高二数学导数、定积分测试题[1]

高二数学选修 2—2 导数、定积分测试题
一、选择题： （每小题 4 分） 1、若函数 f ( x ) ?
1 2 s in 2 x ? s in x ，则 f ( x ) 是（
'

）

A．仅有最小值的奇函数 Ｃ. 既有最大值又有最小值的偶函数
3 2

B．仅有最小值的偶函数 Ｄ. 非奇非偶函数

2、设 f ( x ) ? a x ? b x ? c x ? d ( a ? 0 ) ，则 f ( x ) 为增函数的充要条件是（ ） A． b ? 4 a c ? 0
2
2

B． b ? 0 , c ? 0

C． b ? 0 , c ? 0

Ｄ． b ? 3 a c ? 0
2

３、设 f ( x ) ? x ( a x ? b x ? c ) ( a ? 0 ) 在 x ? 1 和 x ? ? 1 处均有极值，则下列点中一定 在 x 轴上的是（ ） Ａ． ( a , b ) Ｂ． ( a , c ) Ｃ． ( b , c ) Ｄ． ( a ? b , c )
/

4．对于 R 上可导的任意函数 f（x） ，若满足 ( x ? 1 ) f ( x ) ? 0 ，则必有（ A．f（0）＋f（2）?2f（1） C. f（0）＋f（2）?2f（1） ５、设 a ? R ，若函数 y ? e Ａ． a ? ? 3
ax

）

B. f（0）＋f（2）?2f（1） D. f（0）＋f（2）?2f（1） ）

? 3 x , x ? R 有大于零的极值点，则（

Ｂa ? ?3

C． a ? ?

1 3

D． a ? ?

1 3

3 2 ６ 、 已 知 f ( x ) ? a x ? b x ? c x ? d 与 x 轴 有 ３ 个 交 点 ( 0 , 0 ), ( x 1 , 0 ), ( x 2 , 0 ), 且 f ( x ) 在

x ? 1, x ? 2 时取极值，则 x 1 ? x 2 的值为（

）

Ａ．４

Ｂ．５
3? 2

C． 6

D．不确定 ）

7、曲线 y ? c o s x ( 0 ? x ? A. 4 B. 2 C.

) 与两坐标轴所围成图形的面积为（

5 2

D. 3 )

8. 函数 y ? x sin x ?

x 的导数是(

A. y /

? sin x ? cos x ? 2

1 x 1 2
/

B.

y

/

? sin x ? cos x ? 2

1 x 1 2 x

C.

y

/

? sin x ? cos x ?

D.
x

y

/

? sin x ? cos x ?

9.若函数 f ( x ) 的导数为 f ( x ) ? ? sin x ,则函数图像在点 ? 4 , f ( 4 ) ? 处的切线的倾斜角为

A. 90 0
10、 m ? A． m ? n

B.0

0

C.锐角
） D．无法确定

D.钝角(

)

?

1 0

e d x与 n = ?
x

e

1 x

d x 的大小关系是（

1

B．

m ? n

C． m ? n
2

11．过点（－1，0）作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线，则其中一条切线为( A． 2 x ? y ? 2 ? 0
1

)

B． 3 x ? y ? 3 ? 0
2

C． x ? y ? 1 ? 0

D． x ? y ? 1 ? 0

12．定积分 ? ( 1 ? ( x ? 1) ? x ) d x 等于（）
0

Ａ．

? ?2
4

Ｂ．

?
2

?1

Ｃ．

? ?1
4

Ｄ．

? ?1
2

二、填空题（每题４分） １3、质点运动的速度 v ? (1 8 t ? 3 t ) m / s ，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是
2

____________. 14、已知函数 f ( x ) ? 3 x ? 2 x ? 1 ，若 ?
2

1 ?1

f ( x ) d x ? 2 f ( a ) 成立，则 a ＝__________.

15 、

已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， f (2) ? 0 ， 当 x ? 0 时 ， 有
/

(x) f (x) ? f (x) x
2

? 0 成立，则不等式 f ( x ) ? 0 的解集是__________.

16、已知二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c 的导数为 f ( x ) , f ( 0 ) ? 0 ，对于任意实数 x ，有
2 ' '

f ( x ) ? 0 ，则

f (1) f (0 )
'

的最小值为________.

三、解答题（共 56 分） 17、(本小题 10 分) 已知抛物线 y ? ax
y ? x ? 3 相切,求实数 a , b , c 的值.
2

? bx ? c 通过点 P(1,1),且在点 Q(2,-1)处与直线

18、(本小题 10 分) 已知函数 y ? f ( x ) ? 的最大、最小值；

1 2

x ? ln x ，求函数 y ? f ( x ) 在区间［１，e］上
2

19、(本小题 12 分) 设函数 f ( x ) ? x ? 3 b x ? 3 b ，
3

（1）若 x ? ?1, 2 ? ，且函数 f ( x ) 的最小值为零，求 b 的值； （2）若在 ?1, 2 ? 内 f ( x ) 恒为正值，求 b 的取值范围。 20、(本小题 12 分) 设函数 f ( x ) ? 2 x ? 3 ( a ? 1 ) x ? 6 ax ? 8 , 其中 a ? R.
3 2

（1）若 f ( x ) 在 x ? 3 处取得极值，求常数 a 的值； （2）若 f ( x ) 在 ( ?? , 0 ) 上为增函数，求 a 的取值范围.
4x
2

21、(本小题 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

? 7

2 ? x

, x ? [ 0 ,1 ].

