江苏省南洋高级中学2015届高三数学第一次诊断性考试试题 2

南洋高中 2015 届高三第一次诊断性考试 数 学 试 卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 1. 已知 A={1,2,3,4,5},B={2,4,6,8},则 A∩B=________. 2. 3. 4. π 设命题 p:α = ,命题 q:sinα =cosα ,则 p 是 q 的___________条件. 4 已知 i 为虚数单位,则复数 1+2i 的模等于________. i-2

π π 函数 y=2sin(x+ )+cos( -x)的最大值为_________. 2 2

5.

x- 1 ?2 3 设函数 f (x)=? 1 ?x

(x≥0) ,若 f (a)=a,则实数 a 的值是__________. (x<0) Read S←1 For i from 1 to 5 step 2 S←S+i End For Print S End

6. 7.

阅读下列程序,输出的结果是______. 有 4 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参

加其中一个小组,每位同学参加各个小组 的可能性相同,则这两位同学参加同一个 兴趣小组的概率为_______. 8.

a 3 x 设 a∈R,函数 f (x)=e + x是偶函数,若曲线 y=f (x)的一条切线的斜率是 ,则切 e 2
1 2 已知 a=(m,n-1),b=(1,1)(m、n 为正数),若 a⊥b,则 + 的最小值是________.

点的横坐标为________. 9.

m n

10. 设△ABC 的三边长分别为 a、 b、 c, △ABC 的面积为 S, 内切圆半径为 r , 则 r=

2S ; a+b+c

类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为

R,四面体 P-ABC 的体积为 V,则 R=__________.
11. 设 i、j 分别表示平面直角坐标系 x、y 轴上的单位向量,且|a-i|+|a-2j|= 5, 则|a+2i|的取值范围是___________. 12. 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足:a1+b1=3,a2+b2=7,a3+b3=15,a4+b4= 35,则 a5+b5=__________. 1 2 13. 已知函数 f (x)=ax +bx+ 与直线 y=x 相切于点 A(1,1),若对任意 x∈[1,9],不等 4 式 f (x-t)≤x 恒成立,则所有满足条件的实数 t 组成的集合 为__________. .. 14. 点 M 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的点,以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F, 圆 M 与 y 轴相交于 P,Q,若△PQM 是锐角三角形,则椭圆离心率的取值范围是__________. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. π 15. 【本题 14 分】 已知向量 a=(sinθ ,1), b=(cosθ , 3), 且 a∥b, 其中 θ ∈(0, ). 2 (1)求 θ 的值;
1

x2 y2 a b

3 π (2)若 sin(x-θ )= ,0<x< ,求 cosx 的值. 5 2

16. 【本题 14 分】如图,空间几何体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形,直角梯形 ADFE 所 在平面与面 ABCD 垂直,且 AE?AD,EF//AD,其中 P,Q 分别为棱 BE,DF 的中点. (1)求证:BD?CE; (2)求证:PQ∥平面 ABCD. E F Q P A C D

B

2

17. 【本题 14 分】某商店经销一种纪念品,每件产品的成本为 30 元,并且每卖出一件产 品需向税务部门上交 a 元(a 为常数,2≤a≤5)的税收.设每件产品的售价为 x 元 (35≤x≤41) ,根据市场调查,日销售量与 e (e 为自然对数的底数)成反比例.已 知当每件产品的售价为 40 元时,日销售量为 10 件. (1)求该商店的日利润 L(x)元与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的日售价为多少元时,该商店的日利润 L(x)最大,并求出 L(x)的最 大值.
x

x2 y2 4 18. 【本题 16 分】若椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e 为 ,且椭圆 C 的一个焦点与 a b 5
抛物线 y =-12x 的焦点重合. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 M(2,0),点 Q 是椭圆上一点,当|MQ|最小时,试求点 Q 的坐标; (3)设 P(m,0)为椭圆 C 长轴(含端点)上的一个动点,过 P 点斜率为 k 的直线 l 交 椭圆与 A,B 两点,若|PA| +|PB| 的值仅依赖于 k 而与 m 无关,求 k 的值.
2 2 2

