江西省南昌二中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江西省南昌二中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)下列集合中,不同于另外三个集合的是() A.{3} 3=0} B.M={y∈R|(y﹣3) =0}C.
2

M={x=3} D. M={x|x﹣

2. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4},Q={3,4,5,6}, (?UP) ∩(?UQ)=() A.{4,7} B.{3,4,5} C.{7} D.{1,2,3,4,5} 3. (5 分)已知集合 A. B. ,B={y|y=3 ,x<0},则 A∩B=() C. D.
x

4. (5 分)幂函数 () A.1 或 3

在(0,+∞)为减函数,则 m 的值为

B. 1

C. 3

D.2

5. (5 分)已知 f(x)=loga(8﹣3ax)在[﹣1,2]上的减函数,则实数 a 的取值范围是() A.(0,1) B. C. D.(1,+∞)

6. (5 分)函数 y=

的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)已知函数 f(x)=ax +bx+4(a,b∈R) ,f(lg(log210) )=5,则 f[lg(lg2)]=() A.﹣3 B . ﹣1 C. 3 D.4 8. (5 分)设二次函数 f(x)=ax +bx+c (a≠0 ) ,若 f(x1)=f(x2) (x1≠x2) ,则 f(x1+x2) 等于() A. B. C. c D.
2

3

9. (5 分)不等式 16 ﹣logax<0 在 A. B.

x

恒成立,则实数 a 的取值范围() C. D.

10. (5 分)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有 xf(x+1)=(1+x)f(x) ,则 f[f( )]的值是() A.0 B. C. 1 D.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 2 11. (5 分)已知集合 A={﹣1,0,1},B={x|x=t ,t∈A},那么用列举法表示集合 B=. 12. (5 分)已知 a=log32,b=log30.5,c=1.1 ,d=2 ,那么 a、b、c、d 的大小关系为(用“<” 号表示) .
0.5
﹣1

13. (5 分)已知函数 零点,则实数 m 的取值范围是.

,若函数 g(x)=f(x)﹣m 有 3 个

14. (5 分)已知一个公司原有职工 8 人,年薪 1 万元,現公司效益逐年改善,从今年开始每 年工资比上年增长 20%,且每年新招工人 5 名,第一年工资 0.8 万元,第二年与老职工发一样 的工资.则第 n 年该公司发给职工的总工资为.

15. (5 分)已知 a>0,a≠1,函数

若函数 f(x)在[0,2]上的最

大值比最小值大 ,则 a 的值为.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)设 A={﹣4,2a﹣1,a },B={a﹣1,1﹣a,9},已知 A∩B={9},求 a 的值.
2

17. (12 分) 已知: a= ÷(log224+lg ﹣log3

﹣ (9.6)﹣

0

+ (1.5) , b= (log43+log83) (log32+log92)

﹣2

+lg2﹣log23) ,求 a+3b 的值.
3 2 2

18. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣3a x ﹣2ax,x∈[0,1],且 a≥1. (Ⅰ)判断函数 f(x)的单调性并予以证明; (Ⅱ)若函数 f(x)的值域为 A,且[﹣4,﹣3]?A,求实数 a 的取值范围. 19. (12 分)已知函数 f(x)=loga(x+1) ,函数 y=g(x)的图象与函数 f(x)的图象关于原 点对称. (Ⅰ)求函数 g(x)的解析式; (Ⅱ)若 a>1,x∈[0,1)时,总有 F(x)=f(x)+g(x)≥m 成立,求实数 m 的取值范围. 20. (13 分)设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>b>c) ,已知 f(1)=0,且存在实数 m,使 f (m)=﹣a. (1)试推断 f(x)在区间[0,+∞)上是否为单调函数,并说明你的理由; (2)设 g(x)=f(x)+bx,对于 x1,x2∈R,且 x1≠x2,若 g(x1)=g(x2)=0,求|x1﹣x2|的 取值范围; (3)求证:f(m+3)>0. 21. (14 分)若定义在 R 上的函数 f(x)满足: ①对任意 x,y∈R,都有:f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1; ②当 x<0 时,f(x)>1. (Ⅰ)试判断函数 f(x)﹣1 的奇偶性; (Ⅱ)试判断函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)若不等式 f(a ﹣2a﹣7)+ >0 的解集为{a|﹣2<a<4},求 f(5)的值.
2 2

2014-2015 学年江西省南昌二中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)下列集合中,不同于另外三个集合的是() 2 A.{3} B.M={y∈R|(y﹣3) =0}C. 3=0}

