千题百炼——高中数学100个热点问题(三):第100炼 利用同构特点解决问题


第十二章

第 100 炼 利用同构特点解决问题

其它高考考点

第 100 炼 利用同构特点解决问题
一、基础知识: 1、同构式:是指除了变量不同,其余地方均相同的表达式 2、同构式的应用: (1)在方程中的应用:如果方程 f ? a ? ? 0 和 f ?b? ? 0 呈现同构特征,则 a , b 可视为方程

f ? x ? ? 0 的两个根
(2)在不等式中的应用:如果不等式的两侧呈现同构特征,则可将相同的结构构造为一个 函数,进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式 (3)在解析几何中的应用:如果 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 满足的方程为同构式,则 A, B 为方程 所表示曲线上的两点。特别的,若满足的方程是直线方程,则该方程即为直线 AB 的方程 ( 4 )在数列中的应用:可将递推公式变形为“依序同构”的特征,即关于 ? an , n ? 与

? an ?1, n ? 1? 的同构式,从而将同构式设为辅助数列便于求解
二、典型例题:
5 ? ?? x ? 1? ? 2 x ? sin ? x ? 1? ? 3 例 1: (2015 天津十二校联考) 设 x, y ? R , 满足 ? , 则x? y ? 5 y ? 1 ? 2 y ? sin y ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ?

( A.



0

B.

2

C.

4

D.

6

思 路 : 本 题 研 究 对 象 并 非 x, y , 而 是

, y ? ?1 , 进 而 可 变 形 为 ? x ? 1? ?

5 ? ?? x ? 1? ? 2 ? x ? 1? ? sin ? x ? 1? ? 1 , 观察上下式子左边结构相同, 进而可将相同的结构 ? 5 y ? 1 ? 2 y ? 1 ? sin y ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?

视为一个函数,而等式右边两个结果互为相反数,可联想到函数的奇偶性,从而利用函数性 质求解
5 ? ?? x ? 1? ? 2 x ? sin ? x ? 1? ? 3 解: ? ? 5 y ? 1 ? 2 y ? sin y ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? 5 ? ?? x ? 1? ? 2 ? x ? 1? ? sin ? x ? 1? ? 1 ? 5 ? ?? y ? 1? ? 2 ? y ? 1? ? sin ? y ? 1? ? ?1

设 f ?t ? ? t ? 2t ? sin t ,可得 f ? t ? 为奇函数,由题意可得:
5

? ? f ? x ? 1? ? 1 ? ? ? f ? y ? 1? ? ?1

? f ? x ? 1? ? ? f ? y ? 1?

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? x ? 1 ? ? ? y ? 1? ? x ? y ? 2
答案:B 例 2:若函数 f ? x ? ?

?a b? x ? 1 ? m 在区间 ? a, b? 上的值域为 ? , ? ? b ? a ? 1? ,则实数 m 的 ?2 2?

取值范围是_____________

a ? a ? 1 ? m ? ? a b ? 2 思路:注意到 f ? x ? 是增函数,从而得到 f ? a ? ? , f ? b ? ? ,即 ? ,发现 2 2 b ? b ?1 ? m ? ? ? 2
两个式子为 a , b 的同构式,进而将同构式视为一个方程,而 a , b 为该方程的两个根,m 的取 值只需要保证方程有两根即可 解:? f ? x ? 为增函数

a ? a ? 1 ? m ? ? a b ? 2 ? f ? a ? ? , f ?b ? ? ? ? 2 2 b ? b ?1 ? m ? ? ? 2
? a, b 为方程 x ? 1 ? m ?
令t ?

x x 在 ?1, ?? ? 上的两个根,即 m ? ? x ? 1 有两个不同的根 2 2

x ? 1 ?t ? 0? ? x ? t 2 ? 1
1 2 1 ? 1? t ? 1? ? t ? ? t 2 ? 2t ? 1? ,结合图像可得: m ? ? 0, ? ? 2 2 ? 2?