y

O

x

3

19. 【本题 16 分】已知函数 f ( x) ? x2 ? ax(a ? 0) , g ( x) ? ln x , f ( x ) 图象与 x 轴异于 原点的交点 M 处的切线为 l1 , g ( x ? 1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l2 , 并且 l1 与 l2 平 行. (1)求 f (2) 的值; (2)已知实数 t∈R,求函数 y ? f [ xg ( x)+t ], x ??1, e? 的最小值; (3)令 F (x) ? g (x) ?g '( x) ,给定 x 1 , x2 ? (1, ??), x 1 ? x2 ,对于两个大于 1 的正数

? , ? ,存在实数 m 满足: ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,并且使得不
等式 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒成立,求实数 m 的取值范围.

20. 【本题 16 分】有 n 个首项都是 1 的等差数列,设第 m 个数列的第 k 项为 a(m,k)(其中

m,k=1,2,3,···,n,n≥3) ,公差为 dm,并且 a(1,n), a(2,n), a(3,n), ···, a(n,n)成等
差数列. (1)证明:dm=p1d1+p2d2(3≤m≤n,p1, p2 是 m 的多项式) ,并求 p1+p2 的值; (2)当 d1=1,d2=3 时,将数列{dm}分组如下:(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),… (每组数的个数构成等差数列) . 设前 m 组中所有数之和为(cm) (cm>0) , 求数列{2 m·dm} 的前 n 项和 Sn; (3)设 N 是不超过 20 的正整数,当 n>N 时,对于(1)中的 Sn,求使得不等式 -6)>dn 成立的所有 N 的值. 1 (Sn 50
4

c

4

………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………

高三第一次考试数学答题纸 一、 填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 ) 1._____________ 2.____________ 5._____________ 6.____________ 9._____________ 10.___________ 13.____________ 14.___________ 二、 解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分) 15. 3.____________ 7.____________ 11.___________ 4.____________ 8.____________ 12.___________

学号________

姓名_____________

16.

E

F Q

P

A C

D

B

高三___________

5

17.

18.

y

O

x

6

高三___________ 19.

学号________

姓名_____________

………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………

7

20.

高三数学(理科)加试题

8

参考公式: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

n(n ? 1)(2n ? 1) . 6

21. B. 选修 4 - 2:矩阵与变换 ? 3 4 ? 求矩阵 A=? ?的逆矩阵. ? 1 2 ?

C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程

1 ? x? t? ? ? t 已知曲线 C 的参数方程为 ? , ( t 为参数, t ? 0 ).求曲线 C 的普通方程。 ? y ? 3(t ? 1) ? 2 ? t ?
22.(本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2) ,其焦点 F 在 x 轴 上。 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M (m, 0)(m ? 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点,ME=2DM,记 D 和 E 两点 间的距离为 f ( m) ,求 f ( m) 关于 m 的表达式。 23. (本题满分 10 分) 对于正整数 n ≥2,用 Tn 表示关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实数根的有序
2

数 组 ( a ,b ) 的 组数 ,其 中 a, b ??1,2,?, n? ( a 和 b 可 以相 等 ) ; 对于 随机 选取 的
2 ,记 Pn 为关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 a, b ??1,2,?, n? ( a 和 b 可以相等)

有实数根的概率。 (1)求 Tn2 和 Pn2 ; (2)求证:对任意正整数 n ≥2,有 Pn ? 1 ?

1 . n

9

………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………

高三数学附加题答题纸 参考公式: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

n(n ? 1)(2n ? 1) . 6

B. 选修 4 - 2:矩阵与变换

学号________

姓名_____________

C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程

高三___________

10

22.

23.

