2011年安徽省高考押题卷数学试题文科

2011 年安徽省高考押题卷数学试题(文)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 共 150 分,测试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
注意事项: 1.答第 1 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用 HB 或者 2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式:
1.若事件 A、B 互斥,则 P(A ? B) ? P(A) ? P(B)

2.若事件 A、B 相互独立,则 P( AB) ? P( A) ? P(B)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,选出一个符
合题目要求的选项)
1.已知全集U ? R,集合A ? {x | lg x ? 0}, B ? {x | 2x ? 1}, 则CU ( A ? B) ? ( )

A. (??,1)

B. (1,??)

开始

C. (??,1]

D.[1,??)

k=1

2.如果执行的程序框图(右图所示),那么输出的 S ?

A.2450 C.2550

B.2500 D.2652

3.已知关于 x 的二项式 ( x ? a )n 展开式的二项式系数之 3x

S ?0

k ? 50?

S ? S ? 2k


输出S

和为 32,常数项为 80,则 a 的值为

A.1

B. ?1

C.2

D. ? 2

4.若 sin(? ? ? ) ? 1 ,则cos(2? ? 2? ) 的值为

6

3

3

A. 1 3

B. ? 1 3

C. 7 9

k ? k ?1

()
结束

D. ? 7 9

()

5.已知抛物线 y 2 ? 8x 的焦点与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的一个焦点重合,则该双曲线的离心率为( ) a2

A. 4 15

B. 2 3

C. 3

D.3

5

3

6.若曲线 y ? 2x2 的一条切线 lL 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则切线 l 的方程为、

用心 爱心 专心

1

A、 4x ? y ? 2 ? 0 B、 x ? 4y ? 9 ? 0 C、 4x ? y ? 3 ? 0 D、 x ? 4y ? 3 ? 0

7.已知函数 f (x) ? (x ? a)( x ? b)(其中a ? b) 的图像

如图所示,则函数 g(x) ? a x ? b x 的图像是

()

8.已知直线 l, m,平面?, ? ,且l ? ?, m ? ? ,给出下列四个命题

①若? // ? ,则l ? m ;②若 l ? m,则? // ? ;③若? ? ? ,则l // m ;④若 l // m,则? ? ?

其中正确命题的个数是

A.0

B.1

C.2

D.3

()

9.已知函数,f(X)= log2 x 的反函数为 f ?1 (x),等比数列{ an }的公比为 2,若 f ?1 ( a2 )· f ?1

a 2 2 ( )= 10 ,则 f (a1)? f (a2 )?.......? f (2009) = 4

(A) 21004?2008 (B) 21005?2009 (c) 21005?2008 (D) 21004?2009

?x ? 2

10.已知 x, y满足??x ? y ? 4,

且目标函数z ? 3x ? y 的最小值是 5,则 z 的最大值是( )

??? 2x ? y ? c ? 0

A.10

B.12

C.14

D.15

11.将 1,2,3,…,9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下

分别依次增大,当 3,4 固定在图中的位置时,填写空格的方法数为

A.6 种

B.12 种

()

C.18 种

D.24 种

12.已知函数,f(x)是定义在 R 上的奇函数 f(2)=0,

当 x>0 时,有

xf ?(x)? f (x) x2

<0成立,则不等式 x2

f(x)>0 的解集是

(A)(-2,0)u(2,+∞) (c)(-2,0)u(0,2)

(B)(-∞,-2)u(0,2) (D)(-∞,-2)u(2,+∞)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

2 用心 爱心 专心

2

0

0

9

13.一个样本容量为 20 的样本数据,分组后,组距与频数如下: (10,20],2;(20,30],3;(30,40],

4;(40,50],5;(50,60],4;(60,70],2;则样本在区间 (??,50]上的频率为



14.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y,若不等式(x ? a) ? (x ? a) ? 1对一切实数 x 都成立,则实

数 a 的取值范围是



15.若 a 是从区间[0,3]内任取一个实数,b 是从区间[0,2]内任取一个实数,则关于 x 的一元二

次方程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实根的概率为



16.下列说法正确的是

。(写出所有正确说法的序号)

①若 p是q的充分不必要条件 ,则?p是?q 的必要不充分条件;

②命题"?x ? R, x2 ? 1 ? 3x"的否定是"?x ? R, x2 ? 1 ? 3x" ;

③设 x, y ? R,命题"若xy ? 0,上x2 ? y 2 ? 0" 的否命题是真命题;

④若 z ? 4i ? (1 ? 3i)2 ,则z ? z 1? i
三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.在 ?ABC中, a,b, c 分别是角 A、B、C 的对边, m ? (b,2a ? c),n ? (cosB, cosC) ,且 m // n.

