四川省成都市2018届高三第三次诊断性检测理科数学试题 word版

成都市 2015 级高中毕业班第三次诊断性检测

数学(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷(选择题,第Ⅱ卷(非选择题) ,满分 150 分,考 试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,只将答题卡交回。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求. 1. 设全集 U =?0, 集合 A ? x ? N ? x ? 1?? x ? 3? ? 0 , 则集合 ? ( 1, 2, 3? , U A 中元素的个数是 A. 1 【答案】 A B. 2 C. 3 D. 4

?

?



【解析】由题意得 A ? ?1,2,3? ,所以 ? U A ? ?0? ,故选 A. 考点:集合的基本运算. 2.若复数 z ? A. ? 2 【答案】 C

a?i ( i 是虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为( 1? i B. ?1 C. 1 D. 2



【解析】因为 z ?

a ? i ? a ? i ??1 ? i ? a ? 1 ? ? a ? 1? i ? ? 是纯虚数,所以 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 ,故选 1? i 2 2

C. 考点:1、复数的运算,2、纯虚数的概念. 3.命题“ ?x ? ?1, ??? , x ? 1 ? ln x ”的否定是( A. ?x ? ?1, ??? , x ? 1 ? ln x C. ?x0 ? ?1, ??? , x0 ? 1 ? ln x0 【答案】 D 【解析】“ ?x ? ?1, ??? , x ? 1 ? ln x ”的否定是“ ?x0 ? ?1, ??? , x0 ? 1 ? ln x0 ”,故选 D. )

B. ?x ? ?1, ??? , x ? 1 ? ln x D. ?x0 ? ?1, ??? , x0 ? 1 ? ln x0

考点:含一个量词的命题否定.

?1, x ? 0, ? 4.定义符号函数 sgn x ? ?0, x ? 0, 则函数 f ? x ? ? sin x ? sgn x 的图象大致是( ??1, x ? 0, ?



【答案】 B 【解析】用排除法,易知 f ? x ? 是偶函数,故排除 A 选项;当 0 ? x ? ? 时, f ? x ? ? 0 ,故排除 D 选项;当 ? ? x ? 2? 时, f ? x ? ? 0 ,故排除 C 选项.故选 B. 考点:函数的图象. 5.已知实数 a ? 2 A. c ? a ? b 【答案】A 【解析】易知 1 ? 2
ln 2

ln 2

, b ? 2 ? 2 ln 2 , c ? ? ln 2 ? ,则 a, b, c 的大小关系是(
2



B. c ? b ? a

C. b ? a ? c
2

D. a ? c ? b

? 2 , 2 ? 2 ln 2 ? 2 , 0 ? ? ln 2 ? ? 1 ,所以 c ? a ? b .故选 A.

考点:指数与对数运算及单调性. 6.当 ? ? ?

2 ?? ? ,则 sin ? ? cos ? 的值为( , ? ? 时,若 sin ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? 3 ?2 ?
B. ?



A.

2 3

2 3

C.

4 3

D. ?

4 3

【答案】C 【解析】由诱导公式得 sin ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? ? cos ? ?

7 2 ,所以 2sin ? cos ? ? ? , 9 3

? sin ? ? cos ? ?

2

? ? sin ? ? cos ? ? ? 4sin ? cos ? ?
2

16 ?? ? , 又? ?? , ?? , 所以 sin ? ? cos ? ? 0 所 9 ?2 ?

以 sin ? ? cos ? ?

4 .故选 C. 3

考点:1、诱导公式;2、同角基本关系求值. 7.已知甲袋中有 1 个黄球和 1 个红球,乙袋中有 2 个黄球和 2 个红球.现随机地从甲袋中出 1 个球 放入乙袋中,再从乙袋中随机取出 1 个球,则从乙袋中取出红球的概率为( ) A.

1 3

B.

1 2

C.

5 9

D.

2 9

【答案】B
1 1 【解析】先从甲袋中取出 1 个球放入乙袋,再从乙袋出 1 个球的总数为 C2 C5 ? 10 ,取出红球的总 1 1 1 1 数为 C1 C3 ? C1 C2 ? 5 ,所以乙袋中取出红球的概率为 P ?