11

高三数学答案 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 21. 已知 A={1,2,3,4,5},B={2,4,6,8},则 A∩B=________. {2,4} π 22. 设命题 p:α = ,命题 q:sinα =cosα ,则 p 是 q 的__________条件. 充分不必 4 要 1+2i 23. 已知 i 为虚数单位,则复数 的模等于________. 1 i-2 π π 24. 函数 y=2sin(x+ )+cos( -x)的最大值为_________. 5 2 2 2 x-1 (x≥0) 3 25. 设函数 f (x)= ,若 f (a)=a,则实数 a 的值是__________. -1 1 (x<0) x Read S←1 26. 阅读下列程序,输出的结果是______. 10 For i from 1 to 5 step 2 27. 有 4 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组, S←S+i 每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加 End For 1 Print S 同一个兴趣小组的概率为_______. End 4 a 3 x 28. 设 a∈R,函数 f (x)=e + x是偶函数,若曲线 y=f (x)的一条切线的斜率是 ,则切 e 2 点的横坐标为________. ln2 1 2 29. 已知 a=(m,n-1),b=(1,1)(m、n 为正数),若 a⊥b,则 + 的最小值是_____.3+

? ? ?

m n

2 2 30. 设△ABC 的三边长分别为 a、 b、 c, △ABC 的面积为 S, 内切圆半径为 r , 则 r= 2S ; a+b+c

类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的 3V 半径为 R,四面体 P-ABC 的体积为 V,则 R=__________. S1+S2+S3+S4 31. 设 i、j 分别表示平面直角坐标系 x、y 轴上的单位向量,且|a-i|+|a-2j|= 5, 6 5 则|a+2i|的取值范围是___________. [ ,3] 5 32. 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足:a1+b1=3,a2+b2=7,a3+b3=15,a4+b4= 35,则 a5+b5=__________. 91 1 2 33. 已知函数 f (x)=ax +bx+ 与直线 y=x 相切于点 A(1,1),若对任意 x∈[1,9],不等 4 式 f (x-t)≤x 恒成立,则所有满足条件的实数 t 组成的集合 为__________.{4} .. 34. 点 M 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的点,以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F, 圆 M 与 y 轴相交于 P,Q ,若△PQM 是锐角三角形,则椭圆离心率的取值范围是 6- 2 5-1 __________.( , ) 2 2 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤.

x2 y2 a b

12

35. 【本题 14 分】 已知向量 a=(sinθ ,1), b=(cosθ , 3), 且 a∥b, 其中 θ ∈(0, (1)求 θ 的值; 3 π (2)若 sin(ω -θ )= ,0<ω < ,求 cosω 的值. 5 2

π ). 2

解: (1)∵a=(sinθ ,1),b=(cosθ , 3),且 a∥b,∴ 3sinθ -cosθ =0 ······················3 分 3 π π ∴tanθ = ,∵θ ∈(0, ) ∴θ = 3 2 6 ······················6 分 π π π π π 3 π (2)∵0<ω < ∴- <ω - < ∵sin(ω - )= ,∴cos(ω - )= 2 6 6 3 6 5 6 4 ,·············10 分 5 π π π π π π ∴cosω =cos(ω - + )=cos(ω - )cos -sin(ω - )sin 6 6 6 6 6 6 3 4 1 3 4 3-3 × - × = . 2 5 2 5 10 ······················14 分 36. 【本题 14 分】如图,空间几何体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形,直角梯形 ADFE 所 在平面与面 ABCD 垂直,且 AE?AD,EF//AD,其中 P,Q 分别为棱 BE,DF 的中点. (1)求证:BD?CE; F E (2)求证:PQ∥平面 ABCD. = Q P A C D

B

13

37. 【本题 14 分】某商店经销一种纪念品,每件产品的成本为 30 元,并且每卖出一件产 品需向税务部门上交 a 元(a 为常数,2≤a≤5)的税收.设每件产品的售价为 x 元 x (35≤x≤41) ,根据市场调查,日销售量与 e (e 为自然对数的底数)成反比例.已 知当每件产品的售价为 40 元时,日销售量为 10 件. (1)求该商店的日利润 L(x)元与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的日售价为多少元时,该商店的日利润 L(x)最大,并求出 L(x)的最 大值. 40 k k 10e 40 解: (1)设日销售量为 x,则 40=10,∴k=10e . 则日销售量为 x 件.

e

e

e

售价为 x 元时,每件利润为(x-30-a)元, 则 日 利 润

L(x)



(x



30



a)

