2009届高三数学一轮复习求解函数解析式的几种常用方法

2009 届一轮复习求解函数解析式的几种常用方法
高考要求: 求解函数解析式是高考重点考查内容之一,需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解 函数定义的基础上,掌握求函数解析式的几种方法,并形成能力,并培养考生的创新能力和 解决实际问题的能力. 重难点归纳: 求解函数解析式的几种常用方法主要有: 1.待定系数法,如果已知函数解析式的构造时,用待定系数法; 2.换元法或配凑法,已知复合函数 f[g(x)]的表达式可用换元法,当表达式较简单时 也可用配凑法; 3.消参法,若已知抽象的函数表达式,则用解方程组消参的方法求解 f(x); 另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法. 典型题例示范讲解: a 1 ( x ? ) .(其中 a>0,a≠1,x>0),求 f(x)的表达式. 例 1.(1)已知函数 f(x)满足 f(logax)= 2 x a ?1 (2)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求 f(x)的表达式. 命题意图:本题主要考查函数概念中的三要素:定义域、 值域和对应法则, 以及计算能力 和综合运用知识的能力. 知识依托:利用函数基础知识,特别是对“f”的理解,用好等价转化,注意定义域. 错解分析:本题对思维能力要求较高,对定义域的考查、等价转化易出错. 技巧与方法:(1)用换元法;(2)用待定系数法. 解:(1)令 t=logax(a>1,t>0;0<a<1,t<0),则 x=at. a - 因此 f(t)= 2 .(at-a t) a ?1 a - ∴f(x)= 2 (ax-a x)(a>1,x>0;0<a<1,x<0) a ?1 (2)由 f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,f(0)=c

1 ? ?a ? 2 [ f (1) ? f ( ?1)] ? f (0) ? 1 ? 得 ?b ? [ f (1) ? f ( ?1)] 2 ? ? c ? f ( 0) ? ?
并且 f(1)、f(-1)、f(0)不能同时等于 1 或-1, 所以所求函数为. f(x)=2x2-1 或 f(x)=-2x2+1 或 f(x)=-x2-x+1 或 f(x)=x2-x-1 或 f(x)=-x2+x+1 或 f(x)=x2+x-1. 例 2 设 f(x)为定义在 R 上的偶函数,当 x≤-1 时,y=f(x)的图象是经过点(-2,0),斜 率为 1 的射线, 又在 y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0, 且过点(-1, 2), 1)的一段抛物线, 试写出函数 f(x)的表达式,并在图中作出其图象. 命题意图:本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法,对 分段函数的分析需要较强的思维能力.因此,分段函数是今后高考的热点题型. 知识依托:函数的奇偶性是桥梁,分类讨论是关键,待定系数求出曲线方程是主线.

错解分析:本题对思维能力要求很高,分类讨论、综合运用知识易发生混乱. 技巧与方法:合理进行分类,并运用待定系数法求函数表达式. 解:(1)当 x≤-1 时,设 f(x)=x+b ∵射线过点(-2,0).∴0=-2+b 即 b=2,∴f(x)=x+2. (2)当-1<x<1 时,设 f(x)=ax2+2. ∵抛物线过点(-1,1),∴1=a·(-1)2+2,即 a=-1 ∴f(x)=-x2+2. (3)当 x≥1 时,f(x)=-x+2

? x ? 1, x ? ?1 ? 综上可知:f(x)= ?2 ? x 2 ,?1 ? x ? 1 作图由读者来完成. ?? x ? 2, x ? 1 ?
例 3 已知 f(2-cosx)=cos2x+cosx,求 f(x-1). 解法一:(换元法) ∵f(2-cosx)=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1 令 u=2-cosx(1≤u≤3),则 cosx=2-u ∴f(2-cosx)=f(u)=2(2-u)2-(2-u)-1=2u2-7u+5(1≤u≤3) ∴f(x-1)=2(x-1)2-7(x-1)+5=2x2-11x+4(2≤x≤4) 解法二:(配凑法) f(2-cosx)=2cos2x-cosx-1=2(2-cosx)2-7(2-cosx)+5 ∴f(x)=2x2-7x-5(1≤x≤3), 2 2 即 f(x-1)=2(x-1) -7(x-1)+5=2x -11x+14(2≤x≤4). 学生巩固练习: 1.若函数 f(x)= A 3

mx 3 (x≠ )在定义域内恒有 f[f(x)]=x,则 m 等于( 4 4x ? 3 3 3 B C - D -3 2 2

)

(

2.设函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称, x≤1 时,f(x)=(x+1)2-1,则 x>1 时 f(x)等于 在 ) A.f(x)=(x+3)2-1 B.f(x)=(x-3)2-1 C.f(x)=(x-3)2+1 D.f(x)=(x-1)2-1 3.已知 f(x)+2f(

