浙江省杭州地区七校2014届高三上学期期中联考数学(理)试题问酷网

www.iasku.com 更多试题试卷答案尽在问酷网 2013 学年第一学期期中杭州地区七校联考 高三年级数学(理科)试 题 选择题 1.(2013 杭州七校期中联考)已知全集 U ? R ,M ? {x ?2 ? x ? 2},N ? {x x ? 1} , 那么 M ( ) A. {x ?2 ? x ? 1} 【答案】D 2.(2013 杭州七校期中联考)在等差数列 {an } 中, a1 ? a3 ? 10, a4 ? a6 ? 4 ,则公差 d 等于( A.1 【答案】B B. ?1 C.2 D.-2 ) B. {x ?2 ? x ? 1} C. {x x ? ?2} D. {x | x ? 2}
N?

?x ? 2 ? 0 ? 3.(2013 杭州七校期中联考 ) 若实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 1 ? 0 ,则 x ? y 的最小值为 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?



) A. ? 2 【答案】B

B. ? 1

C.1

D.2 )

4.(2013 杭州七校期中联考)等比数列 ?an ? 中,a1 ? 0 ,则“ a1 ? a 4 ”是“ a3 ? a5 ” 的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A
cos(? ? 2? )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 2

5.(2013 杭州七校期中联考)已知 A. ? 【答案】D
7 2

sin(? ?

?
4

??

)

,则 cos ? ? sin ? 等于( C.
1 2

) D. ?
1 2

B.

7 2

x?0 ?1 , 6.(2013 杭州七校期中联考)已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则不等式 f (1 ? x2 ) ? f (2 x) 的解集 ? x ? 1, x ? 0
是( ) A. {x | x ? ?1} C. {x | x ? ?1 或 x ? ?1? 2} 【答案】C B. {?1 ? 2} D. {x | x ? ?1 或 x ? ?1? 2}

更多试题试卷答案尽在问酷网 ? ? ? 7.(2013 杭州七校期中联考)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0) ,若 f ( ) ? f ( ) 且 f ( x) 在区 3 6 3 ? ? 间 ( , ) 上有最小值,无最大值,则 ? 的值为( ) 6 3 2 5 38 14 A. B. C. D. 3 3 3 3 【答案】C 8.(2013 杭州七校期中联考)数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 1, 并且
an ? an ?1 a ?a 则数列 ? n n ?1 (n ? 2) , an ?1 ? an an ? an ?1

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{an } 的第 100 项为(
1 2100 【答案】D

) B.
1 2 50

A.

C.

1 100

D.

1 50

9.(2013 杭州七校期中联考)正 ?ABC 边长等于 3 ,点 P 在其外接圆上运动,则 AP ? PB 的取 值范围是( ) 3 3 A. [ ? , ] 2 2 【答案】B
3 1 B. [ ? , ] 2 2 1 3 C. [ ? , ] 2 2 1 1 D. [ ? , ] 2 2

10.(2013 杭州七校期中联考)已知函数 f ( x) 满足 f ( x ) ? f (3x) ,当 x ? [1,3) , f ( x) ? ln x ,若 在区间 [1,9) 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 有三个不同零点,则实数 a 的取值范围是(
ln 3 1 , ) 3 e 【答案】B 填空题



A. (

B. (

ln 3 1 , ) 9 3e

C. (

ln 3 1 , ) 9 2e

D. (

ln 3 ln 3 , ) 9 3

? 3 11.(2013 杭州七校期中联考)已知 ? ? ( , ? ),sin ? ? , 则 tan ? = 2 5 3 【答案】 ? 4

.

12.(2013 杭州七校期中联考)函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? ax ( x ? R) 不存在极值点,则 a 的取值范围 是_________. 【答案】 ?a | 0 ? a ? 3? 13.(2013 杭州七校期中联考)在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , a ? 2, A ?

?
4



B?

