高一数学同步练习函数的单调性

高一数学同步测试—函数的单调性

一、选择题: 1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是
A.y=2x+1

B.y=3x2+1

()

C.y= 2 x

D.y=2x2+x+1

2.函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减

函数,则 f(1)等于

()

A.-7

B.1

C.17

D.25

3.函数 f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则 y=f(x+5)的递增区间是( )

A.(3,8)

B.(-7,-2)

C.(-2,3)

D.(0,5)

4.函数 f(x)= ax ?1 在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是( ) x?2

A.(0, 1 ) 2

B.( 1 ,+∞) 2

C.(-2,+∞)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

5.已知函数 f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b]内( )

A.至少有一实根

B.至多有一实根

C.没有实根

D.必有唯一的实根

6.已知函数 f(x)=8+2x-x2,如果 g(x)=f( 2-x2 ),那么函数 g(x)

()

A.在区间(-1,0)上是减函数

B.在区间(0,1)上是减函数

C.在区间(-2,0)上是增函数

D.在区间(0,2)上是增函数

7.已知函数 f(x)是 R 上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式

|f(x+1)|<1 的解集的补集是

()

A.(-1,2)

B.(1,4)

C.(-∞,-1)∪[4,+∞)

D.(-∞,-1)∪[2,+∞)

8.已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数 t,都有 f(5+t)

=f(5-t),那么下列式子一定成立的是

()

A.f(-1)<f(9)<f(13)

B.f(13)<f(9)<f(-1)

C.f(9)<f(-1)<f(13)

D.f(13)<f(-1)<f(9)

9.函数 f (x) ?| x | 和g(x) ? x(2 ? x) 的递增区间依次是

( )A. (??,0],(??,1]

B. (??,0],[1,??)

C.[0,??),(??,1]

D. [0,??),[1,??)

10.已知函数 f ?x ? ?x 2 ? 2?a ?1?x ? 2 在区间?? ?,4? 上是减函数,则实数a 的取值范围是

()

A.a≤3

B.a≥-3

C.a≤5

D.a≥3

11.已知 f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,a、b∈R 且 a+b≤0,则下列不等式中正确的是( )

A.f(a)+f(b)≤-f(a)+f(b)]

B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)

C.f(a)+f(b)≥-f(a)+f(b)]

D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)

12.定义在 R 上的函数 y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且 y=f(x+2)图象的对称轴是 x=0,则

()

A.f(-1)<f(3)

B.f (0)>f(3)

C.f (-1)=f (-3) D.f(2)<f(3)

二、填空题:

13.函数 y=(x-1)-2 的减区间是___

_.

14.函数 y=x-2 1? x +2 的值域为__

___.

? ? 15 、 设 y ? f? ?x 是 R 上 的 减 函 数 , 则 y ? f ?x 3 的 单 调 递 减 区 间



.

16 、 函 数 f(x) = ax2 + 4(a + 1)x - 3 在 [2 , + ∞] 上 递 减 , 则 a 的 取 值 范 围 是

__



三、解答题:

17.f(x)是定义在( 0,+∞)上的增函数,且 f( x ) = f(x)-f(y) y

(1)求 f(1)的值.

(2)若 f(6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f( 1 ) <2 . x

18.函数 f(x)=-x3+1 在 R 上是否具有单调性?如果具有单调性,它在 R 上是增函数还 是减函数?试证明你的结论.

19.试讨论函数 f(x)= 1 ? x 2 在区间[-1,1]上的单调性.
20.设函数 f(x)= x 2 ? 1 -ax,(a>0),试确定:当 a 取什么值时,函数 f(x)在 0,+∞) 上为单调函数.
21.已知 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且 f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数 m 的取 值范围.

22.已知函数 f(x)= x2 ? 2x ? a ,x∈[1,+∞] x
(1)当 a= 1 时,求函数 f(x)的最小值; 2
(2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

参考答案

一、选择题: CDBBD ADCCA BA

二、填空题:13. (1,+∞),

14. (-∞,3),15.?3, ??? ,

?? ?

?

?,?

1 2

? ??

三、解答题:17.解析:①在等式中 令x ? y ? 0 ,则 f(1)=0.

