【全国百强校】宁夏中卫市第一中学高一数学课件:必修一 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征_图文

第2课时 用样本的数字特 征估计总体的数字特征

快乐回忆
(1)如何通过频率分布直方图估计数字特 征(中位数、众数、平均数)?
估计众数:频率分布直方图面积最大的方 条的横轴中点数字.(最高矩形的中点) 估计中位数:中位数把频率分布直方图分 成左右两边面积相等. 估计平均数:频率分布直方图中每个小矩 形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之 和.

平均数为我们提供了样本数据的重要
信息,但是,有时平均数也会使我们作出对 总体的片面判断.某地区的统计显示,该地 区的中学生的平均身高为176 cm,给我们 的印象是该地区的中学生生长发育好,身 高较高.但是,假如这个平均数是从五十万 名中学生抽出的五十名身高较高的学生计 算出来的话,那么,这个平均数就不能代表 该地区所有中学生的身体素质.因此,只有 平均数难以概括样本数据的实际状态
所以我们学习从另外的角度来考察样
本数据的统计量——标准差

(1)有甲、乙两种钢筋,现从中各抽取一个样本
(如下表)检查它们的抗拉强度(单位: kg/mm2),通过计算发现,两个样本的平均数均 为125. 甲110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 哪种钢筋的质量较好?

由上图可以看出,乙样本的最小值100 低于甲样本的最小值110,乙样本的最大值 145高于甲样本的最大值135,这说明乙种 钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.
我们把一组数据的最大值与最小值的
差称为极差(range).由上图可以看出,乙 的极差较大,数据点较分散;甲的极差小, 数据点较集中,这说明甲比乙稳定.运用极 差对两组数据进行比较,操作简单方便,但 如果两组数据的集中程度差异不大时,就不 容易得出结论.

我们先来帮下面这个教练来解决问题,寻 找答案!

教练的烦恼
甲,乙两名射击手的测试成绩统计如下:
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次

甲命中环数 7

8

8

8

9

乙命中环数 10 6 10 6

8

⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩; x甲?8, x乙?8

⑵ 请根据这两名射击手的成绩在 成绩(环) 下图中画出折线统计图; 10
8
⑶ 现要挑选一名射击手参加比 赛,若你是教练,你认为挑 6 选哪一位比较适宜?为什么? 4
2
012

甲 乙
射 击 次 序
345

? 根据计算我们可以知道甲、乙两名射击手 的平均成绩都是8环,但是相比之下,甲射击 手的成绩大部分都集中在8环附近,而乙射 击手的成绩与其平均值的离散程度较大.通 常,如果一组数据与其平均值的离散程度较 小,我们就说它比较稳定.
请同学们进一步思考,什么样的数据能反映一组数 据与其平均值的离散程度?
从上面的表和可以看到,甲的射击成绩与平均 成绩的偏差较小,而乙的较大。那么如何说明 呢?可以直接将各数据与平均值的差进行累加 吗?在下表中写出你的计算结果并进行小结, 可以用它们来比较两组数据围绕其平均值的波 动情况(离散程度)吗?

第一 第二 第三 第四次 第五 求和

次 次次



甲射击成 7 绩

8

8

8

9

每次成

绩与平 均成绩

-1

0

0

0

1

0

之差

乙 射击成 10 绩

6

10 6

8

每次成

绩与平 2
均成绩

-2 2

-2

0

0

之差

你的小结是什么?能用上面的方法比较 两组数据的波动情况吗?
? 不能,每次相减的差有正有负,求和时可 能同为0,或是其它的同一数字,这样就无 法比较了!
如果将每次的差都平方再求和,能解决上面的问题 吗?试一下……
此时甲求和后为2,乙求和后为16,可以 解决上面的问题。那么这种方法适用于 所有的情况吗?看一下下面的问题,想 一想,算一算,再来给出你的结论吧!