? ,则△ABC 的面积为 S ? ________ . 3

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3? 3 4

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14.(2013 杭州七校期中联考)已知函数 f ( x) 是 (??,??) 上的奇函数, x ? ?0,2? 时, f ( x) ? x2 , 若对于任意 x ? R ,都有 f ( x ? 4) ? f ( x ) ,则 f (2) ? f (3) 的值为 【答案】1 15.(2013 杭州七校期中联考)已知 x ? 0, y ? 0, x ? y ? xy ? 8 ,则 x ? y 的最小值是 【答案】4 16.(2013 杭州七校期中联考)已知不等式 xy ? ax2 ? 2 y 2 对于 x ??1, 2? , y ?? 2,3? 恒成立,则实 数 a 的取值范围是____________. 【答案】 ?a | a ? ?1? 17.(2013 杭州七校期中联考)已知 ?ABC 中, AB ? AC ,| AB ? AC |? 2 ,点 M 是线段 BC (含 端点)上的一点,且 AM ? ( AB ? AC) ? 1,则 | AM | 的取值范围是
1 ( ,1] 【答案】 2

.

.

.

解答题 18.(2013 杭州七校期中联考)已知函数 f ( x) ? (1)求 A ; (2)若 B ? x x 2 ? 2x ? 1 ? k 2 ? 0 ,且 A 是 B 的真子集,求实数 k 的取值范围.
2 ? ?x ? 2x ? 0 【答案】 (1)由 ? , 2 ? ?9 ? x ? 0

lg( x 2 ? 2 x) 9? x
2

的定义域为 A ,

?

?

解得 ? 3 ? x ? 0 或 2 ? x ? 3 , (2)法一:

? A ? (?3,0) ? (2,3)

B 中 ?x ? (1 ? k )??x ? (1 ? k )? ? 0

① k ? 0 时, 1 ? k ? 1 ? k ,此时 B ? R ,符合题意; ② k ? 0 时, 1 ? k ? 1 ? k ,此时 B ? ?? ?,1 ? k ? ? ?1 ? k ,??? ,由 A 是 B 的
?1 ? k ? 2 ? 真子集得 ?1 ? k ? 0 ? 0 ? k ? 1 , ?k ? 0 ?

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③ k ? 0 时, 1 ? k ? 1 ? k ,此时 B ? ?? ?,1 ? k ? ? ?1 ? k ,??? ,由 A 是 B 的
?1 ? k ? 2 ? 真子集得 ?1 ? k ? 0 ? ?1 ? k ? 0 , ?k ? 0 ?

综上得 k ? ?? 1,1? 法二:因为 x ? A 时总有 x ? B ,所以 x ? ( ?3,0) ? (2,3) 时总有 k 2 ? ( x ? 1) 2 所以 k 2 ? 1 , k ? ?? 1,1? ; 此时,显然有 ? 4 ? B 但 ? 4 ? A ,所以 A 是 B 的真子集,综上得 k ? ?? 1,1? 19.(2013 杭州七校期中联考)在 ?ABC 中,满足 AB与AC 的夹角为 60 0 , M 是 AB 的中点, (1)若 AB ? AC ,求向量 AB ? 2 AC与AB 的夹角的余弦值;. (2)若 AB ? 2, BC ? 2 3 ,点 D 在边 AC 上且 AD ? ? AC ,如果 MD ? AC ? 0 ,求 ? 的值。 【答案】 (1)设 AB ? 1 ,则 AB ? 2 AC ? 7 , 而 AB ? ( AB ? 2 AC) ? 2 , 所以向量 AB ? 2 AC与AB 的夹角的余弦值等于
2 2 2

2 7 。 7

(2)在 BC ? AC ? AB ? 2 AB ? AC ? cos60? 解得 AC ? 4 , 因为 MD ? AC ,所以 AD ? cos 60? ? 故? ?
1 。 8 1 , 2

20.(2013 杭州七校期中联考)函数 f ( x ) ? a sin x ? b cos x ? c ( a, b, c 为常数)的图象过原点,

? 且对任意 x ? R 总有 f ( x ) ? f ( ) 成立; 3
(1)若 f ( x ) 的最大值等于 1,求 f ( x ) 的解析式 ;
b c (2 )试比较 f ( ) 与 f ( ) 的大小关系. a a