②在等式中令 x=36,y=6 则 f (36) ? f (36) ? f (6),? f (36) ? 2 f (6) ? 2. 6

故原不等式为: f (x ? 3) ? f ( 1 ) ? f (36), 即 f[x(x+3)]<f(36), x

又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,

?x ? 3 ? 0

故不等式等价于:

?? ? ?

1 x

?

0

?0? x?

??0 ? x(x ? 3) ? 36

153 ? 3. 2

18.解析: f(x)在 R 上具有单调性,且是单调减函数,证明如下:

设 x1、x2∈(-∞,+∞), x1<x2 ,则 f(x1)=-x13+1, f(x2)=-x23+1.

f(x1)-f(x2)=x23-x13=(x2-x1)(x12+x1x2+x22)=(x2-x1)[(x1+

x2 2

)2+

3 4

x22].

∵x1<x2,∴x2-x1>0 而(x1+

x2 2

)2+

3 4

x22>0,∴f(x1)>f(x2).

∴函数 f(x)=-x3+1 在(-∞,+∞)上是减函数.

19.解析: 设 x1、x2∈-1,1]且 x1<x2,即-1≤x1<x2≤1.

f(x1)-f(x2)=

1? x12 -

1?

x22

=

(1? x12 ) ? (1? x22 ) 1 ? x12 ? 1 ? x22

=

(x2 ? x1)(x2 ? x1) 1 ? x12 ? 1 ? x22

∵x2-x1>0, 1? x12 ? 1? x22 >0,∴当 x1>0,x2>0 时,x1+x2>0,那么 f(x1) >f(x2).
当 x1<0,x2<0 时,x1+x2<0,那么 f(x1)<f(x2).
故 f(x)= 1 ? x 2 在区间[-1,0]上是增函数,f(x)= 1 ? x 2 在区间[0,1]上是减 函数.
20.解析:任取 x1、x2∈0,+ ?? 且 x1<x2,则

f(x1)-f(x2)=

x12 ? 1 -

x22 ? 1 -a(x1-x2)=

x12 ? x2 2

-a(x1-x2)

x12 ? 1 ? x2 2 ? 1

=(x1-x2)(

x1 ? x2

-a)

x12 ? 1 ? x2 2 ? 1

(1)当 a≥1 时,∵

x1 ? x2

<1,

x12 ? 1 ? x2 2 ? 1

又∵x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) ∴a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上为减函数.

(2)当

0<a<1

时,在区间[0,+∞]上存在

x1=0,x2=

1

2a ?a

2

,满足 f(x1)=f(x2)=1

∴0<a<1 时,f(x)在[0,+ ?? 上不是单调函数

注: ①判断单调性常规思路为定义法;

②变形过程中

x1 ? x2

<1 利用了

x12 ? 1 ? x2 2 ? 1

x12 ? 1 >|x1|≥x1;

x22 ?1 >

x2; ③从 a 的范围看还须讨论 0<a<1 时 f(x)的单调性,这也是数学严谨性的体现.
21.解析: ∵f(x)在(-2,2)上是减函数 ∴由 f(m-1)-f(1-2m)>0,得 f(m-1)>f(1-2m)

?



?? 2 ? ??? 2 ? ??m ?1

1?m?1?2?1m2?m?22,即????????m?? 112???23mm??323

解得 ? 1 ? m ? 2 ,∴m 的取值范围是(-

2

3

1,2 ) 23

22.解析: (1)当 a= 1 时,f(x)=x+ 1 +2,x∈1,+∞)

2

2x



x2>x1≥1,则

f(x2)-f(x1)=x2+

1 2x2

?

x1

?

1 2 x1

=(x2-x1)+

x1 ? x2 2 x1x2

=(x2-x1)(1-

1 )
2 x1 x 2

∵x2>x1≥1,

x2-x1>0,1-

1 2 x1 x 2

>0,则

f(x2)>f(x1)

可知 f(x)在[1,+∞)上是增函数.∴f(x)在区间[1,+∞ ) 上的最小值为 f(1)= 7 . 2

(2)在区间[1,+∞ ) 上,f(x)= x2 ? 2x ? a >0 恒成立 ?x2+2x+a>0 恒成立
x

设 y=x2+2x+a,x∈1,+∞),由 y=(x+1)2+a-1 可知其在[1,+∞)上是增函数, 当 x=1 时,ymin=3+a,于是当且仅当 ymin=3+a>0 时函数 f(x)>0 恒成立.故 a>
-3.


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