(1)求角 B 的大小;

(2)设 f (x) ? cos(?x ? B) ? sin x(? ? 0),且f (x) 的最小正周期为 ? ,求f (x)在区间[0, ? ] 上

2

2

的最大值和最小值。

18.某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为 0,1,2,3 四个相同小球的抽奖箱 中,每次取出一球记下编号后放回,连续取两次,若取出的两个小球号码相加之和等于 6,则 中一等奖,等于 5 中二等奖,等于 4 或 3 中三等奖。 (1)求中三等奖的概率; (2)求 中奖的概率。

19.如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为矩形,俯视图为直角梯形(尺寸如图 所示)

用心 爱心 专心

3

(1)求证:AE//平面 DCF;
(2)当 AB 的长为 9 , ?CEF ? 90? 时,求二面角 A—EF—C 的大小。 2

20.在数列 ?an ?中, a1 ? 2, an?1 ? an ? 2n ?1 (n ? N? ) .(Ⅰ)求证:数列{an ? 2n} 为等差数列;

(Ⅱ)设数列 ?bn ?满足 bn

?

log 2 (an

?1?

n) ,若 (1?

1 )(1? b2

1 )(1? b3

1 b4

)

(1? 1 ) bn

? k n ?1 对一切 n ? N? 且 n ? 2恒成立,求实数 k 的取值范围.

21.已知椭圆的一个顶点为 A(0,? 1),焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离
为 3.
(1)求椭圆的方程,(2)设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M、N.当 AM ? AN
时,求 m 的取值范围.

22.已知常数 a 、 b 、 c 都是实数,函数 f (x) ? x3 ? a x2 ? bx ? c 的导函数为 f ?(x) 32
(Ⅰ)设 a ? f ?(2),b ? f ?(1),c ? f ?(0) ,求函数 f (x) 的解析式;

(Ⅱ)如果方程 f ?(x) ? 0 的两个实数根分别为? 、 ? ,并且1 ? ? ? ? ? 2

问:是否存在正整数 n0 ,使得 |

f

?(n0

)

?

1 4

?请说明理由.

用心 爱心 专心

4

参考答案

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。

1—6BCCDBA 7—12ACDAAB

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。

13. 0.7

14. ? 1 ? a ? 3

2

2

三、解答题:

15. 2 3

16.①③

17.解:(1)由 m // n ,得 b cosC ? (2a ? c) cosB, ?bcosC ? c cosB ? 2a cosB.

由正弦定得,得 sin B cosC ? sin C cosB ? 2sin AcosB,

?sin(B ? C) ? 2sin AcosB. 又 B ? C ? ? ? A,

?sin A ? 2sin AcosB.又 sin A ? 0,?cosB ? 1 . 又 B ? (0,? ),? B ? ? .

6分

2

3

(2) f (x) ? cos(?x ? ? ) ? sin ?x ? 3 cos?x ? 2 sin ?x ? 3 sin(?x ? ? )

6

2

3

6

由已知 2? ? ? ,?? ? 2. f (x) ? 3 sin(2x ? ? ),

9分

?

6

当 x ?[0, ? ]时,2x ? ? ?[? , 7? ],sin(2x ? ? ) ?[? 1 ,1]

2

6 66

62

因此,当 2x ? ? ? ? ,即x ? ? 时, f (x)取得最大值 3;

62

6

当 2x ? ? ? 7? ,即x ? ? 时 , f (x)取得最小值 ? 3

66

2

2

12 分

18.解:设“中三等奖”为事件 A,“中奖”为事件 B,从四个小球中有放回的取两个共有(0,0),

(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1) (1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),

(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)16 种不同的结果

3分

(1)两个小球号码相加之和等于 4 的取法有 3 种: (1,3),(2,2),(3,1)

两个小球号相加之和等于 3 的取法有 4 种:

(0,3),(1,2),(2,1),(3,0) 4 分

由互斥事件的加法公式得 P( A) ? 3 ? 4 ? 7 即中三等奖的概率为 7 . 6 分

16 16 16

16

(2)两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种;两个小球相加之和等于 4 的取法有 3 种;

两个小球号码相加之和等于 5 的取法有 2 种:(2,3),(3,2)

两个小球号码相加之和等于 6 的取法有 1 种:(3,3) 9 分

由互斥事件的加法公式得 P(B) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 .即中奖的概率为 5 .

16 16 16 16 8

8

19.解法一(1)过点 E 作 EG ? CF 交 CF 于 G,

12 分

连结 DG,可得四边形 BCGE 为矩形,

又四边形 ABCD 为矩形, //

用心 爱心 专心

5

所以 AD=EG,从而四边形 ADGE 为平行四边形 故 AE//DG 4 分
因为 AE ? 平面 DCF, DG ? 平面 DCF,
所以 AE//平面 DCF 6 分
(2)过点 B 作 BH ? EF 交 FE 的延长线于 H,
连结 AH,BH。
由平面 ABCD ? 平面BEFC, AB ? BC ,
得 AB ? 平面 BEFC,从而 AH ? EF。 所以 ?AHB为二面角 A—EF—C 的平面角 在 Rt?EFG中,因为EG ? AD ? 3, EF ? 2.
??GFE ? 60?, FG ? 1.
又因为??GEF ? 90?, 所以 CF=4,从而 BE=CG=3。

