1

2

3

4

5

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面BD1D与平面D1C1CD所成的角 的大小为 . 解析:

如图所示,因为DD1⊥平面ABCD,所以BD⊥D1D,又CD⊥D1D,所以 ∠CDB即为平面BD1D与平面D1C1CD所成的角,其大小为45°. 答案:45°

1

2

3

4

5

5

如图所示,在三棱台ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AA1⊥平面 ABC,AB=AC,D为BC的中点. 求证:平面A1AD⊥平面BCC1B1. 证明:∵AC=AB,D为BC的中点,∴BC⊥AD. 又AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥BC. 又AA1∩AD=A, ∴BC⊥平面A1AD. ∵BC?平面BCC1B1, ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.


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