5高中数学必修1 函数值域、定义域、解析式专题

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高中数学必修 1
一、函数值域的求法

函数值域、定义域、解析式专题

1、直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y ? f ( x) 的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确 判断函数值域的方法。 例 1:求函数 y ? 例 2:求函数 y ?

x 2 ? 6 x ? 10 的值域。
x ? 1的值域。

2、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如 F ( x) ? af 2 ( x) ? bf ( x) ? c 的函数的值域问题,均 可使用配方法。 例 1:求函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域。
2 例2:求 函 数y ? x ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的 值域。

例 3:求函数 y ? ?2 x2 ? 5x ? 6 的值域。 3、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。小结: 已知分式函数 y ?

ax ? b ? a? (c ? 0) ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为 ? y y ? ? ;如 cx ? d c? ?

ad a c (ad ? bc) ,用复合函 果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为 y ? ? c cx ? d b?
数法来求值域。 例 1:求函数 y ? 例 2:求函数 y ? 例 3:求函数 y ?

1? x 的值域。 2x ? 5

x2 ? x 的值域. x2 ? x ?1
x ?1 得值域. 3x ? 2

4、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形如

y ? ax ? b ? cx ? d ( a 、 b 、 c 、 d 均为常数,且 a ? 0 )的函数常用此法求解。
例 1:求函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域。 例2: 求 函 数y ? x ? x ? 1 的 值 域。 5、判别式法:把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y) ? 0 ;通过方程有实数根,判别式 ? ? 0 ,从而求得原函数

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上课地址:长泰县高丽港中路尽头(335 零担车斜对面,精品钓具楼上) 招生电话:15359061456 肖秋桐老师 微信:495732707 肖秋桐
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的值域,形如 y ?

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a1 x 2 ? b1 x ? c1 ( a1 、 a2 不同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。注:由 判 别 式 法 来 判 断 a2 x 2 ? b2 x ? c2
x2 ? x ? 3 的值域。 x2 ? x ? 1

函 数 的 值 域 时,若 原 函 数 的 定 义 域 不 是 实 数 集 时, 应 综 合 函数 的 定 义 域 , 将 扩 大 的 部 分 剔 除。 例 1:求函数 y ?

例2:求函数

y?

1 ? x ? x2 1 ? x 2 的值域。

例 3:求函数 y ?

2x 2 ? 4x ? 7 的值域. x 2 ? 2x ? 3

6、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。 例 1:求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。 例 2:求函数 f ?x? ? 1 ? x ? 1 ? x 的值域。 例3:求 函 数y ? x ? 1 ? x ? 1 的 值 域。 7、数型结合法:函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求 值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的 图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。 例 1:求函数 y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的值域。 例 2:求函数 y ? 例 3:求函数 8、非负数法 根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。 例 1、(1)求函数 y ? 16 ? x 2 的值域。 (2)求函数 y ? 9、“平方开方法” (1).适合采用“平方开方法”的函数特征 设 f ( x) ( x ? D )是待求值域的函数,若它能采用“平方开方法”,则它通常具有如下三个特征: (1) f ( x) 的值总是非负,即对于任意的 x ? D , f ( x) ? 0 恒成立; (2) f ( x) 具有两个函数加和的形式,即 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ( x ? D ); (3) f ( x) 的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式,即
f 2 ( x) ? [ f1 ( x) ? f 2 ( x)]2 ? c ? g ( x) ( x ? D , c 为常数),

x2 ? 4 x ? 5 ? x2 ? 4 x ? 8 的值域。
的值域。

x2 ? 3 的值域。 x2 ? 1

其中,新函数 g ( x) ( x ? D )的值域比较容易求得.

