高中数学:1.3《曲线的极坐标方程》课件(新人教版A版选修4-4)_图文

高二数学 选修4-24

1.3 曲线的极坐标方程
丹江口市一中 学 高二数

曲线的极坐标方程
一、定义:如果平面曲线C上的点与方程 f(?,?)=0有如下关系 (1)平面曲线C上任一点的极坐标中至少有一 个满足方程f(?,?)=0 ; (2)极坐标适合方程f(?,?)=0的点都在曲线C上。 则方程f(?,?)=0叫做曲线C的极坐标方程。

探究1:
⒈如图,半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0), 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 (?,?)满足的条件吗?
圆心在C(a,0) ,半径为a 的圆的极坐标方程

?=2acos ? O

ρ θ

M ( ρ, θ)

C(a,0)

A

x

2、已知圆O的半径为r,建立怎样的坐标系, 可以使圆的极坐标方程更简单? 圆心在极点,半径为r;
M (ρ, θ) ρ θ

圆的极坐标方程

?=r

O

x

3;求圆心在点(a, π /2)处且过极点的圆的 极坐标方程为
B M(ρ, θ)

?=2asin ?

A
(a, π /2)

O

x

4 求圆心在(ρ0,θ0),半径为r的圆的方程.
[解 ] 如图,在圆周上任取一点P.

设其极坐标为(ρ,θ). 由余弦定理知: CP2=OP2+OC2-2OP·OCcos∠COP, 故其极坐标方程为

r2=ρ+ρ2-2ρρ0cos(θ-θ0).

5.在极坐标系中,求以(a, θ ?)为圆心, a为半径的圆的极坐标方程
M(ρ, θ) B

?=2acos( ?-?1)

O

x

总结:
特殊的圆的极坐标方程 (1)圆心在极点,半径为r;

? =r

(2)圆心在C(a,0),半径为a;

?=2acos ?

(3)圆心在(a,?/2),半径为a;
(4)圆心在C(?0,?0),半径为r。 (5)圆心在C(a,?0),半径为a。

?=2asin ?

?2+ ?0 2 -2 ? ?0 cos( ?- ?0)= r2
?=2acos( ?-?0)

练习
1:以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆 的方程是( C )

? ?? A.? ? 2cos ? ? ? ? ? 4? C.? ? 2cos ?? ? 1?

? ?? B.? ? 2sin ? ? ? ? ? 4? D.? ? 2sin ?? ? 1?

2、极坐标方程? ? cos( 曲线是

?
4

? ? )所表示的

(D ) A、双曲线 C、抛物线

B、椭圆

D、圆

解:该方程可以化为?=cos(? ?

?
4

),

1 ? 1 表示以( , )为圆心, 为半径的圆。 2 4 2

探究2: 直线的极坐标方程
?

1:求过极点,倾斜角为 4 的射线的极坐标方程。 分析: 如图,所求的射线上任一 ? 点的极角都是 4 , 其极径可以取任意的非负数。

M
? ﹚4

故所求 射线OM的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? 0)
4

同理:射线OM’的极坐标方程为
5 易得 ? ? 4 ? ( ? ? 0)

M′

o

x

思考: ? 1、过极点,倾角为 4 的直线的极坐标方程。

? 5 直线L的极坐标方程可以用? ? 和? ? ? 表示 4 4
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形 式比较起来,极坐标系里的直线表示起来很不 方便,要用两条射线组合而成。原因在哪?

??0

为了弥补这个不足,可以考虑允许极径可以 取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可 以表示为

5 ? ? ( ? ? R) 或 ? ? ? ( ? ? R) 4 4

?

? ? ? ( ? ? 0)表示极角为?的一条射线。 ?=? ( ? ? R)表示极角为?的一条直线。

2、求过点A(a,0)(a>0),且垂直于极轴的直线 L的极坐标方程。
解:如图,设点

M ( ? ,? )
?

M
A x

为直线L上除点A外的任意一点, 连接OM 在 Rt ?MOA 中有

o

﹚?

OM cos ?MOA ? OA


? cos? ? a

可以验证,点A的坐标也满足上式。

求曲线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图;建立极坐标系 2、设点 M ( ? ,? ) 是曲线上任意一点,连接MO ;

3、根据几何条件建立关于 ? ,? 的方程,并化简;
4、检验并确认所得的方程即为所求。

例3 设点P的极坐标为 ( ?1 ,?1 ) ,直线 l 过点P且 与极轴所成的角为 ? ,求直线 l 的极坐标方程。 解:如图,设点 M ( ? , ? ) 为直线上除 点P外的任意一点,连接OM 则 OM ? ? , ?xOM ? ? 由点P的极坐标知 M ? OP ? ?1 ?xOP ? ?1 ?1 P 设直线L与极轴交于点A。 ? ?

则在 ?MOP o x ?OMP ? ? ? ? , ?OPM ? ? ? (? ? ?1 ) ?1 ? ? 由正弦定理得 sin[? ? (? ? ?1 )] sin(? ? ? ) 显然点P的坐 ? sin(? ? ? ) ? ?1 sin(? ? ?1 ) 标也是它的解。

﹚ ﹚
1

解:在直线l上任意取点M ( ? , ? )

练习2、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 4 ?
? A(2, ) 4
(2, ) A 4
M(ρ,θ)

?

? ? MH ? 2 ? sin ? 2 4 O 在Rt ?OMH中, MH = OM sin ? ,
即? sin ? ? 2

?
?

H

? 所以,过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为? sin ? ? 2

练习:设点P的极坐标为A ( a , 0),直线 l 过点P 且与极轴所成的角为? ,求直线 l 的极坐标方程。 解:如图,设点 M ( ? ,? ) 为直线 l 上异于的点 连接OM, 在?MOA 中有
? a ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

M(ρ,θ)

?
?

o

A

? ﹚

x

即 ? sin(? ? ? ) ? a sin ?
显然A点也满足上方程。

极坐标方程与直角坐标方程的互化
[例] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化: (1)y2=4x;(2)x2+y2-2x-1=0;
[思路点拨] ? ?x=ρcos θ, ? ? ?y=ρsin θ, 将方程的互化转化为点的互化: ?ρ2=x2+y2, ? ? y ?tan θ= ?x≠0?. x ?

[解 ]

(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 y2=4x,

得(ρsin θ)2=4ρcos θ. 化简,得 ρsin2θ=4cos θ. (2)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 y2+x2-2x-1=0, 得(ρsin θ)2+(ρcos θ)2-2ρcos θ-1=0, 化简,得 ρ2-2ρcos θ-1=0.

2.把下列极坐标方程化为直角坐标方程. (1)ρ2cos 2θ=1;
? π? (2)ρ=2cos?θ-4?. ? ?

解:(1)因为ρ2cos 2θ=1, 所以ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=1. 所以化为直角坐标方程为x2-y2=1. π π (2)因为ρ=2cos θcos +2sin θsin = 2cos θ+ 2sin θ, 4 4 所以ρ2= 2ρcos θ+ 2ρsin θ. 所以化为直角坐标方程为x2+y2- 2x- 2y=0.

在进行两种坐标方程间的互化时,要注意 (1)互化公式是有三个前提条件的,即极点与直角坐标系 的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合,两种 坐标系的单位长度相同. (2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里 约定只在 0≤θ<2π 范围内求值. (3)由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要注意化简. (4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价 性,通常总要用 ρ 去乘方程的两端,应该检查极点是否在曲 线上,若在,则是等价变形,否则,不是等价变形.


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