M={x=3} D. M={x|x﹣

考点: 集合的表示法. 专题: 集合. 分析: 对于 A,B,D 的元素都是实数,而 C 的元素是方程 x=3,不是实数,即可得答案. 解答: 解:A、{3},列举法表示集合只有一个元素 3; 2 B、描述法表示集合{y∈R|(y﹣3) =0}={y|y=3},代表元素为 y,只有一个元素 3; C、{x=3}表示该集合含有一个元素,即方程“x=3”; D、{x|x﹣3=0}={x|x=3},表示集合有一个元素 3, 故选:C. 点评: 本题考查集合与元素的概念,列举法和描述法表示集合,以及集合元素的特征. 2. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4},Q={3,4,5,6}, (?UP) ∩(?UQ)=() A.{4,7} B.{3,4,5} C.{7} D.{1,2,3,4,5} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由全集 U,P 以及 Q,求出 P 与 Q 的补集,找出两补集的交集即可. 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4},Q={3,4,5,6}, ∴?UP={5,6,7},?UQ={1,2,7}, 则(?UP)∩(?UQ)={7}, 故选:C. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 3. (5 分)已知集合 A. B. ,B={y|y=3 ,x<0},则 A∩B=() C. D.
x

考点: 交集及其运算. 专题: 函数的性质及应用;集合. 分析: 由对数函数、指数函数的性质求出集合 A、B,再由交集的运算求出 A∩B. 解答: 解:由 解得 x
x

得,



,所以集合 A=[ ,+∞) ,

因为 y=3 ,x<0,所以 0<y<1,则集合 B=(0,1) , 所以 A∩B=[ ,1) , 故选:D. 点评: 本题考查交集及其运算,以及对数函数、指数函数的性质,属于基础题.

4. (5 分)幂函数 () A.1 或 3

在(0,+∞)为减函数,则 m 的值为

B. 1

C. 3

D.2

考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数的定义和单调性求 m 即可. 解答: 解:∵
2

为幂函数

∴m ﹣4m+4=1, 解得 m=3 或 m=1. 由当 x∈(0,+∞)时为减函数, 2 则 m ﹣6m+8<0, 解得 2<m<4. ∴m=3, 故选:C. 点评: 本题主要考查幂函数的定义和性质,利用幂函数的定义先求出 m 是解决本题的关 键.比较基础. 5. (5 分)已知 f(x)=loga(8﹣3ax)在[﹣1,2]上的减函数,则实数 a 的取值范围是() A.(0,1) B. C. D.(1,+∞)

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先将函数 f(x)=loga(8﹣3ax)转化为 y=logat,t=8﹣3ax,两个基本函数,再利用 复合函数的单调性求解. 解答: 解:令 y=logat,t=8﹣3ax, (1)若 0<a<1,则函 y=logat,是减函数, 由题设知 t=8﹣3ax 为增函数,需 a<0,故此时无解; (2)若 a>1,则函数 y=logat 是增函数,则 t 为减函数, 需 a>0 且 8﹣3a×2>0,可解得 1<a< 综上可得实数 a 的取值范围是(1, ) . 故选:B 点评: 本题考查复合函数的单调性,关键是分解为两个基本函数,利用同增异减的结论研 究其单调性,再求参数的范围.

6. (5 分)函数 y=

的图象大致是()

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的定义域排除 C,再利用 x=﹣1,排除 A,再根据 x 趋向于正穷时,函数的 值趋向于 0,故排除 D,问题得以解决. 解答: 解:因为函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,故排除 C. 当 x=﹣1 时,y=﹣2,故排除 A, 当 x 趋向于正穷时,函数的值趋向于 0,故排除 D, 故选:B 点评: 本题主要考查了指数函数和幂函数的图象和性质,选特殊的值时关键,属于基础题. 7. (5 分)已知函数 f(x)=ax +bx+4(a,b∈R) ,f(lg(log210) )=5,则 f[lg(lg2)]=() A.﹣3 B . ﹣1 C. 3 D.4 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 f(x)=g(x)+4,g(x)=ax +bsinx 是一个奇函数,g(lg(log210) )+g(lg(lg2) ) =0,由此得到 f(lg(lg2) )=8﹣5=3. 3 解答: 解:∵函数 f(x)=ax +bx+4(a,b∈R) , lg(log210)+lg(lg2)=lg1=0, ∴lg(log210)与 lg(lg2)互为相反数, 令 f(x)=g(x)+4, 3 即 g(x)=ax +bsinx 是一个奇函数, 故 g(lg(log210) )+g(lg(lg2) )=0, ∴f(lg(log210) )+f(lg(lg2) ) =g(lg(log210) )+4+g(lg(lg2) )+4=8, 又 f(lg(log210) )=5, 所以 f(lg(lg2) )=8﹣5=3. 故选:C. 点评: 本题考查函数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.
3 3