10e

40

e

x



10e ·

40

x-30-a ex

(35≤x≤41) ························5? 31+a-x 40 (2)L?(x)=10e · . x

e

························7? ①当 2≤a≤4 时,33≤31+a≤35,而 35≤x≤41, ∴L?(x)≤0,L(x)在[35,41]上是单调递减函数. 5 则当 x=35 时,L(x)取得最大值为 10(5-a)e . ························9? ②当 4<a≤5 时,35<31+a≤36,令 L?(x)=0,得 x=a+31. 当 x∈[35,a+31)时,L?(x)>0,L(x)在[35,a+31)上是单调递增函数; 当 x∈(a+31,41]时,L?(x)<0,L(x)在(a+31,41]上是单调递减函数. 9? a ∴当 x=a+31 时,L(x)取得最大值为 10e . ························13? 5 综上,当 2≤a≤4 时,L(x)max=10(5-a)e . 9? a 当 4<a≤5 时,L(x)max=10e . ··················14? x2 y2 4 38. 【本题 16 分】若椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e 为 ,且椭圆 C 的一个焦点与 a b 5 2 抛物线 y =-12x 的焦点重合. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 M(2,0),点 Q 是椭圆上一点,当|MQ|最小时,试求点 Q 的坐标; (3)设 P(m,0)为椭圆 C 长轴(含端点)上的一个动点,过 P 点斜率为 k 的直线 l 交 2 2 椭圆与 A,B 两点,若|PA| +|PB| 的值仅依赖于 k 而与 m 无关,求 k 的值. y 解: (1)∵·················∴椭圆 C 的方程为: + =1 25 16 ························4? (2)设 Q(x,y),-5≤x≤5 16 2 9 2 2 2 2 2 ∴|MQ| =(x-2) +y =x -4x+4+16- x = x -4x+20 25 25 50 2 ∵对称轴 x= >5∴当 x=5 时,|MQ| 达到最小值, 9 ∴当|MQ|最小时,Q 的坐标为(5,0) ························8? (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(m,0)(-5≤m≤5),直线 l:y=k(x-m)

x2

y2

O

x

14

k(x-m) ? ?y= 2 y2 由 ?x 得 + ?25 16=1 ?

x1 + x2 =

50mk 25m k -400 , x1x2 = - , 2 2 25k +16 25k +16

2

2 2

························10? 32mk ∴y1+y2=k(x1-m)+k(x2-m)=k(x1+x2)-2km=- 2 25k +16 y1y2 = k2(x1 - m)(x2 - m) = k2x1x2 - k2m(x1 + x2) 2 2 (16m -400)k ························12? 2 25k +16 ∴|PA| +|PB| =(x1-m) +y1+(x2-m) +y2 2 2 2 =(x1+x2) -2x1x2-2a(x1+x2)+(y1+y2) -2y1y2-2y1y2+2a 2 2 2 (512-800k )m +800(16+25k ) 2 =(k +1)· 2 2 (25k +16) 2 2 ∵|PA| +|PB| 的值仅依赖于 k 而与 m 无关 4 2 ∴512-800k =0∴k=± . 5 ························16?
2 2 2 2 2 2



k2m2 =

39. 【本题 16 分】已知函数 f ( x) ? x2 ? ax(a ? 0) , g ( x) ? ln x , f ( x ) 图象与 x 轴异于 原点的交点 M 处的切线为 l1 , g ( x ? 1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l2 , 并且 l1 与 l2 平 行. (1)求 f (2) 的值; (2)已知实数 t∈R,求函数 y ? f [ xg ( x)+t ], x ??1, e? 的最小值; (3)令 F (x) ? g (x) ?g '( x) ,给定 x 1 , x2 ? (1, ??), x 1 ? x2 ,对于两个大于 1 的正数

? , ? ,存在实数 m 满足: ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,并且使得不 等式 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解: (1) y ? f ( x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M (a, 0) , f '( x) ? 2 x ? a
y ? g ( x ? 1) ? ln( x ? 1) 图象与 x 轴的交点 N (2, 0) , g '( x ? 1) ?
由题意可得 kl1 ? kl2 ,即 a ? 1 , ∴ f ( x) ? x ? x, , f (2) ? 2 ? 2 ? 2
2 2