5 1 ? .故选 B. 10 2

考点:古典概型. 8.某企业可生产 A, B 两种产品.投资生产 A 产品时,每生产 100 吨需要资金 200 万元,场地 200 平方米;投资生产 B 产品时,每生产 100 吨需要资金 300 万元,场地 100 平方米.若该企业现可使 用资金 1400 万元, 场地 900 平方米投资生产 A, B 两种产品, 则两种产品的量之和的最大值是 ( A. 467 吨 【答案】C B. 450 吨 C. 575 吨 D. 600 吨 )

【 解 析 】 设 生 产 A, B 产 品 的 产 量 分 别 为 x , y ( 单 位 : 100 吨 ) ,由题意得约束条件

?200 x ? 300 y ? 1400, ?200 x ? 100 y ? 900, ? 求目标函数 z ? x ? y 的最大值 . 由约束条件得可行区域(如图) , 其中 ? ? x ? 0, ? ? y ? 0,
14 ? A? 4.5, 0 ? , B ?3.25, 2.5? , C ? ? 0, ? . ? 3?

由可行区域可得目标函数 z ? x ? y 经过 B ? 3.25, 2.5? 时,z 取最大值, 故 zmax ? 5.75(100 吨) . 故 选 C.

考点:线性规划问题. 9.在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 (底面是正三角形,侧棱垂直于底面的棱柱)中,所有棱长之和为定值

a .若正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的顶点都在球 O 的表面上,则当正三棱柱侧面积取得最大值 24 时,
该球的表面积为( A. 4 3? 【答案】D 【解析】 设正三棱柱 ABC ? A1B1C1 底面边长为 x , 侧棱为 y , 则 6x ? 3 y ? a , 三棱柱 ABC ? A1B1C1 侧面积 S ? 3xy .所以 S ? 3xy ? ) B.

32? 3

C. 12 ?

D.

64? 3

a a a 1 ? 6x ? 3 y ? a2 , y ? 时, , 当且仅当 6 x ? 3 y ? , 即x? ? ? ? 2 12 6 6 ? 2 ? 24

2

等号成立, 所以 a ? 24 ,x ? 2 ,y ? 4 .所以正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的外接球的球心 O 到顶点 A 的

距离为

64? 4 4 3 ,所以该球的表面积为 .故选 D. ?4 ? 3 3 4

考点:1、简单几何体;2、基本不等式. 10.已知 P 为 △ABC 所在平面内一点, AB ? PB ? PC ? 0 , PC ? PB ? AB ? 2 ,则 △PBC 的面积等于( A. 3 【答案】A 【解析】分别取边 BC , AC 的中点 D, E ,则 PB ? PC ? 2PD , AB ? 2 ED , 因为 AB ? PB ? PC ? 0 ,所以 ED ? ? PD ,所以 E , D, P 三点共线,且 ED ? PD ? 1 . 又 PC ? PB ? 2 , 所以 PD ? BC , 所以 BC ? 2 3 , 所以 △PBC 的面积 S ? 故选 A. 考点:平面向量线性运算. 11. 已知 A, B 是椭圆 C : ) B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3

1 ? 2 3 ?1 ? 3 . 2

x2 y 2 ? ? 1 上关于坐标原点 O 对称的两个点, P, M , N 是椭圆 C 异于 25 9


A, B 的点,且 AP ∥ OM , BP ∥ ON ,则 △MON 的面积为(
A.

3 2

B.

3 2

C.

15 2

D.

25 2

【答案】C 【解析】 方法一: 特殊值法, 取 A, B 为短轴的端点, 即 A ? 0,3? , B ? 0, ?3? , 点 P 为左顶点 P ? ?5,0? ,

则直线 OM , ON 的方程分别为 y ? 以 S△MON ?