12

? 如果一共进行了七次射击测试,

而甲因故缺席了两次,怎样比

较谁的成绩更稳定呢?用上面 甲 成 7 8

的方法计算一下填入下面的表 格中,然后想一下这种方法适



用吗?如果不适用,应该如何



改进呢? 对,有的同学已经发现了这种

的 平

1

0



方法在这里看似是适用的,但

仔细想来两组数据并不一样多, 乙 成 10 6

这样对数据多的一组来说不公 平!那么应该怎样解决呢?
对,咱们的同学真聪明!



的44
平 方

求平均数就可以解决了!

34 88 00 10 6 44

5 6 7 求和
缺9 缺 席席
∕ 1∕ 2
879
0 1 1 18

标准差:
通常改用如下公式来计算标准差:

? s=

1 n[x (1?x)2?(x2?x)2?? ?(xn?x)2]

意义:标准差用来表示稳定性,

标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定.

标准差越小,数据的离散程度就越小,也就越稳定.

从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,当s=0时,意 味着所有的样本数据都等于样本平均数.

方差:从数学的角度考虑,人们有
时用标准差的平方s2——方差来代 替标准差,作为测量样本数据分散 程度的工具:
计算公式:
S 2 = n 1 ? ??x 1? x ?2? ?x 2? x ?2? … ? ?x n? x ?2 ? ? 一般步骤:
求平均-再求差-然后平方-最后再平均

教练的烦恼
甲,乙两名射击手的测试成绩统计如下:
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次

甲命中环数 7

8

8

8

9

乙命中环数 10 6 10 6

8

⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩; x甲?8, x乙?8

⑵ 请根据这两名射击手的成绩在 成绩(环) 下图中画出折线统计图; 10
8
⑶ 现要挑选一名射击手参加比 赛,若你是教练,你认为挑 6 选哪一位比较适宜?为什么? 4
2
012

甲 乙
射 击 次 序
345

预习结果展示
例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点. (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5; (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6; (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7; (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.

方差越大, 波动越大,越不稳定。
例: 为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别 从中抽出10株苗,测得苗高如下(单位:cm): 甲: 12 13 14 15 10
16 13 11 15 11 乙: 11 16 17 14 13
19 6 8 10 16 问哪种小麦长得比较整齐?

比比谁最快
(1)在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数 如下9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一
个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 ____________.
(2)在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测 试,测得他们的最大速度(单位:m/s)的数据如下:
甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36
试判断选谁参加某项重大比赛更合适?

x x ? (1)9.5, 0.016 (2)甲=33, 乙=33,

s甲2

?437?s乙2

?37 3

? 乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适.

(2015·新课标全国Ⅱ,18)某公司为了解用户对其产品的 满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得 到用户对产品的满意度评分如下: A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95
66 97 78 88 82 76 89 B地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65
81 74 56 54 76 65 79 (1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图, 并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程 度.

A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
通过茎叶图可以看出, A地区用户满意度评分 的平均值高于B地区用 户满意度评分的平均值; A地区用户满意度评分 比较集中,B地区用户 满意度评分比较分散.

(2016·河北沧州模拟)为备战2016年奥运会,甲、 乙两位射击选手进行了强化训练.现分别从他们的 强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次, 记录如下:
甲:8.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3; 乙:9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5.
(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图; (2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训,从 统计学角度,你认为派哪位选手参加合理?简单 说明理由;

显然,在刻画样本数据的 离散程度上,方差与标准 差是一样的.但在解决实际 问题时,一般多采用标准 差.

课堂小结
1.用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类: 用样本平均数估计总体平均数,平均数对数据有
“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平. 用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大,估计
就越精确,标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小, 反映了一组数据变化的幅度.
2.用样本估计总体的两个手段(用样本的频率 分布估计总体的分布;用样本的数字特征估计 总体的数字特征),需要从总体中抽取一个质量 较高的样本,才能不会产生较大的估计偏差,且
样本容量越大,估计的结果也就越精确..

谢谢指导!


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