银川一中2019届高三第二次模拟数学(理科)参考答案

银川一中 2019 届高三第二次模拟数学(理科)参考答案

一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分)

题号 1 2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

答案 D C

C

A

C

B

B

D

C

B

C

D

二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分)

13. 40

14.5

三、解答题:

15. 2n ?1

9?
16.
2

17:解:(1)?

an?1

?

1 3

a

n

?2



a1

?

4

?

an?1

?

3

?

1 3

(an

?

3)

,故 ?an

?

3?是首项为

1,公比为

1 3

的等比数列,

(2)由(1)知

an

?

3

?

?? ?

1 3

n?1
? ? ?



Tn

=3n+(?? ?

1 3

0
? ? ?

?

??

1

1
? ?

?3?

?

?

?

?

?

?? ?

1 3

?? ?

n?1
)=3n+

1

- ?? 1 ?? ?3? 1- 1

n

=3n+

3 2

????1

-

?? ?

1 3

?? ?

n

?? ??

3

18. 解:

19.解:如图,取 PD 中点 E,连接 EN,AE. (1) 证明: M,N,E 为中点,

?EN AM,

1
EN=AM= AB,

2

?AMNE 是平行四边形,MN AE

又 CD ? AD,CD ? PA ?CD ? 面 PAD, ?面 P CD ? 面 PAD
PA=AD,E 为中点,AE ? 面 P CD ?MN ? 面 PCD,
(2)建立如图所示坐标系,设 PA=AD=2,AB=2t, 则 A(0,0,0),B(2t,0,0),C(2t,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),
M(t,0,0),N(t,1,1). 由(1)知 MN ? 面 PCD,

? PB ? (2t, 0, ?2), MN ? (0,1,1)

直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为

10
,

10

y
P N
E
D

A

M

C
x
B

?由 PB ? MN ? 10 得 t=2. PB MN 10

设 m ? (x, y, z), m ? 平面 NMD,则

DM ? (2, ?2, 0), MN ? (0,1,1)



??DM ?

?m

?

0


m

?

(1,1, ?1),

m

?

3,

??MN ? m ? 0

AP ? 面 CMD, AP ? (0, 0, 2) ,设二面角 N-MD-C 为? ,? 为锐角则

cos? ? APm ? 3 , AP m 3

?sin? ? 6 . 3

20.解(1)解:M 点的轨迹是以( 2 2 ,0),(- 2 2 ,0)为焦点,长轴长为 6 的椭圆,其标准方程为

x2 ? y2 ?1 9

?2? 解:设 A(x1 ,y1 ),B(x 2 ,y 2 ),由 AD = ? DB 得 y1 = ? ? y 2 ......?
由 1< ? <2 得 k ? 0

由 y=kx- 2 2 k 得 x= y ? 2 2k 代入 x2 ? y2 ? 1 整理(1+9k 2 )y 2 +4

k

9

显然?的判别式 ? >0 恒成立

2 ky-k 2 =0......?

由根与系数的关系得

y

1

+y

2

=

?

4 1?

2k 9k 2

......?

y1y2 =

? k 2 ......④ 1? 9k 2

由??得

y1

?

(1?

4 2?k ?)(1? 9k

2)



y2

? ? 4 2k (1? ?)(1? 9k 2 )

代入④

整理得

1? 9k 2

?

32? (1? ?)2

?

?

32 ? 1 ?2

?

设 f( ? )= ? ? 1 ? 2 ,则利用导数可以证明 f( ? )在(1,2)上为增函数故得 0< f( ? )< 1

?

2

所以1? 9k 2 >64 即 k 的取值范围是 k> 7 或 k< ? 7

21

解:(1):由题意可知函数

f

(x)

的定义域为 (0,??)



f

?( x)

?

? ln x2

x



当 x ?(0,1) 时: f ?(x) ? 0 ,所以 f (x) 单调递增;

当 x ? (1,??) 时: f ?(x) ? 0 ,所以 f (x) 单调递减;

(2):由题意得: g?(x) ? ln x ?1? ax ? 0 有两个不同的零点,即 ln x ?1 ? a 有两个不同的 x
根设为 x1 ? x2 ;

由(1)得 f (x) ? ln x ?1 ,当 x ?(0,1) 时 f (x) 单调递增;当 x ? (1,??) 时 f (x) 单调递减; x



f

(1) e

?

0



f

(1)

?1当

x ? (1,??) 时

f

(x)

?

0

,所以

a ? (0, 1)

时有 0

?

x1

?1?

x2 使

ln

x1 x1

?

1

?

a



ln

x2 x2

?

1

?

a

且函数

g(x)



(0,x1),

(

x2,?

?)

单调递减,在

(

x1,

x2

)

单调递增,

现只需比较 g(x1) g(x2 )



的正负进而确定零点个数。



g ( x1 )

?

x1

ln

x1

?

1 2

ax12

?

a 2



a

?

ln

x1 ?1 x1 ;

g(x2 )

?

x2

ln

x2

?

1 2

ax22

?

a 2



a

?

ln

x2 ?1 x2

令:

h(t)

?

1 2

t

ln

t

?

1 2

t

?

ln t ?1 2t



h?(t)

?

ln

t

(t 2 2t 2

?1)?

0

所以函数 h(t) 在 (0, ? ?) 上单调增,所以 0 ? x1 ? 1时 g(x1) ? h(x1) ? h(1) ? 0

x2 ? 1时 g(x2 ) ? h(x2 ) ? h(1) ? 0



x

?0



g(x)

?

a 2

?

0



x

? ?? 时

g(x)

?

??
,所以函数有三个零点。

22.解:(1)曲线 C1 的方程为 (x ?1)2 ? y2 ? 1, C1 的极坐标方程为 ? ? 2cos?

C2

的方程为

x

?

y

?

3 ,其极坐标方程为

?

?

cos?

3 ?

sin?

(2) C3

是一条过原点且斜率为正值的直线, C3

的极坐标方程为 ?

?

?, ?

? ??0,? ?2

?? ?

联立 C1



C3

的极坐标方程

?? ???

? 2cos? ??

,得

?

?

2 c os?

,即

OA

?

2 c os?

联立 C1 与 C2

的极坐标方程

??? ?

?

cos ?

3 ?

sin ?

??? ? ?

,得 ? ?

3 cos ? ?

sin ?

,即

OB

?

3 cos ? ?

sin ?

所以 OA ? 3 ? 2 cos ? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos?? ? ? ? ??

OB

? 4?

又 ? ? ?? 0,? ?? ,所以 OA ? 3 ? ( ?1,1 )

? 2?

OB

23. 证明: (1)因为 1 ? 1 ? 1 ? a ? b ? c ? a ? b ? c ? a ? b ? c ?

abc

a

b

c

b ? c ?1? a ? c ?1? a ? b ?1?

aa

bb

cc

b ? a ? b ? c ? a ? c ? 3 ? 9,当a ? b ? c时等号成立 abcbca

(2)因为

1 a

?

1 b

?

1 c

?

1 2

?? ?

1 a

?

1 b

?

1 a

?

1 c

?

1 b

?

1 c

?? ?

?

1 2

?

?? ??

2

1 ?2 ab

1 ?2 ac

1 ?? bc ??

? ? 又因为 abc ? 1, 所以

1 ab

?

c



1 ac

?

b



1 bc

?

a

?

1 a

?

1 b

?

1 c

?

c? b? a

当 a ? b ? c 时等号成立,即原不等式成立


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