8. (5 分)设二次函数 f(x)=ax +bx+c (a≠0 ) ,若 f(x1)=f(x2) (x1≠x2) ,则 f(x1+x2) 等于() A. B. C. c D.

2

考点: 二次函数的性质. 分析: 由已知 f(x1)=f(x2) (x1≠x2) , (a≠0 ) ,可得 式即可求出答案. 解答: 解:∵f(x1)=f(x2) (x1≠x2) ,不妨设 x1<x2, (a≠0)根据二次函数的对称性可知: ,即 ∴f(x1+x2)= =c. . ,代入二次函数的表达

故选 C. 点评: 理解二次函数的对称性是解题的关键.
x

9. (5 分)不等式 16 ﹣logax<0 在 A. B.

恒成立,则实数 a 的取值范围() C. D.

考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 先将不等式化成 16 <logax 的形式,然后借助于函数的图象来解决问题.即在(0, )上,y=16 在 y=logax 的下方即可. 解答: 解:由题意,不等式可化为 16 <logax. x 做出函数 y=16 和 y=logax 的图象如下: 当 a>1 时:显然不满足题意.
x x

当 0<a<1 时,只需直线 x= 与两函数图象的交点 A,B 满足: A 在 B 的上方或重合即可. 故 ,解得 .

故选 C 点评: 本题考查了图象法研究不等式的恒成立问题,此类问题要注意作图的规范性,以及 对解决问题时图象上关键点的应用. 10. (5 分)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有 xf(x+1)=(1+x)f(x) ,则 f[f( )]的值是() A.0 B. C. 1 D.

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 从 xf(x+1)=(1+x)f(x)结构来看,要用递推的方法,先用赋值法求得 f( =0,再由 f( )=f( +1)依此求解. f(x) ,取 x=﹣ , )

解答: 解:若 x≠0,xf(x+1)=(1+x)f(x) ,则有 f(x+1)=

则有:f( )=f(﹣ +1)=

f(﹣ )=﹣f(﹣ )=﹣f( )

∵f(x)是偶函数,则 f(﹣ )=f( ) 由此得 f( )=0.

于是,f( )=f( +1)=

f( )= f( )= f( +1)= [

]f( )=5f( )=0

故选:A. 点评: 本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值,这类问题关键是将条件和 结论有机地结合起来,作适当变形,把握递推的规律. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 2 11. (5 分)已知集合 A={﹣1,0,1},B={x|x=t ,t∈A},那么用列举法表示集合 B={0,1}. 考点: 集合的表示法. 专题: 集合. 2 2 分析: 根据集合 A={﹣2,3,4},B={x|x=t ,t∈A},将 A 中元素一一代入 x=t ,可得集合 B. 2 解答: 解:∵集合 A={﹣1,0,1},B={x|x=t ,t∈A}, ∴B={0,1}, 故答案为:{0,1} 点评: 本题主要考查集合的表示方法,要求熟练掌握描述法和列举法表示集合,比较基础. 12. (5 分)已知 a=log32,b=log30.5,c=1.1 ,d=2 ,那么 a、b、c、d 的大小关系为 b<d <a<c(用“<”号表示) . 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数、对数函数的性质和运算法则求解. 解答: 解:∵0.5=log3 <a=log32<log33=1, b=log30.5<log31=0, 0.5 0 c=1.1 >1.1 =1, ﹣1 d=2 =0.5, ∴b<d<a<c. 故答案为:b<d<a<c. 点评: 本题考查四个数大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数、对数 函数的性质和运算法则的合理运用.
0.5
﹣1

13. (5 分)已知函数 零点,则实数 m 的取值范围是(0,1) . 考点: 专题: 分析: 解答:

,若函数 g(x)=f(x)﹣m 有 3 个

函数的零点与方程根的关系;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 数形结合. 将方程的零点问题转化成函数的交点问题,作出函数的图象得到 m 的范围. 解:令 g(x)=f(x)﹣m=0,

得 m=f(x) 作出 y=f(x)与 y=m 的图象, 要使函数 g(x)=f(x)﹣m 有 3 个零点, 则 y=f(x)与 y=m 的图象有 3 个不同的交点, 所以 0<m<1, 故答案为: (0,1) .