1 x ?1

………………2 分 ………………4 分
2 2

(2) y ? f [ xg ( x)+t ] ? [ x ln x+t ] ? ( x ln x+t ) = ( x ln x) ? (2t ?1)( x ln x) ? t 2 ? t …………………5 分 令 u ? x ln x ,在 x ??1, e? 时, u ' ? ln x ? 1 ? 0 , ∴ u ? x ln x 在 ?1, e? 单调递增, 0 ? u ? e, …………6 分

y ? u 2 ? (2t ?1)u ? t 2 ? t 图象的对称轴 u ?
①当 u ?

1 1 ? 2t ? 0 即 t ? 时, ymin ? y |u ?0 ? t 2 ? t ………………7 分 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e 2 2 ? e 即t ? ②当 u ? 时, ymin ? y |u ?e ? e ? (2t ?1)e ? t ? t …8 分 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e 1 ? e即 ? t ? 时, ③当 0 ? 2 2 2 1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 1 ……………9 分 ymin ? y | 1?2t ? ( ) ? (2t ? 1) ?t ?t ? ? u? 2 2 4 2
15

1 ? 2t ,抛物线开口向上 2

1 1 1 x ?1 F '( x) ? ? 2 ? 2 ? 0 x, x x x …………………10 分 得x ? 1 ,所以 F ( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增 (3) F ( x) ? g ( x) ? g '( x) ? ln x ?
? F(1) ?0 ∴ 当x ? 1 时, F(x)
①当 m ? (0,1) 时,有 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 , 得 ? ? ( x1 , x2 ) ,同理 ? ? ( x1 , x2 ) , ……………………11 分 0 ? F ( x1 ) ? F (? ) 、 F (? ) ? F ( x2 ) ∴ 由 f ( x) 的单调性知 从而有 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,符合题设. …12 分 ②当 m ? 0 时, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 , 由 f ( x) 的单调性知 0 ? F (? ) ? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (? ) , ∴ | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符 ………14 分 ③当 m ? 1 时,同理可得 ? ? x1 , ? ? x2 , 得 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符. ……15 分
∴综合①、②、③得 m ? (0,1) …………16 分 说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分. 40. 【本题 16 分】有 n 个首项都是 1 的等差数列,设第 m 个数列的第 k 项为 a(m,k)(其中 m,k=1,2,3,···,n,n≥3) ,公差为 dm,并且 a(1,n), a(2,n), a(3,n), ···, a(n,n)成等 差数列. (1)证明:dm=p1d1+p2d2(3≤m≤n,p1, p2 是 m 的多项式) ,并求 p1+p2 的值; (2)当 d1=1,d2=3 时,将数列{dm}分组如下:(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),… 4 c (每组数的个数构成等差数列) . 设前 m 组中所有数之和为(cm) (cm>0) , 求数列{2 m·dm} 的前 n 项和 Sn; 1 (3)设 N 是不超过 20 的正整数,当 n>N 时,对于(1)中的 Sn,求使得不等式 (Sn 50 -6)>dn 成立的所有 N 的值. 解: (1)由题意知 a(m,n)=1+(n-1)dm. a(1,1), a(1,2), a(1,3), · · · , a(1,n) ∴a(2,n)-a(1,n)=[1+(n-1)d2]-[1+(n-1)d1]=(n-1)(d2-d1), a , a , a , · · · , a(2,n) (2,1) (2,2) (2,3) 同理,a(3,n)-a(2,n)=(n-1)(d3-d2), a(3,1), a(3,2), a(3,3), · · · , a(3,n) a(4,n)-a(3,n)=(n-1)(d4-d3),…, a(n,n)-a(n-1,n)=(n-1)(dn-dn-1). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 又∵a(1,n), a(2,n), a(3,n), ···, a(n,n)成等差数列, · · · · · · ∴a(2,n)-a(1,n)=a(3,n)-a(2,n)=···=a(n,n)-a(n-1,n) a(m,1), a(m,2), a(m,3), · · · , 故 d2-d1=d3-d2=···=dn-dn-1,即{dn}是公差为 d2-d1 的等差数列. a(m,n) ∴dm=d1+(m-1) (d2-d1)=(2-m)d1+(m-1)d2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 令 p1=2-m,p2=m-1,则 dm=p1d1+p2d2(3≤m≤n,p1,p2 是 m 的多项式) · · · · · · · 此时 p1+p2=1. a(n,1), a(n,2), a(n,3), · · · , a(n,n) ························4? (2)当 d1=1,d2=3 时,dm=2m-1 数列{dm}分组如下:(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),… 按分组规律,第 m 组中有 2m-1 个奇数, 2 ∴第 1 组到第 m 组共有 1+3+5+···+(2m-1)=m 个奇数. 2 2 4 ∵前 k 个奇数的和为 1+3+5+···+(2k-1)=k ,∴前 m 个奇数的和为 m . 4 4 cm m ∴(cm) =m ,∵cm>0∴cm=m,∴2 ·dm=(2m-1)·2 ························6?
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∴Sn=1·2+3·2 +5·2 +···+(2n-3)·2 +(2n-1)·2 . 2 3 n? 1 n n+1 2Sn= 1·2 +3·2 +···+(2n-5)·2 +(2n-3)·2 +(2n-1)·2 . 2 3 n? 1 n n+1 相减得:-Sn=2+2·2 +2·2 +···+2·2 +2·2 -(2n-1)·2 . 2 3 n n+1 =2×(2+2 +2 +···+2 )-2-(2n-1)·2 . n n+1 n+1 =2×2(2 -1)-2-(2n-1)·2 =(3-2n)·2 -6 n+1 ∴Sn=(2n-3)·2 +6; ························10? n+1 (3)由(2)得 dn=2n-1,Sn=(2n-3)·2 +6. 1 n+1 故不等式 (Sn-6)>dn 等价于(2n-3)·2 >50(2n-1). 50 n+1 n+1 即 f (n)=(2n-3)·2 -50(2n-1)=(2n-3)·(2 -50)-100. n+1 当 n=1,2,3,4,5 时,都有 f (n)<0,即(2n-3)·2 <50(2n-1) 7 而 f (6)=9×(2 -50)-100= 9×(128-50)-100=602>0 ∵当 n≥6 时,f (n)单调递增,故有 f (n)>0. 1 n+1 ∴当 n≥6 时,(2n-3)·2 >50(2n-1)成立,即 (Sn-6)>dn 成立. 50 ∴满足条件的所有正整数 N=5,6,7,···,20. ························16?