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(2).“平方开方法”的运算步骤 若函数 f ( x) ( x?D) 具备了上述的三个特征, 则可以将 f ( x) 先平方、 再开方, 从而得到 f ( x) ? c ? g ( x) (x?D,

c 为常数).然后,利用 g ( x) 的值域便可轻易地求出 f ( x) 的值域.例如 g ( x) ? [u, v] ,则显然 f ( x) ?[ c ? u , c ? v ] .
(3).应用“平方开方法”三例 能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时 的技巧. 例 1:求函数 f ( x) ? b ? x ? x ? a ( x ? [a, b] , a ? b )的值域.

a b 例 2:求函数 f ( x) ? b ? kx ? kx ? a ( x ? [ , ] , a ? b , k ? 0 )的值域. k k
例 3:求函数 y ? 10、一一映射法

x ? 3 ? 5 ? x 的值域

原理:因为 求另一个变量范围。

在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以

例 1:求函数

的值域。

例2 :求函数

y?

1 ? 3x 2x ? 1 的值域。

二、函数定义域
例 1:已知函数 f ( x) 的定义域为 ??15 , ? ,求 f (3x ? 5) 的定义域.
2 例 2:已知函数 f ( x ? 2 x ? 2) 的定义域为 ?0, 3? ,求函数 f ( x) 的定义域.

例 3:若 f ( x ) 的定义域为 ? ?3 , 5? ,求 ? ( x) ? f (? x) ? f (2 x ? 5) 的定义域. 例 4:若函数 f(x+1)的定义域为[- 例 5:求下列函数的定义域: ①

1 2 ,2],求 f(x )的定义域. 2

f ( x) ?

1 1 ;② f ( x) ? 3x ? 2 ;③ f ( x) ? x ? 1 ? x?2 2? x

例 6:求下列函数的定义域: ② f ( x) ?

4 ? x2 ?1

② f ( x) ?

x 2 ? 3x ? 4 x ?1 ? 2

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x?2 ?3 ? 3 1 3x ? 7
④ f ( x) ?

y?

( x ? 1) 0 x ?x
1 1 ) ? f ( x ? ) 的定义域 4 4
王新敞
奎屯 新疆

例 7:若函数 y ? f ( x) 的定义域为[?1,1],求函数 y ? f ( x ? 例 8:已知 f(x)的定义域为[-1,1],求 f(2x-1)的定义域。 例 9:已知 f(2x-1)的定义域为[0,1],求 f(x)的定义域

三、解析式的求法
1、配凑法 例 1:已知 : f ( x ? 1) ? x ? 3x ? 2 ,求 f(x);
2

1 1 ) ? x 2 ? 2 ( x ? 0) ,求 f ( x) 的解析式. x x 2、换元法(注意:使用换元法要注意 t 的范围限制,这是一个极易忽略的地方。)
例 2 :已知 f ( x ? 例 1:已知: f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f(x); 例 2:已知: f (1 ?

1 1 ) ? 2 ? 1 ,求 f ( x) 。 x x

例 3 :已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1) . 3、待定系数法 例 1.已知:f(x) 是二次函数,且 f(2)=-3, f(-2)=-7, f(0)=-3,求 f(x)。 例 2:设 f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x) . 4、赋值(式)法 例 1:已知函数 f ( x) 对于一切实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( y) ? ( x ? 2 y ? 1) x 成立,且 f (1) ? 0 。

(1)求 f (0) 的值; (2)求 f ( x) 的解析式。
例 2:已知: f (0) ? 1 ,对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立,求 f ( x) . 5、方程法 例 1:已知: 2 f ( x) ? f ? ? ? 3x ,

?1? ? x?

( x ? 0) ,求 f ( x) 。

例 2:设 f ( x)满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f ( x) . 6、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法. 例 1:已知:函数 y ? x ? x与y ? g ( x) 的图象关于点 (?2,3) 对称,求 g ( x) 的解析式.
2

1 x

7、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运

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算求得函数解析式. 例 1:设 f ( x) 是定义在 N ? 上的函数,满足 f (1) ? 1 ,对任意的自然数 a , b 都有 f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? ab , 求 f ( x) .

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