点评: 本题考查等价转化的能力、利用数学结合解题的数学思想方法是重点,要重视. 14. (5 分)已知一个公司原有职工 8 人,年薪 1 万元,現公司效益逐年改善,从今年开始每 年工资比上年增长 20%,且每年新招工人 5 名,第一年工资 0.8 万元,第二年与老职工发一样 n 的工资.则第 n 年该公司发给职工的总工资为(5n+3)?1.2 +4. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: 由题意写出 n=1,2,3,…时,该公司发给职工的总工资,从而写出第 n 年该公司发 给职工的总工资. 解答: 解:由题意得, n=1 时,该公司发给职工的总工资为:8?(1+20%)+5×0.8; n=2 时,该公司发给职工的总工资为: (8+5)?(1+20%) +5×0.8; 3 n=3 时,该公司发给职工的总工资为: (8+10)?(1+20%) +4; … n 时,该公司发给职工的总工资为: (8+5(n﹣1) )?(1+20%) +4; n n 故第 n 年该公司发给职工的总工资为(8+5(n﹣1) )?(1+20%) +4=(5n+3)?1.2 +4; n 故答案为: (5n+3)?1.2 +4. 点评: 本题考查了函数在实际问题中的应用,属于中档题.
n 2

15. (5 分)已知 a>0,a≠1,函数

若函数 f(x)在[0,2]上的最

大值比最小值大 ,则 a 的值为 或 .

考点: 函数最值的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

分析: 分 0<a<1 和 a>1 时两种情况加以讨论, 根据指数函数的单调性和一次函数单调性, 并结合分段函数在区间端点处函数值的大小比较,求出函数在[0,2]上的最大值和最小值,由 此根据题意建立关于 a 的方程,解之即得满足条件的实数 a 的值. 解答: 解:①当 0<a<1 时,可得 x 在[0,1]上,f(x)=a 是减函数;且在(1,2]上,f(x)=﹣x+a 是减函数 0 ∵f(0)=a =1>﹣1+a,∴函数的最大值为 f(0)=1; 而 f(2)=﹣2+a<﹣1+a=f(1) ,所以函数的最小值为 f(2)=﹣2+a 因此,﹣2+a+ =1,解之得 a= ∈(0,1)符合题意; ②当 a>1 时,可得 x 在[0,1]上,f(x)=a 是增函数;且在(1,2]上,f(x)=﹣x+a 是减函数 ∵f(1)=a>﹣1+a,∴函数的最大值为 f(1)=a 而 f(2)=﹣2+a,f(0)=a =1,可得 i)当 a∈(1,3]时,﹣2+a<1,得 f(2)=﹣2+a 为函数的最小值, 因此,﹣2+a+ =a 矛盾,找不出 a 的值. ii)当 a∈(3,+∞)时,﹣2+a>1,得 f(0)=1 为函数的最小值, 因此,1+ =a,解之得 a= ∈(3,+∞) ,符合题意. 综上所述,实数 a 的值为 或 故答案为: 或 点评: 本题给出含有字母 a 的分段函数,在已知函数的最大最小值之差的情况下求参数 a 的值,着重考查了指数函数、一次函数的单调性和分段函数的理解等知识,考查了转化化归和 分类讨论的数学思想,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 2 16. (12 分)设 A={﹣4,2a﹣1,a },B={a﹣1,1﹣a,9},已知 A∩B={9},求 a 的值. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据 A 与 B 的交集中元素为 9,得到 9 属于 A 且属于 B,即可确定出 a 的值. 2 解答: 解:∵A={﹣4,2a﹣1,a },B={a﹣1,1﹣a,9},且 A∩B={9}, ∴9∈A 且 9∈B, 可得 2a﹣1=9 或 a =9,解得:a=5 或 a=±3, 当 a=5 时,A={﹣4,9,25},B={4,﹣4,9},则有 A∩B={﹣4,9},不合题意,故 a=5 舍去; 当 a=3 时,A={﹣4,5,9},B={2,﹣2,9},此时 A∩B={9},符合题意; 当 a=﹣3 时,A={﹣4,﹣7,9},B={﹣8,4,9},此时 A∩B={9},符合题意, 则 a=3 或﹣3. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2 0

17. (12 分) 已知: a= ÷(log224+lg ﹣log3

﹣ (9.6)﹣

0

+ (1.5) , b= (log43+log83) (log32+log92)

﹣2

+lg2﹣log23) ,求 a+3b 的值.