所以方程变形为: m ?

答案: m ? ? 0, ? 2

? ?

1? ?

例 3:设 a, b ? R ,则|“ a > b ”是“ a a > b b ”的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件



D. 既不充要又不必要条件

思路:观察 a a > b b 可发现其同构的特点,所以将这种结构设为函数 f ? x ? ? x x ,分析

? x2 , x ? 0 ? 其单调性。 f ? x ? ? x x ? ? 2 可得 f ? x ? 为增函数。所以 a > b ? f (a) ? ?? x , x ? 0

f (b) ,

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即a> b? a a 答案:C

b b ,所以是充要条件

例 4:若 0 ? x1 ? x2 ? 1,则( A. ex2 ? e x1 ? ln x2 ? ln x1 C. x2e x1 ? x1e x2 答案:C

) B. ex1 ? e x2 ? ln x2 ? ln x1 D. x2e x1 ? x1e x2

思路:本题从选项出发可发现,每个选项通过不等式变形将 x1 , x2 分居在不等式两侧后都具 备同构的特点, 所以考虑将相同的形式构造为函数,从而只需判断函数在 ? 0,1? 的单调性 即可 解: A 选项: e
' x

x2

? ex1 ? ln x2 ? ln x1 ? e x2 ? ln x2 ? e x1 ? ln x1 ,设 f ? x ? ? ex ? ln x

1 xe x ? 1 x ' x ? f ? x? ? e ? ? ,设 g ? x ? ? xe ? 1 ,则有 g ? x ? ? ? x ? 1? e ? 0 恒成立,所 x x
以 g ? x ? 在 ? 0,1? 单调递增,所以 g ? 0? ? ?1 ? 0, g ?1? ? e ? 1 ? 0 ,从而存在 x0 ? ? 0,1? ,使 得 g ? x0 ? ? 0 ,由单调性可判断出:

x ? ?0, x0 ? , g ' ? x ? ? 0 ? f ' ? x ? ? 0, x ? ? x0 ,1? , g ' ? x ? ? 0 ? f ' ? x ? ? 0 , 所 以 f ? x ? 在

? 0,1? 不单调,不等式不会恒成立
B 选项:e 1 ? e
x x2

x 设 f ? x ? ? e ? ln x 可知 f ? x ? ? ln x2 ? ln x1 ? e x1 ? ln x1 ? e x2 ? ln x2 ,

单调递增。所以应该 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,B 错误

? x ? 1? e , 则 ex e x1 e x2 ' C 选 项 : x2e ? x1e ? , 构 造 函数 f ? x? ? , f ? x? ? ? x x2 x1 x2
x

x1

x2

f ' ? x ? ? 0 在 x ? ? 0,1? 恒成立。所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 单调递减,所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立
D 选项: x2e 1 ? x1e
x x2

?

ex e x1 e x2 ,同样构造 f ? x ? ? ,由 C 选项分析可知 D 错误 ? x x1 x2

答案:C

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例 5 :已知函数 f ? x ? 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

? 2015 ? xf ? x ? 1? ? ? x ? 1? f ? x ? ,则 f ? ? 的值是( ? 2 ?
A.



0

B.

1 2

C.

1

D.

5 2

思路: 观察条件可变形为:

f ? x ? 1? x ?1

?

f ? x? x

, 从而得到等式左右的结构均为

f ?t ? t

的形式,

? 2015 ? ? 2013 ? ?1? ? 1? f? f ? ? f ?? ? ? f? ? 2 ? 2 ? 2 2? 且括号内的数间隔为 1。 所以 ? 。 因为 f ? x ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2015 2013 1 1 ? 2 2 2 2

?1? ? 1? f ? ? f ?? ? ?1? ? 1? ?1? 2 2? 为偶函数,所以 f ? ? ? f ? ? ? ,由 ? ? ? ? 可得 f ? ? ? 1 1 ?2? ? 2? ?2? ? 2 2
? 2015 ? f? ? ? 2 ? ?0? 2015 2
答案:A

? 1? f ? ? ? ? 0 ,进而 ? 2?