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? ? f ( 0) ? b ? c ? 0 ? 3 b ? ? 【答案】(1)由 ? f ( ) ? a ? ?c ?1 2 2 ? 3 ? ? a 3 b?0 ? f ?( ) ? ? 2 2 ? 3
解得 a ? 3, b ? 1, c ? ?1 ,所以 f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? 1 。

? (2)因为 a ? 3b . c ? ?b , f ( ) ? 2b ? c 为最大值,所以 b ? 0 , a ? 0 3

b 3 c 3 b c 3 . ?? ,所以 f ( ) ? f ( ) ? 2a sin , ? a a 3 a 3 a 3

b c b c 所以 f ( ) ? f ( ) ? 0 ,即 f ( ) ? f ( ) 。 a a a a

21.(2013 杭 州 七 校 期 中 联 考 ) 数 列 ?an ? 前 n 项 和 S n ? ( n ? 2, n ? N ? ) , (1)求数列 ?an ? 的通 项公式; (2)求证:当 b1 ?
1 时,数列 ?bn ? an ?为等比数列; 4

n2 , 数 列 ?bn ? 满 足 3bn ? bn?1 ? n 4

(3)在 题(2)的条件下,设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若数列 ? Tn ?中只有 T3 最小, 求 b1 的取值范围. 来【答案】 (1) a n ?
2n ? 1 ,n ? N ?; 4

(2) 3(bn ? an ) ? (bn?1 ? an?1 ) ? (3bn ? bn?1 ) ? 3an ? an?1 ? n ? n ? 0 ,
1 所以 (bn ? an ) ? (bn ?1 ? a n ?1 ) ,且 b1 ? a1 ? 0 ,所以 ?bn ? an ?是以 b1 ? a1 为首 3 1 项. 为公比的等比数列; 3 2n ? 1 1 1 ? (b1 ? ) ? ( ) n ?1 ; (3) bn ? 4 4 3

?b3 ? 0 因为数列 ? ,解得 ? 47 ? b1 ? ?11; Tn ?中只有 T3 最小,所以 ? ?b4 ? 0

此时, bn?1 ? bn ?

1 1 1 ? 2 ? (b1 ? ) ? ( ) n ? 0 ,于是, ?bn ? 为递增数列, 2 4 3

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所以 n ? 3 时 bn ? 0 . n ? 4 时 bn ? 0 ,符合题意,综上 ? 47 ? b1 ? ?11。 源:学#科#网] 22.(2013 杭州七校期中联考)设函数 f ( x) ? e x ? sin x , g ( x ) ? x ? 2 ; (1)求证:函数 y ? f ( x) 在 [0,??) 上单调递增; (2)设 P( x1 , f ( x1 )) ,Q( x2 , g ( x2 )) ( x1 ? 0, x2 ? 0) ,若直线 PQ // x 轴,求 P, Q 两点间的最短距 离. 【答案】 (1) x ? 0 时, f ?( x) ? e x ? cos x ? 1 ? cos x ? 0 ,所以函数 y ? f ( x) 在 [0,??) 上 单调递增; (2)因为 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以 e x1 ? sin x1 ? x2 ? 2 所以 P, Q 两点间的距离等于 x2 ? x1 ? e x1 ? sin x1 ? x1 ? 2 , 设 h( x) ? e x ? sin x ? x ? 2( x ? 0) ,则 h?( x) ? e x ? cos x ? 1( x ? 0) , 记 l ( x) ? h?( x) ? e x ? cos x ? 1( x ? 0) ,则 l ?( x) ? e x ? sin x ? 1 ? sin x ? 0 , 所以 h?( x) ? h?(0) ? 1 ? 0 , 源:Zxxk.Com] 所以 h( x ) 在 [0,??) 上单调递增,所以 h( x) ? h(0) ? 3 所以 x2 ? x1 ? 3 ,即 P, Q 两点间的最短距离等于 3.

www.iasku.com [来源:学科网 ZXXK]

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