1 )=3x,求 f(x)的解析式为_________. x

4.已知 f(x)=ax2+bx+c,若 f(0)=0 且 f(x+1)=f(x)+x+1,则 f(x)=_________. 5.设二次函数 f(x)满足 f(x-2)=f(-x-2),且其图象在 y 轴上的截距为 1,在 x 轴上截得 的线段长为 2 ,求 f(x)的解析式. 6.设 f(x)是在(-∞,+∞)上以 4 为周期的函数,且 f(x)是偶函数,在区间[2,3]上时, f(x)=-2(x-3)2+4,求当 x∈[1,2]时 f(x)的解析式.若矩形 ABCD 的两个顶点 A、B 在 x 轴 P D C 上,C、D 在 y=f(x)(0≤x≤2)的图象上,求这个矩形面积的最大值. 7.动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发顺次经过 B、 C、D 再回到 A,设 x 表示 P 点的行程,f(x)表示 PA 的长,g(x)表示 P △ABP 的面积,求 f(x)和 g(x),并作出 g(x)的简图. B A 8.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,函数

y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,又知 y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函 数,且在 x=2 时,函数取得最小值,最小值为-5. (1)证明:f(1)+f(4)=0; (2)试求 y=f(x),x∈[1,4]的解析式; (3)试求 y=f(x)在[4,9]上的解析式. 参考答案:

mx mx 4 x ? 3 =x,整理比较系数得 m=3. 1.解析:∵f(x)= . ∴f[f(x)]= mx 4x ? 3 4? ?3 4x ? 3 m?
答案:A 2.解析:利用数形结合,x≤1 时, f(x)=(x+1)2-1 的对称轴为 x=-1,最小值为-1,又 y=f(x)关于 x=1 对称, 故在 x>1 上,f(x)的对称轴为 x=3 且最小值为-1. 答案:B

1 1 1 )=3x 知 f( )+2f(x)=3 . x x x 1 2 由上面两式联立消去 f( )可得 f(x)= -x. x x 2 答案:f(x)= -x x
3.解析:由 f(x)+2f( 4.解析:∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知 c=0.又 f(x+1)=f(x)+x+1, ∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b)x+a+b=bx+x+1. 故 2a+b=b+1 且 a+b=1,解得 a= 答案:

1 1 1 1 ,b= ,∴f(x)= x2+ x. 2 2 2 2

1 2 1 x+ x 2 2

5. 解 : 利 用 待 定 系 数 法 ,设 f(x)=ax2+bx+c, 然 后 找关 于 a 、 b 、 c 的 方 程 组求 解 , f(x)=

2 2 8 x ? x ? 1. 7 7
6.解:(1)设 x∈[1,2],则 4-x∈[2,3], ∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x), 又因为 4 是 f(x)的周期,∴f(x)=f(-x)=f(4-x)=-2(x-1)2+4. (2)设 x∈[0,1] ,则 2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=-2(x-1)2+4, 又由(1)可知 x∈[0,2]时,f(x)=-2(x-1)2+4, 设 A、B 坐标分别为(1-t,0),(1+t,0)(0<t≤1 ) , 则|AB|=2t,|AD|=-2t2+4,S 矩形=2t(-2t2+4)=4t(2-t2),令 S 矩=S,

S2 2t 2 ? 2 ? t 2 ? 2 ? t 2 3 64 =2t2(2-t2)·(2-t2)≤( )= , 8 3 27 6 当且仅当 2t2=2-t2,即 t= 时取等号. 3 16 6 16 6 64? 8 ∴S2≤ 即 S≤ ,∴Smax= . 9 9 27 7.解:(1)如原题图,当 P 在 AB 上运动时,PA=x;当 P 点在 BC 上运动时,由 Rt△ABD


可得 PA= 1 ? ( x ? 1) 2 ;当 P 点在 CD 上运动时,由 Rt△ADP 易得 PA= 1 ? (3 ? x ) 2 ;当 P 点 在 DA 上运动时,PA=4-x,故 f(x)的表达式为:

(0 ? x ? 1) ?x ? 2 ? x ? 2 x ? 2 (1 ? x ? 2) f(x)= ? ? x 2 ? 6 x ? 10 ( 2 ? x ? 3) ? ( 3 ? x ? 4) ?4 ? x

D

P

C

P A B

(2)由于 P 点在折线 ABCD 上不同位置时,△ABP 的形状各有 特征,计算它们的面积也有不同的方法,因此同样必须对 P 点的位置进行分类求解. 如原题图,当 P 在线段 AB 上时,△ABP 的面积 S=0; 当 P 在 BC 上时,即 1<x≤2 时, S△ABP=

1 1 AB·BP= (x-1) ; 2 2

D

P

C

当 P 在 CD 上时,即 2<x≤3 时,

1 1 ·1·1= ;当 P 在 DA 上时, 2 2 1 即 3<x≤4 时,S△ABP= (4-x). 2 (0 ? x ? 1) ?0 ?1 ? ( x ? 1) (1 ? x ? 2) ?2 ? 故 g(x)= ? 1 ( 2 ? x ? 3) ?2 ? ? 1 (4 ? x ) (3 ? x ? 4) ?2 ?
S△ABP=

P A B

y
1 1 2

o

1

2

3

4

x

8. (1)证明:∵y=f(x)是以 5 为周期的周期函数, ∴f(4)=f(4-5)=f(-1), 又 y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-f(4),∴f(1)+f(4)=0. (2)解:当 x∈[1,4]时,由题意,可设 f(x)=a(x-2)2-5(a≠0),由 f(1)+f(4)=0 得 a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0, 解得 a=2,∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4). (3)解:∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数, ∴f(0)=-f(-0),∴f(0)=0, 又 y=f(x).(0≤x≤1)是一次函数, ∴可设 f(x)=kx(0≤x≤1), ∵f(1)=2(1-2)2-5=-3,f(1)=k·1=k,∴k=-3. ∴当 0≤x≤1 时,f(x)=-3x, 当-1≤x<0 时,f(x)=-3x, 当 4≤x≤6 时,-1≤x-5≤1,∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15, 当 6<x≤9 时, 1<x-5≤4,f(x)=f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5.

?? 3x ? 15 ∴f(x)= ? 2 ?2( x ? 7) ? 5

(4 ? x ? 6) (6 ? x ? 9)

.


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