? 2015 ? f? ??0 ? 2 ?

5 5 3 3 例 6:如果 cos ? ? sin ? ? 7 sin ? ? cos ? ,? ? ?0,2? ? ,那么 ? 的取值范围是________

?

?

思路:本题很难直接去解不等式,观察式子特点可发现若将关于 sin ? ,cos ? 的项分居在不 等号两侧: cos ? ? 7cos ? ? sin ? ? 7sin ? ,则左右呈现同构的特点,将相同的结构设
5 3 5 3

为 函 数 f ? x ? ? x ? 7x , 能 够 判 断 f ? x ? 是 奇 函 数 且 单 调 递 增 。 所 以 不 等 式
5 3

?? ? 即 sin ? ? cos? ? 0 ? 2 sin ? ? ? ? ? 0 , 所 f ?cos? ? ? f ?sin? ? 等价于 cos ? ? sin ? , 4? ?
以 2k? ? ? ?

?

? ? 5? ? ? ? ? 2k? ? k ? Z ? ,结合 ? ? ?0,2? ? ,可得 ? ? ? , ? 4 ?4 4 ?

答案: ?

? ? 5? ? , ? ?4 4 ?

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例 7:如图,设点 P ? x0 , y0 ? 在直线 x ? m y ? ?m,0 ? m ? 1, 且m为常数 上,过点 P 作双 曲线 x 2 ? y 2 ? 1的两条切线 PA, PB ,切点为 A, B ,求证:直线

?

?

AB 过某一个定点
解:设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , PA 的斜率为 k 则 PA : y ? y1 ? k ? x ? x1 ? ,联立方程 ?

? ? y ? y1 ? k ? x ? x1 ? 消去 2 2 x ? y ? 1 ? ?

y 可得:

x2 ? ? ?kx ? ? ?kx1 ? y1 ?? ? ? 1 ,整理可得:
2

?1 ? k ? x
2

2

? 2k ? y1 ? kx1 ? x ? ? y1 ? kx1 ? ? 1 ? 0 ,因为 PA 与双曲线相切
2 2

所以 ? ? 4k

? y1 ? kx1 ?
2

2

? 4 ?1 ? k 2 ? ? y1 ? kx1 ? ? 4 ?1 ? k 2 ? ? 0
2

? 4 ? y1 ? kx1 ? ? 4 ?1 ? k 2 ? ? 0
k 2 x12 ? 2kx1 y1 ? y12 ? 1 ? k 2 ? 0 ? ? x12 ? 1? k 2 ? 2kx1 y1 ? ? y12 ? 1? ? 0
2 2 ? x1 ? y1 ?1 2 2 2 2 代入可得: ? x1 ? 1 ? y1 , y1 ? 1 ? x1
2

2 2 2 y1 k ? 2 x1 y1k ? x1 ? 0 即 ? y1k ? x1 ? ? 0

即k ?

x1 y1 x1 ? x ? x1 ? ? y1 y ? x1 x ? 1 y1

? PA : y ? y1 ?

同理,切线 PB 的方程为 y2 y ? x1 x ? 1

? y0 y1 ? mx1 ? 1 ? P ? m, y0 ? 在切线 PA, PB 上,所以有 ? ? y0 y2 ? mx2 ? 1
? A, B 满足直线方程 y0 y ? mx ? 1 ,而两点唯一确定一条直线

? AB : y0 y ? mx ? 1

1 ? ?x ? 所以当 ? m 时,无论 y0 为何值,等式均成立 ? ?y ? 0

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?1 ? ?1 ? ?点 ? ,0 ? 恒在直线 AB 上,故无论 P 在何处, AB 恒过定点 ? ,0 ? ?m ? ?m ?
例 8:已知椭圆 C 中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点为 ? 0,1? ,离心率为 (1)求椭圆 C 的方程 (2) 过右焦点 F 作直线 l 交椭圆于 A, B , 交 y 轴于 R , 若 RA ? ? AF , RB ? ? BF , 求? ? ? 解: (1) e ?

