炜昊教育2015年暑期高二数学复习讲义 不等式与线形规划

炜昊教育 2015 年暑期高二数学复习讲义

不等式与线形规划

一 【题型归类】 题型一:用不等式表示不等关系 例 1 某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装软件,根据需要, 软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,写出满足上述不等关系的不等式.

变式练习:咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料用奶粉、咖啡、糖,分别为 9g、4g、3g;乙种饮料用奶粉、咖啡、 糖,分别为 4g、5g、5g.已知买天使用原料为奶粉 3600g,咖啡 2000g,糖 3000g.写出配制两种饮料杯数说所满足的所 有不等关系的不等式.

题型二:比较大小 例 2 (1)( 3 + 2 ) (3)
2

6+2 6 ; (2) ( 3- 2 )

2

( 6 -1) ;
2

1 5?2

1 . 6? 5
log 1 b ;(2) (a+3)(a-5)
2

变式练习: (1)当 a>b>0 时,log 1 a
2

(a+2)(a-4) ;

(3) ( x2 ? 1)2

x 4 ? x 2 ? 1.

题型三:利用不等式的性质求取值范围 例 3 如果 30 ? x ? 42 , 16 ? y ? 24 ,则 (1) x ? y 的取值范围是 , (2) x ? 2 y 的取值范围是 ,

(3) xy 的取值范围是

, (4)

x 的取值范围是 y

.

变式练习:已知 ?1 ? a ? b ? 5 , ?1 ? a ? b ? 3 ,求 3a ? 2b 的取值范围.

题型四:解一元二次不等式
2 例 4 解不等式: (1) 2 x ? 7 x ? 4 ? 0 ; 2 (2) ? x ? 8 x ? 3 ? 0 .

题型五:求线性目标函数在线性约束条件下的最优解

?3x ? y ? 6 ? 0 2 3 ? 例 5 设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 若目标函数 z=ax+by (a>0, b>0) 的值是最大值为 12, 则 ? a b ? x ? 0, y ? 0 ?
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

的最小值为( (A)

). (B)

25 6

8 3

(C)

11 3

(D)

4

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 ? 变式练习: 已知 x、y 满足不等式组 ? ,试求 z=300x+900y 的最大值时的整点的坐标,及相应的 z ?x ? 0 ? ?y ? 0
的最大值.

题型六:利用基本不等式证明不等式 例 6 求证 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 .

变式练习:已知 x2 ? a2 ? b2 , y 2 ? c2 ? d 2 ,且所有字母均为正,求证: xy ? ac ? bd .

题型七:利用基本不等式求最值 例 7 若 x>0,y>0,且

2 8 ? ? 1 ,求 xy 的最小值. x y
9 (x>5)的最小值. x ?5

变式练习: 求 f ( x) ? 4 x ?

二.自我检测 1. ?ABC 的三边分别是 a、b、c (均为正数) ,根据三角形边的性质能得到不等关系的个数为( ( A ) 4 (B) 5 ( C ) 6 ( D ) 7 2.已知 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是( ). ( A )

).

1 1 ? a b

(B) 0?

a ?1 b

( C ) ab ? b .

2

( D )

b a ? a b

3.函数 y ?

x2 ? x ? 12 的定义域是

4. x ? 0, y ? 0, x ? y ? 4 所围成的平面区域的面积是 5.设 x, y 为正数,则 ? x ? y ? ? ( A ) 6 6.若 x ? 0 ,则 x ?

.

?1 4? ? ? 的最小值为( ?x y?

). ( D ) 15

(B) 9

( C ) 12 .

2 的最小值为 x
a b

7.设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则 ( A ) 8 8.已知 a ? 0, b ? 0 ,则 (A) 2 ( B ) 4

1 1 ? 的最小值为( a b

).

( C )1 ). (C) 4

( D )

1 4

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是( a b
(B)

2 2

(D) 5

9.已知 a , b 是正实数,试比较

2 1 1 ? a b

与 ab 的大小.

2 10.关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 x x ? ? 或x ? ?

?

? ?? ? ? ? 0 ? ,求不等式 ax
4

2

? bx ? c ? 0 的解集.
).

11.若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为面积相等的两部分,则 k 的值是( ? 3
?3 x ? y ? 4 ?

?x ? 0

(A) 12.

7 3

(B)
2

3 7

(C)

4 3

(D)

3 4

围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) ,其它三面围墙要

新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价 为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:元). (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.

基本不等式
知识点: 1. (1)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab
2 2

(2)若 a, b ? R ,则 ab ?

a2 ? b2 2

(当且仅当 a ? b 时取“=”) (当且仅当 a ? b 时取“=” )

2. (1)若 a, b ? R * ,则

a?b * ? ab (2)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2 ab 2
2

a ?b? (3)若 a, b ? R * ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?
3.若 a, b ? R ,则 (

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

a ? b 2 a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=” ) ) ? 2 2

注意: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值, 当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等”

应用一:求最值
1 例:求下列函数的值域(1)y=3x 2+ 2 2x 技巧一:凑项 例 已知 x ? 1 (2)y=x+

x

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

技巧二:凑系数

例: 当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 技巧三: 分离换元 例:求 y ? x ?1
变式:设 0 ? x ? 技巧四:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数 f ( x ) ? x ? 例:求函数 y ?

a 的单调性。 x

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

技巧五:整体代换( “1”的应用)

例:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

技巧七例:已知 x,y 为正实数,且 x +

2

y2
2

=1,求 x 1+y

2

的最大值.

技巧八:已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y=

1

ab

的最小值.


相关文档

高二数学第六章不等式同步辅导讲义
高二数学必修五第三章《不等式》3.3.2简单的线性规划1
高二数学直线和圆、线性规划、不等式过关检测题
高二数学必修5复习巩固(解三角形、不等式与线性规划)
炜昊教育高二数学讲义
炜昊教育高二数学讲2
炜昊教育高二数学讲4
炜昊教育高二数学讲1
炜昊教育高二数学讲5
高二数学2级部A部提升讲义一元二次不等式及其解法
电脑版