（1）求 f ( x ) 的单调区间和值域； （2）设 a
? 1 ，函数 g ( x ) ? x
3

? 3 a x ? 2 a , x ? [ 0 ,1 ]. 若对于任意
2

x 1 ? [ 0 ,1 ], 总存在

x 0 ? [ 0 ,1 ],

使得 g ( x 0 ) ? f ( x 1 ) 成立，求 a 的取值范围.

参考答案 一、 选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A C B C D A C A D A

二、 填空题
13、108m 14、 ? 1 或
1 3

15.． ( ?? , ? 2 ) ? ( 0 , 2 ) 16、2 解：均值不等式定理

三、解答题 17.解: 因为抛物线过点 P, 所以 a ? b ? c ? 1 , 又 y ? 2 ax ? b ,? y
/ / x?2

① ②

? 4 a ? b ,? 4 a ? b ? 1 .

又抛物线过点 Q,? 4 a ? 2 b ? c ? ? 1, 由①②③解得, a ? 3 , b ? ? 11 , c ? 9 .
e
2

③

18、 （1） f

(x)

?
m ax

? 1, f

2

(x)

?
m in

1 2

19.（1）分类讨论，得 b ?

9 4

（2）由第（1）知 b ?

9 4

2 20.解： （Ⅰ） f ? ( x ) ? 6 x ? 6 ( a ? 1 ) x ? 6 a ? 6 ( x ? a )( x ? 1 ).

因 f ( x ) 在 x ? 3 取得极值， 所以 f ? ( 3 ) ? 6 ( 3 ? a )( 3 ? 1 ) ? 0 .

解得 a ? 3 。

经检验知当 a ? 3时 , x ? 3 为 f ( x ) 为极值点。 （Ⅱ）令 f ? ( x ) ? 6 ( x ? a )( x ? 1 ) ? 0 得 x 1 ? a , x 2 ? 1 。 当 a ? 1时 , 若 x ? ( ?? , a ) ? (1, ?? ), 则 f ? ( x ) ? 0 , 所以 f ( x ) 在 ( ?? , a ) 和 (1, ?? ) 上为增函数， 故当 0 ? a ? 1时 , f ( x ) 在 ( ?? , 0 ) 上为增函数。 当 a ? 1时 , 若 x ? ( ?? ,1 ) ? ( a , ?? ), 则 f ? ( x ) ? 0 , 所以 f ( x ) 在 ( ?? ,1 ) 和 ( a , ?? ) 上为增函数， 从而 f ( x ) 在 ( ?? , 0 ] 上也为增函数。 综上所述， a ? [ 0 , ?? )时 , f ( x ) 在 ( ?? , 0 ) 上为增函数。 当 21.解：（1） 对函数 f(x)= 令 f (x)=0 解得 x= x f’(x) f(x) 所以，当 x ?
(0, 1 2 ) ? 7 2
/

4x

2

?7

2? x
7 2

, x ? [ 0 ,1 ],

求导， f (x)= 得
/

/

? 4x

2

? 16 ? 7
2

(2 ? x )

? ?

( 2 x ? 1 )( 2 x ? 7 ) (2 ? x )
2

,

，

1 2

或 x= 0

. 当 x 变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表所示： (0, 1 )
2 1 2

(

1 2

,1 )

1

↘
( 1 2 ,1 )

0 -4

+ ↗ -3

时，f(x)是减函数；当 x ?

时，f(x)是增函数，

当 x ? [ 0 ,1] 时，f(x)的值域是[-4，-3] / 2 2 / 2 （II）对函数 g(x)求导，则 g (x)=3(x -a ). 因为 a ? 1 ，当 x ? ( 0 ,1 ) 时，g (x)<5(1-a )≤0, 因此当 x ? ( 0 ,1 ) 时，g(x)为减函数， 从而当 x∈[0,1]时有 g(x)∈[g(1),g(0)], 又 g(1)=1-2a-3a ,g(0)=-2a, 即当 x∈[0,1]时有 g(x)∈[1-2a-3a ,-2a], 任给 x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在 x0∈[0,1]使得 g(x0)=f(x1), 则[1-2a-3a ,-2a] ? [ ? 4 , ? 3 ] ，
5 3
2 2 2

即?

?1 ? 2 a ? 3 a ?? 2a ? ?3
3 2

2

? ?4

① ②

,

解①式得 a≥1 或 a ?

?

,

解②式得 a

?

又a

? 1 ,故

a 的取值范围内是 1 ?

a ?

3 2

。