2 5 5

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

c 2 ? a 5

b ?1

? a 2 ? c2 ? b2 ? 1 解得 a ? 5, c ? 2

x2 ?C : ? y 2 ? 1 5
(2)思路:本题肯定从 RA ? ? AF , RB ? ? BF 入手,将向量关系翻译成坐标的方程,但 观察发现两个等式除了 A, B 不同, 系数 ? , ? 不同, 其余字母均相同。 且 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 也仅是角标不同。所以可推断由 RA ? ? AF , RB ? ? BF 列出的方程是同构的,而 A, B 在同 一椭圆上,所以如果用 ? , ? 表示 x1, x2 , y1, y2 ,代入椭圆方程中也可能是同构的。通过计算 可得:?
2 2 ? ?? ? 10? ? 5 ? 20k ? 0 2 2 , 所以 ? , ? 为方程 x ? 10 x ? 5 ? 20k ? 0 的两个不同根, 2 2 ? ? ? ? 10? ? 5 ? 20k ? 0

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

进而利用韦达定理即可得到 ? ? ? ? ?10 解:由(1)得 F ? 2,0 ? ,设直线 l : y ? k ? x ? 2? ,可得 R ? 0, ?2k ? ,设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 可得: RA ? ? x1 , y1 ? 2k ? , AF ? ? 2 ? x1 , ? y1 ? ,由 RA ? ? AF 可得:

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

2? ? x ? 1 ? ? x1 ? ? ? 2 ? x1 ? ? 1? ? ?? ① ? ? 2 k y ? 2 k ? ? ? y ? 1 1 ?y ? 1 ? 1? ? ?
2 2 因为 A 在椭圆上,? x1 ? 5 y1 ? 5 ,将①代入可得:
2 ? 2? ? ? ?2k ? 2 2 ? ? +5? ? =5 ? 4? ? 20k ? 5 ? ? ? 1? ?1? ? ? ?1? ? ? 2 2

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?? 2 ? 10? ? 5 ? 20k 2 ? 0
对于 ? , RB ? ? x2 , y2 ? 2k ? , BF ? ? 2 ? x2 , ? y2 ? , RB ? ? BF 同理可得:? ? 2 ? 10? ? 5 ? 20k 2 ? 0

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ? , ? 为方程 x 2 ? 10 x ? 5 ? 20k 2 ? 0 的两个不同根 ? ? ? ? ? ?10
例 9 : 已 知 函 数 ? ? x? ?

a , a 为 正 常 数 , 若 g ? x ? ? ln x ? ? ? x ? , 且 对 任 意 x ?1

x1, x2? ? 0 , ? 2 , x1? x,都有 2

g ? x2 ? ? g ? x1 ? x2 ? x1

? ?1,求 a 的取值范围.

思路:观察到已知不等式为轮换对称式,所以考虑定序以便于化简,令 x2 ? x1 ,则不等式 变形为 g ? x2 ? ? g ? x1 ? ? x1 ? x2 ,将相同变量放置一侧,可发现左右具备同构特点,所以将 相同结构视为函数 h ? x ? ? g ? x ? ? x ,从而由 x2 ? x1 且 h ? x2 ? ? h ? x1 ? 可知只需 h ? x ? 为增 函数即可。从而只需不等式 h ? x ? ? 0 恒成立即可,从而求出 a 的范围
'

解: g ? x ? ? ln x ?

a ,不妨设 x1 ? x2 ,则恒成立不等式转化为: x ?1

g ? x2 ? ? g ? x1 ? ? x1 ? x2 ? g ? x2 ? ? x2 ? g ? x1 ? ? x1
设 h ? x ? ? g ? x ? ? x ? ln x ?