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数、对数的性质和换底公式求解. 解答: 解:∵a= = = , b=(log43+log83) (log32+log92)÷(log224+lg ﹣log3 =(log6427+log649) (log94+log92)÷(log28+lg1﹣ ) = = = . 点评: 本题考查代数和的求法,是基础题,解题时要注意指数、对数的性质和换底公式的 合理运用. 18. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣3a x ﹣2ax,x∈[0,1],且 a≥1. (Ⅰ)判断函数 f(x)的单调性并予以证明; (Ⅱ)若函数 f(x)的值域为 A,且[﹣4,﹣3]?A,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)直接根据函数单调性的定义进行求证即可; (Ⅱ)结合函数的单调性和集合的包含关系进行求解. 解答: 解: (Ⅰ)设 x1,x2∈[0,1],x1<x2, ∴f(x1)﹣f(x2) 3 2 2 3 2 2 =x1 ﹣3a x1 ﹣2ax1﹣(x2 ﹣3a x2 ﹣2ax2) =(x1﹣x2) ( ∴f(x)单调递减. (Ⅱ)由函数 f(x)的值域为: )>0,
3 2 2

﹣(9.6) ﹣

0

+(1.5)

﹣2

+lg2﹣log23)

÷

1﹣3a ﹣2a=f(1)≤f(x)≤f(0)=﹣2a, 2 结合条件,可以得到 1﹣3a ﹣2a≤﹣4≤﹣3≤﹣2a, ∴1≤a ,

2

∴实数 a 的取值范围[1, ]. 点评: 本题重点考查了函数的单调性的定义、性质、函数的值域求解等知识,属于中档题. 19. (12 分)已知函数 f(x)=loga(x+1) ,函数 y=g(x)的图象与函数 f(x)的图象关于原 点对称. (Ⅰ)求函数 g(x)的解析式; (Ⅱ)若 a>1,x∈[0,1)时,总有 F(x)=f(x)+g(x)≥m 成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数的最值及其几何意义;函数的图象与图象变化. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)设 P(x,y)是函数 y=g(x)图象上的任意一点,则 P 关于原点的对称点 Q 在 函数 f(x)的图象上,把 Q 的坐标代入 f(x)得表达式可得答案; (2)化简 F(x)=f(x)+g(x)的表达式,求当 x∈[0,1)时 f(x)+g(x)的最小值,故 m 小于此最小值即可. 解答: 解: (1)设 P(x,y)是函数 y=g(x)图象上的任意一点,则 P 关于原点的对称点 Q 的坐标为(﹣x,﹣y) . ∵已知点 Q 在函数 f(x)的图象上,∴﹣y=f(﹣x) ,而 f(x)=loga(x+1) ,∴﹣y=loga(﹣ x+1) , ∴y=﹣loga(﹣x+1) ,而 P(x,y)是函数 y=g(x)图象上的点, ∴ (2)当 x∈[0,1)时, 下面求当 x∈[0,1)时 f(x)+g(x)的最小值. 令 ,则 . ,解得 t≥1,∴ . . .

∵x∈[0,1) ,即 又 a>1,∴

,∴f(x)+g(x)≥0,∴x∈[0,1)时,f(x)+g(x)

的最小值为 0. ∵当 x∈[0,1)时,总有 f(x)+g(x)≥m 成立,∴m≤0, 即所求 m 的取值范围为(﹣∞,0]. 点评: 本题主要考查利用对称性求函数的解析式,同时考查不等式恒成立的问题,解题的 关键是把恒成立的问题转化为求最值. 20. (13 分)设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>b>c) ,已知 f(1)=0,且存在实数 m,使 f (m)=﹣a. (1)试推断 f(x)在区间[0,+∞)上是否为单调函数,并说明你的理由;
2