3 3 3 ? ? 5 3 ? ? 5 x , y ? ? x ,所以 M ? ,N? , ,? ? ? ,所 5 5 2? ? 2 2? ? 2

15 .故选 A. 2

方法二:若 PA, PB 与坐标轴平行或垂直时,可得点 M , N 为椭圆 C 长轴和短轴的一个端点,所以

1 15 S△MON ? ? 5 ? 3 ? ; 2 2
若 PA, PB 与坐标轴不平行或不垂直时,则 k PA ? k PB ? ?

9 ,设直线 OM , ON 的方程分别为 25

? x2 y 2 ? ? 1, 9 15k1 15 ? ? 解得 M ? , y ? k1 x, y ? k2 x ,则 k1 ? k 2 ? ? .联立 ? 25 9 ? 9 ? 25k 2 9 ? 25k 2 25 ? y ? k x, 1 1 ? ? 1
同理可得 N ?

? ?, ? ?

?

15

? 9 ? 25k 2 2 ? 1 2 15

,

? ?, 2 ? 9 ? 25k2 ? 15k2 ? 15k2
2 9 ? 25k2

所以 S△MON ?

9 ? 25k12

?

15
2 9 ? 25k2

?

15k1 9 ? 25k12

?

k1 ? k2 k1 ? k2 225 225 ? 2 2 2 162 ? 225 ? k12 ? k2 ? 2 162 ? 225 ? k ? k ? 2k1k1 ? ?? 1 2 ? ? 225 k1 ? k2 15 ? . 2 15 ? k1 ? k2 ? 2

?

故选 A. 考点:直线与椭圆的位置关系.
2 2 x 2 x 2 12.在关于 x 的不等式 e x ? ae ? 4e x ? ae ? 4e ? 0 (其中 e ? 2.71828

?

?

为自然对数的底

数)的解集中,有且仅有两个大于 2 的整数,则实数 a 的取值范围为( A. ?

) D. ?

? 16 1 ? , 4 ? 5e 2e ? ?

B. ?

? 9 1 ? , ? 3 ? 4e 2e ?

C. ?

? 16 4 ? , 2 4 ? 5e 3e ? ?
2

? 9 4 ? , 2? 3 ? 4e 3e ?

【答案】D
2 2 x 2 x 2 【解析】易得 e x ? ae ? 4e x ? ae ? 4e ? 0 ? e 2

?

?

2

? x ? 2?

? a ? x ? 1? e x .

2 x 设 f ? x ? ? e ? x ? 2 ? , g ? x ? ? a ? x ?1? e ,则原不等式等价与 f ? x ? ? g ? x ? .

若 a ? 0 ,则当 x ? 2 时, f ? x ? ? 0 , g ? x ? ? 0 ,所以原不等式的解集中有无数个大于 2 的整数, 所以 a ? 0 .

因为 f ? 2? ? 0 , g ? 2? ? ae2 ? 0 ,所以 f ? 2? ? g ? 2? . 当 f ? 3? ? g ? 3? ,即 a ? 则 h? ? x ? ? 2e
2

1 时,设 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ?? x ? 4? , 2e

? x ? 2 ? ? axe x ? 2e2 ? x ? 2 ? ?

xe x . 2e
x

? x ? 1? e ? ? ? 3 ? 0 , xe x 设 ? ? x ? ? 2e ? x ? 2 ? ? ? x ? 4 ? ,则 ? ? ? x ? ? 2e2 ? ? ? 2e 2e
2

所以 ? ? x ? 在 ? 4, ??? 上为减函数,所以 ? ? x ? ? ? ? 4? ? 2e2 ? 2 ? e? ? 0 , 所以当 x ? 4 时, h? ? x ? ? 0 ,所以 h ? x ? 在 ? 4, ??? 上为减函数, 所以 h ? x ? ? h ? 4 ? ? 4e2 ? 3ae4 ? 4e2 ?

3e3 3e ? ? ? e2 ? 4 ? ? ? 0 , 2 2? ?

所以当 x ? 4 时,不等式 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,所以原不等式的解集中没有大于 2 的整数.