于是 BH ? BE ? sin ?BEH ? 3 3 . 2

10 分

在 RT?AHB中, AB ? 9 , 则 tan AHB ? AB ? 3 ,

2

BH

因为 0? ? ?AHB ? 180?,

所以 ?AHB ? 60?,所以二面角 A ? EF ? C的大小为60?.
解法二:(1)如图,以点 C 为坐标原点,
建立空间直角坐标系 C ? xyz

12 分

设 AB ? a, BE ? b,CF ? c,

则 C(0,0,0) A( 3,0, a), B( 3,0,0), E( 3,b,0)

F(0, c,0)

于是 AE ? (0,b,?a)

20. (Ⅰ)由 an?1 ? an ? 2n ? 1 变形得: (an?1 ? 2n?1) ? (an ? 2n ? 2n?1) ?1 即 (an?1 ? 2n?1) ? ??an ? 2n (2 ?1)?? ?1 所以 (an?1 ? 2n?1 ) ? (an ? 2n ) ? 1………4 分
? ? 故数列 an ? 2n 是以 a1 ? 2 ? 0 为首项,1为公差的等差数列………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? 2n ? n ? 1 ………6 分所以 bn ? log 2 (an ? 1 ? n) ? n ……7 分



f

(n)

?

????1 ?

1 b2

????????1 ?

1 b3

????????1 ?

1 b4

??????????1 ?

1 bn

???? ?

1 ………………8 分 n ?1

用心 爱心 专心

6



f

(n

? 1)

?

????1 ?

1 b2

????????1 ?

1 b3

????????1 ?

1 b4

??????????1 ?

1 bn

????????1 ?

1 bn?1

???? ?

1 n?2

两式相除得:

f (n ?1) f (n)

? ????1?

1 bn?1

???? ?

n?1 ? n? 2 ? n? 2 n?1

n?1 ? n?2

n ? 2 ? 1……10 分 n ?1

所以

f

?n? 是关于 n 的单调递增函数,则

f (n)min

?

f (2) ?

3? 2

1? 3

3 2

故实数 k 的取值范围是 ???? ? ?,

3 2

????

………………12



21.解:(1)依题意可设椭圆方程为

x 2 ? y 2 ? 1 ,则右焦点 F( a2

a2 ?1,0 )由题设

a2 ?1 ? 2 2 ?3
2

解得 a2 ? 3

故所求椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1 3

?y ? kx? m

(2)设

P 为弦 MN

的中点,由

? ?

x

2

?? 3

?

y2

?1

得 (3k 2 ? 1)x2 ? 6mkx ? 3(m2 ?1) ? 0

由于直线与椭圆有两个交点,?? ? 0, 即 m2 ? 3k 2 ?1



?xp

?

xM

? xN 2

? ? 3mk 3k 2 ? 1

从而

yp

?

kxp

?m

?

m 3k 2 ? 1

? k Ap

?

yp ?1 xp

?

m ? 3k 2 ?
3mk

?1

又 AM ? AN ,? AP ? MN ,则

? m ? 3k 2 ? 1 ? ? 1

3mk

k

即 2m ? 3k 2 ?1

把②代入①得 2m ? m2 解得 0 ? m ? 2

m ? 1 .故所求 m 的取范围是( 1 ,2 )

2

2

22.解:(Ⅰ)解: f ?(x) ? x 2 ? ax ? b .


由②得 k 2 ? 2m ?1 ? 0 解得 3

?4 ? 2a ? b ? a

???1 ? a ? b ? b ??b ? c

,解得:

?a ??b

? ?

?1 c?

?3

?

f (x) ?

x3 3

?

1 2

x2

? 3x ? 3 .…………6 分

(Ⅱ)? f ?(x) ? 0 的两根为?、? ,? f ?(x) ? (x ? y)(x ? ? ) .

用心 爱心 专心

7

?1 ? ? ? ? ? 2,? f ?(1) ? (1? ? )(1? ? ) ? 0, f ?(2) ? (2 ? ? )(2 ? ? ) ? 0 .

? f ?(1) ? f ?(2) ? (1? ? )(1? ? )(2 ? ? )(2 ? ? ) ? ?(? ?1)(2 ? ? )?? ?(? ?1)(2 ? ? )?

? ( y ?1? 2 ? y )2 ? ( ? ?1? 2 ? ? )2 ? 1 …………10 分

2

2

16

?0 ? f ?(1) ? f ?(2) ? 1 .? f ?(1) ? 0, f ?(2) ? 0 , 16

?0 ? f ?(1) ? 1 或 0 ? f ?(2) ? 1 .

4

4

?存在 n0

? 1或 n0

? 2使

f ?(n0 )

? 1 成立.……………14 分 4

用心 爱心 专心

8


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