2

3

n? 1

n

数学Ⅱ(附加题) B. 选修 4 - 2:矩阵与变换 ? 3 4 ? 求矩阵 A=? ?的逆矩阵. ? 1 2 ?

C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程

1 ? x? t? ? ? t , ( t 为参数, t ? 0 ).求曲线 C 的普通方程。 已知曲线 C 的参数方程为 ? ? y ? 3(t ? 1) ? 2 ? t ?
[必做题]第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分。请在答题卡指定 区域 内作答,解答时 ..... .. 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22. (本题满分 10 分)在平面直角坐标系 xoy 中, 抛物线 C 的顶点在原点, 经过点 A (2,2) , 其焦点 F 在 x 轴上。 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M (m, 0)(m ? 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点,ME=2DM,记 D 和 E 两点间的 距离为 f ( m) ,求 f ( m) 关于 m 的表达式。 【解析】 [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识,考查运 算求解能力。满分 10 分。

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23. (本题满分 10 分) 对于正整数 n ≥2, 用 Tn 表示关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0
2

有实数根的有序数组 ( a, b) 的组数,其中 a, b ??1,2,?, n? ( a 和 b 可以相等) ;对于随机选 取的 a, b ??1,2,?, n? ( a 和 b 可以相等) ,记 Pn 为关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0
2

有实数根的概率。 (1)求 Tn2 和 Pn2 ; (2)求证:对任意正整数 n ≥2,有 Pn ? 1 ?

1 . n

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