? f ? 3? ? g ? 3? , ?e 2 ? 2ae3 , ? ? 2 4 所以要使原不等式的解集中有且仅有两个大于 2 的整数,则 ? f ? 4 ? ? g ? 4 ? , 所以 ? 4e ? 3ae , ? ?9e 2 ? 4ae5 , ? ? f ? 5? ? g ? 5? , 9 4 解得 3 ? a ? 2 .故选 D. 4e 3e
考点:利用导数研究函数的性质解决不等式成立问题.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在题后横线上.

1? ? 13. ? x ? ? 的展开式中各项系数之和为 x? ?
【答案】 0
5

5

.

【解析】令 x ? 1 ,得展开式中各项系数之和为 ?1 ? 1? ? 0 . 考点:二项式定理.

E 是棱 DD1 的中点,则异面 14.如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
直线 AE 与 BD1 所成角的余弦值为 .

【答案】

15 5

【解析】以点 D 原点, DA, DB, DD1 分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系,设棱长为 2 ,则

A? 2,0,0? , E ? 0,0,1? , B ? 2,2,0? , D1 ? 0,0, 2? ,所以 AE ? ? ?2,0,1? , BD1 ? ? ?2, ?2, 2 ? ,所
以 cos AE , BD1 ? 考点:空间角. 15.在 △ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? c ?

AE ? BD1 AE BD1

?

15 15 ,所以异面直线 AE 与 BD1 所成角的余弦值为 . 5 5

6 b , sin B ? 6 sin C .则 6

?? ? cos ? 2 A ? ? ? 6? ?
【答案】

.

15 ? 3 8

【解析】因为 sin B ?

6 sinC ,所以 b ? 6c ,又 a ? c ?

6 b ,所以 a ? 2c ,由余弦定理得 6

1 15 10 b2 ? c 2 ? a 2 3c2 6 ,所以 sin A ? ,所以 sin 2 A ? , cos 2 A ? ? . cos A ? ? ? 2 4 4 4 2bc 4 2 6c
所以 cos ? 2 A ?

? ?

?? ? ? 15 ? 3 . ? ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? 6? 6 6 8
k ? N* .记 ai , Ak ,
.

考点:1、正余弦定理;2、三角恒等变换. 16.已知集合 M ? ?1,2,3,4,5,6,7,8,9? 的所有 3 个元素的子集记为 A 1 , A2 , A 3, 为集合 Ai ( i ? 1, 2,3, 【答案】 630
3 【解析】集合 M 含有 3 个元素的子集共有 C9 ? 84 ,所以 k ? 84 .

, k )中的最大元素,则 a1 ? a2 ?

? ak ?

在集合 Ai( i ? 1, 2,3,

2 ,k ) 中: 最大元素为 3 的集合有 C2 ? 1 个;最大元素为 4 的集合有 C32 ? 3 ;

2 2 2 最大元素为 5 的集合有 C4 最大元素为 6 的集合有 C5 最大元素为 7 的集合有 C6 ? 10 ; ? 15 ; ? 6;

最大元素为 8 的集合有 C7 ? 21 ;最大元素为 9 的集合有 C8 ? 28 .
2 2

所以 a1 ? a2 ?

? ak ? 3?1 ? 4 ? 3 ? 5 ? 6 ? 6 ?10 ? 7 ?15 ? 8 ? 21 ? 9 ? 28 ? 630 .

考点:1、集合间的基本关系;2、组合. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

已知 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, S2 , S4 , S3 成等差数列,且 a2 ? a3 ? a4 ? ? . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? n an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

3 8

? 1? 【答案】(I) an ? ? ? ? ? 2?
【解析】

n ?1

; (Ⅱ) Tn ? 4 ?

n?2 . 2n ?1

考点:1、等比数列;2、错位相减法. 18. (本小题满分 12 分) 某企业统计自 2011 年到 2017 年的产品研发费 x 和销售额 y 的数据如下表:

根据上表中的数据作出散点图,得知产品研发费的自然对数值 z (精确到小数点后第二位 )和销售 额 y 具有线性相关关系.