(2)设 g(x)=f(x)+bx,对于 x1,x2∈R,且 x1≠x2,若 g(x1)=g(x2)=0,求|x1﹣x2|的 取值范围; (3)求证:f(m+3)>0. 考点: 函数单调性的判断与证明;一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题. 分析: (1)根据存在实数 m,使 f(m)=﹣a,得到一元二次方程 ax +bx+c+a=0 有实根, 2 用根的根据式列出△ =b ﹣4a(a+c)≥0,再用 f(1)=a+b+c=0,得到 a>0>c 且 b=(﹣a﹣c) , 代入以上所得的不等式,化简得到 b≥0.最后得到二次函数图象开口向上且对称轴在 y 轴的左 边,从而得出 f(x)在区间[0,+∞)上是增函数; 2 (2)根据题意得:x1,x2 是方程 g(x)=0 即 ax +2bx+c=0 的两根.利用根与系数的关系,将 |x1﹣x2| 转化为关于 a、c 的代数式,再讨论以 为单位的二次函数,其定义域为[﹣2,﹣1], 求得|x1﹣x2| 的最大最小值,从而得到|x1﹣x2|的取值范围; (3)利用二次函数的零点式,设 得 ,从而得到﹣2 ,再用 f(m)=﹣a 代入, ,所以 m+3>1,再结合 f(x)
2 2 2

在区间[0,+∞)上是增函数,得到 f(m+3)>f(1)=0. 解答: 解: (1)∵存在实数 m,使 f(m)=﹣a. ∴方程 ax +bx+c+a=0 有实根?△ =b ﹣4a(a+c)≥0…(*) , ∴a+b+c=0,结合 a>b>c 得 a>0,c<0 再将 a+c=﹣b 代入不等式(*) ,得 b ﹣4a?(﹣b)=b(b+4a)≥0, ∵b+4a=﹣(a+c)+4a=3a﹣c>0 ∴ 可得二次函数 f(x)=ax +bx+c 图象开口向上,且关于直线 x= ∵ ,f(x)在[ ,+∞)上是增函数.
2 2 2 2

对称

∴f(x)在区间[0,+∞)上是增函数…(3 分) 2 (2)根据题意,得 x1,x2 是方程 g(x)=0 即 ax +2bx+c=0 的两实根.

根据根与系数的关系得:

= ∵a>b=﹣(a+c) .

∴ ∴ ∴ (3)∵ ∵f(m)=﹣a, ∴ ∴ ∵f(x)在区间[0,+∞)上是增函数 ? . …. (8 分)







∴ .…(14 分) 点评: 本题考查了函数的单调性、二次函数的值域、一元二次方程与一元二次不等式之间 的关系和二次函数零点的分布和根与系数的关系等知识点,是一道难题. 21. (14 分)若定义在 R 上的函数 f(x)满足: ①对任意 x,y∈R,都有:f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1; ②当 x<0 时,f(x)>1. (Ⅰ)试判断函数 f(x)﹣1 的奇偶性; (Ⅱ)试判断函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)若不等式 f(a ﹣2a﹣7)+ >0 的解集为{a|﹣2<a<4},求 f(5)的值.
2

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)令 y=﹣x,f(0)=f(x)+f(﹣x)﹣1x=y=0 得 f(0)=1,再由函数奇偶性的 定义验证 f(﹣x)﹣1 与﹣[f(x)﹣1]的关系,即可; (Ⅱ)任取 x1,x2∈(﹣∞,+∞)且 x1<x2,求 f(x2)﹣f(x1)的差的符号,有定义法判断 出单调性; (Ⅲ)由题设,将 ,再由单调性得出不等式,求出参数,

再求函数值. 解答: 解: (Ⅰ)令 y=﹣x,f(0)=f(x)+f(﹣x)﹣1x=y=0 得 f(0)=1 即 f(﹣x)﹣1=﹣[f(x)﹣1], ∴f(x)﹣1 是奇函数.…(4 分) (Ⅱ)任取 x1,x2∈(﹣∞,+∞)且 x1<x2,则 f(x2)﹣f(x1)=f[(x2﹣x1)+x1]﹣f(x1) =f(x2﹣x1)+f(x1)﹣1﹣f(x1)=f(x2﹣x1)﹣1 又 x1﹣x2<0.则 f(x1﹣x2)>1, ∴f(x1﹣x2)﹣1>0, ∴f(x2)﹣f(x1)<0 即:f(x2)<f(x1) .

∴f(x)在(﹣∞,∞)上单调递减.…(9 分) (Ⅲ) ∴m=1.即: ∴f(2)=﹣2f(4)=﹣5 . …(14 分) 由(Ⅱ)知:a ﹣2a﹣7<m 的解集为(﹣2,4) ,
2

点评: 本题考查抽象函数及应用,此类题根据题设与所要解决的问题,对变量进行赋值, 是常用的思路.


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