a ? x ,则由 h ? x2 ? ? h ? x1 ? 恒成立和 x1 ? x2 可得: x ?1

只需 h ? x ? 在 ? 0,2? 单调递增即可

?h' ? x ? ? 0 恒成立
? h' ? x ? ? 1 a ? ?1 x ? x ? 1?2
2

1 a ? ? ?1? 0 x ? x ? 1?2
2 ? ? x ? 1? ? 2 所以只需 a ? ?? x ? 1? ? ? x ? ? ? min ?

即 a ? ? x ? 1? ?

? x ? 1?
x
2

2

恒成立

令 p ? x ? ? ? x ? 1? ?

? x ? 1?
x

2

? p ? x ? ? 2 ? x ? 1? ?
'

2 x ? x ? 1? ? ? x ? 1? x2

2

?

? x ? 1? ? 2 x ? 1?
2

x2

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? 1? ?1 ? ? p ? x ? 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,2 ? 单调递增 ? 2? ?2 ? ? 1 ? 27 ? p ? x ?min ? p ? ? ? ?2? 2
?0 ? a ? 27 2

例 10:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2t ? 3 ? t ? R, t ? ?1? ,且

an ?1 ?
求数列 ?an ? 的通项公式

? 2t

n ?1

? 3? an ? 2 ? t ? 1? t n ? 1 a n ? 2t n ? 1

思路:本题递推公式较为复杂,所以考虑先化简分式,观察到分子中含有分母的项,所以想 到分离常数简化分式,即 an ?1 ? 1 ?

2 ? t n ?1 ? 1? ? an ? 1? a n ? 2t n ? 1

,寻求相邻同构的特点,转化为

an ? 1 2? n an ? 1 ? 1 t ? 1 ,即可设 b ? an ? 1 ,递推公式变为 b ? 2bn ,则能够求出 b 通 ? n n ?1 n n ?1 tn ? 1 bn ? 2 t ? 1 an ? 1 ? 2 tn ? 1
项公式,进而求出 an 解: an ?1

? 2t ?

n ?1

? 3? an ? 2 ? t ? 1? t n ? 1 a n ? 2t n ? 1 2 ? t n ?1 ? 1? ? an ? 1? a n ? 2t n ? 1

? 2t ?
? an ?1 ? 1 ?

n ?1

? 2 ? an ? 2t n ?1 ? 2 ? ? ? an ? 2t n ? 1? a n ? 2t n ? 1

?

?1

2 ? t n ?1 ? 1? ? an ? 1? a n ? 2t n ? 1

?

2 ? an ? 1? an ? 1 ? 1 an ? 1 ? 1 tn ? 1 ? ? ? ? t n ?1 ? 1? an ? 2t n ? 1 ? t n ?1 ? 1? an ?n2t n ? 1 t ?1
an ? 1 2bn ,则递推公式变为 bn ?1 ? n t ?1 bn ? 2

2

? an ? 1?

设 bn ?

?

1 b ?2 1 1 1 1 t ?1 t ?1 1 ? n ? ? ? ,且 ? ? ? bn ?1 2bn bn ?1 bn 2 b1 a1 ? 1 2t ? 3 ? 1 2

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?1? 1 ? ? ? 为公差是 的等差数列 2 ? bn ?

?

1 1 1 1 ? ? ? n ? 1? ? ? n bn b1 2 2

2 ? t n ? 1? tn ? 1 n ? ? ,解得 an ? ?1 an ? 1 2 n
小炼有话说:同构式在处理数列问题时,通常应用在构造辅助数列求通项公式。当递推公式 比较复杂时,构造出 an 和 an ?1 的同构式,其中关于 n 的表达式构造出 f ? n ? , f ? n ? 1? 分别 与 an 和 an ?1 相对应,进而寻找到辅助数列。


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