? ln x ? a ? 的计算结果精确到小数点 ? ?b ? (a ?, b (I)求销售额 y 关于产品研发费 x 的回归方程 y
后第二位); (Ⅱ)根据(I)的结果预则:若 2018 年的销售额要达到 70 万元,则产品研发费大约需要多 少万元?

? ? 11.99ln x ? 21.86 ; 【答案】(I) y (Ⅱ) 55.5 .
【解析】

考点:1、用线性回归方程系数公式求线性方程;2、用样本估计总体解决简单实际问题. 19. (本小题满分 12 分) 如图①,在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB ∥ CD , ?ABC ? 60 , CD ? 2 , AB ? 4 ,点 E 为

AB 的中点;现将三角形 BEC 沿线段 EC 折起,形成直二面角 P ? EC ? A ,如图②,连接 PA, PD
得四棱锥 P ? AECD ,如图③.

(I)求证: PD ? EC ; (Ⅱ)求平面 PEC 与平面 PAD 所成的锐二面角的余弦值.

【答案】(I)见解析; (Ⅱ) 【解析】

2 . 2

考点:1、点线面间的垂直关系;2、向量方法求面面的夹角. 20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 M 与定点 F ?1,0 ? 的距离和它到直线 x ? 4 的距离的比是 1 : 2 . 记动点 M 的轨迹为曲线 C ,直线 l : y ? kx ? m ? m ? 0? 与曲线 C 相交于不同的两点 P, Q . (I)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)求 △OPQ 面积的最大值.

x2 y 2 ? ? 1; 【答案】(I) (Ⅱ) 3 . 4 3
【解析】

考点:1、椭圆的方程;2、直线与椭圆的位置关系. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ?1 ? k ? x ? k ln x ? k ?1,其中 k ? R, k ? 0 . (I)讨论函数 f ? x ? 的单调性; ( Ⅱ ) 设 函 数 f ? x ? 的 导 函 数 为 g ? x ? . 若 函 数 f ? x ? 恰 有 两 个 零 点 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? , 证 明: g ?

? x1 ? 2 x2 ? ??0. ? 3 ?
x2 y 2 ? ? 1; (Ⅱ) 3 . 4 3

【答案】(I) 【解析】

考点:导数在研究函数的单调性中的应用. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程

s ,直线 l 的极坐标方程是 在 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 是 ? ? 4 c o?

?? ? ? ?? 2? s i ? n? ? ? ? ,点 1 Q ? ? , ? 在直线 l 上.以极点为坐标原点 O ,极轴为 x 轴的正半轴,建立 4? ? ? 2?
平面直角坐标系 xOy ,且两坐标系取相同的单位长度. (I)求曲线 C 及直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A, B ,求 QA ? QB 的值.
2 【答案】(I) ? x ? 2 ? ? y ? 4 , x ? y ? 1 ? 0 ; (Ⅱ) 3 2 . 2

【解析】

考点:1、极坐标和直角坐标的互化;2、参数的意义. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 2x ? 1 ? x ? a , a ? R . (I)当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? 4 ; (Ⅱ)若不等式 f ? x ? ? 1 的解集为非空集合,求 a 的取值范围. 【答案】(I) ??1,1? ; (Ⅱ) ? ? 【解析】

? 3 1? , ?. ? 2 2?

考点:解含绝对值的不等式.


相关文档

2018成都二诊理科数学Word版含答案 四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测数学(理)试题
数学理科试卷·2018届四川省成都市高三第二次诊断性模拟检测Word版含答案
2018届四川省成都市高三第二次诊断性模拟检测理科综合试题(word版)
2018届四川省成都市高三第三次诊断性检测l理科综合试题(word版)
最新-四川省成都市2018届高三第三次诊断性考试理科数学试题及答 精品
2018届四川省成都市高三第二次诊断性模拟检测理科综合试题Word版含答案
四川省成都市2018届高三第三次诊断性检测文科数学试题 word版
四川省成都市2018届高三第三次诊断性检测理科数学试题(含答案)
四川省成都市2018届高三第三次诊断性检测l理科综合试题 word版
四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测理科数学试题(含答案)
电脑版