递推数列的特征根法

专题
一、形如 形如 征根法求得通项 若①有二异根 若①有二重根 再利用 例 1 已知数列

求递推数列通项的特征根法
是常数)的数列 是常数)的二阶递推数列都可用特 ,其特征方程为 ,则可令 ,则可令 可求得 满足 ,进而求得 , 求数列 的通项 …① 是待定常数) 是待定常数)

解:其特征方程为

,解得

,令



由 例 2 已知数列 满足

,得

, ,求数列 的通项

解:其特征方程为

,解得

,令





,得



二、形如

的数列

对于数列



是常数且



其特征方程为

,变形为

…②

若②有二异根 的值可求得 值。

,则可令

(其中 是待定常数),代入

这样数列

是首项为

,公比为 的等比数列,于是这样可求得

若②有二重根 入

,则可令

(其中 是待定常数),代

的值可求得 值。

这样数列 得

是首项为

,公差为 的等差数列,于是这样可求

例 3 已知数列

满足

,求数列

的通项

解:其特征方程为

,化简得

,解得

,令





,可得



数列

是以

为首项,以

为公比的等比数列,



例 4 已知数列

满足

,求数列

的通项

解:其特征方程为

,即

,解得

,令





,求得



数列

是以

为首项,以

为公差的等差数列,




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