2012年广州市普通高中毕业班综合测试(二)文

年广州市普通高中毕业班综合测试( 数学(文科) 2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(文科)
一、选择题: 选择题: ) 1.已知集合 A 满足 A ? {1,2},则集合 A 的个数为( A.4 B.3 C.2 D.1 2.已知 i 为虚数单位,复数 z1 = a + i , z2 = 2 ? i ,且 | z1 |=| z2 | ,则实数 a 的值为( A.2
2



B.-2
2

C.2 或-2

D.±2 或 0 )

3.已知双曲线 x ? A. 4

y = 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值是( m 1 1 C. ? D.-4 B. 4 4

4.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 l00 分)的茎叶图如图 l, 其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83.则 x + y 的值为 ( ) A.7 B.8 C.9 D.10

uuu r

uuu r

uuur

uuu r

uuur

5.已知向量 OA =(3,-4), OB =(6,-3), OC =(m,m+1),若 AB ∥ OC ,则实数 m 的值为(



1 1 3 C. D. 4 2 2 x ?x 6 已知函数 f ( x ) = e ? e + 1 (e 是自然对数的底数),若 f ( a ) = 2 ,则 f ( ? a ) 的值为(
A. ? B. ? A.3 B.2 C.1 D.0 7.已知两条不同直线 m 、 l ,两个不同平面 α 、 β ,在下列条件中,可得出 α ⊥ β 的是( C. m ∥ l , l ⊥ β , m ? α 8.下列说法正确的是( ) A.函数 f ( x ) = A. m ⊥ l , l ∥ α , l ∥ β B. m ⊥ l , α I β =l, m ? α D. m ∥ l , m ⊥ α , l ⊥ β

3 2





1 在其定义域上是减函数 x
2 2

B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C.命题“ ?x ∈ R,x + x + 1 > 0 ”的否定是“ ?x ∈ R,x + x + 1 < 0 ” D.给定命题 p、q,若 p ∧ q 是真命题,则 ? P 是假命题 9.阅读图 2 的程序框图,该程序运行后输出的 k 的值为( ) A.9 B.10 C.11 D.12 10. 已知实数 a ,b 满足 a + b ? 4a + 3 = 0 , 函数 f ( x ) = a sin x + b cos x + 1 的最大值记为 ? ( a,b ) , ? ( a,b ) 的 则 最小值为( )
2 2

A.1 B.2 二、填空题: 填空题: (一) 必做题 ~l3 题) 一 必做题(11~
2

C. 3 + 1

D.3

11.不等式 x + 2 x ? 3 < 0 的解集是 。 12.如图 3,A,B 两点之间有 4 条网线连接,每条网线能通过的最大信息量分别 为 1,2,3,4.从中任取两条网线,则这两条网线通过的最大信息量之和为 5 的概率是 . 13.已知点 P 是直角坐标平面 xOy 上的一个动点,|OP|= 2 (点 O 为坐标原点), 点 M(-1,0),则 cos ∠ OPM 的取值范围是 . (二)选做题 ~15 题,考生只能从中选做一题 选做题(14~ 考生只能从中选做一题) 二 选做题 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若等边三角形 ABC(顶点 A,B, C 按顺时针方向排列)的顶点 A,B 的极坐标分别为(2,

π

6

),(2,

7π ), 6

则顶点 C 的极坐标为 . 15.(几何证明选讲选做题)如图 4,AB 是圆 O 的直径,延长 AB 至 C,使 BC=2OB,CD 是圆 O 的切线,切点为 D, 连接 AD,BD,则

AD 的值为 BD



小题。 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤。 三、解答题:本大题共 6 小题。满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 解答题: 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = (cos x + sin x )(cos x ? sin x ) . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期;
1

(2)若 0 < α <

π
2

,0 < β <

π
2

,且 f (

α

1 β 2 ) = , f ( ) = ,求 sin( α ? β ) 的值. 2 3 2 3

17.(本小题满分 l2 分)甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示 食物类型 维生素C(单位/kg) 维生素D(单位/kg) 成本(元/kg) 甲 300 700 5 乙 500 100 4 丙 300 300 3

某工厂欲将这三种食物混合成 100kg 的混合食物,设所用食物甲、乙、丙的重量分别为 x kg、y kg、z kg. (1)试以 x、y 表示混合食物的成本 P; (2)若混合食物至少需含 35000 单位维生素 C 及 40000 单位维生素 D,问 x、y、z 取什么值时,混合食物的成本最少?

18.(本小题满分 14 分) 某建筑物的上半部分是多面体 MN-ABCD,下半部分是长方体 ABCD-A1B1C1D1(如图 5).该建筑物的正(主)视图和 侧(左)视图如图 6,其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成,侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成. (1)求线段 AM 的长; (2)证明:平面 ABNM ⊥ 平面 CDMN; (3)求该建筑物的体积.

19.(本小题满分 14 分) 已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2: x 2 = 4 y 有一个相同的焦点 F1,直线 l : y = 2 x + m 与抛物线 C2 只有一个公共点. (1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P,当椭圆 C1 的长轴长取得最小值时,求椭圆 C1 的方程及点 P 的坐标.

20.(本小题满分 14 分) 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,对任意 n ∈ N ,都有 an > 0 且 S n =
*

( an ? 1 )( an + 2 ) ln an +1 ,令 bn = 。 2 ln an

(1)求数列{ an }的通项公式; (2)使乘积 b1 ? b2 ? L ? bk 为整数的 k( k ∈ N * ) 叫“龙数”,求区间[1,2012]内的所有“龙数”之和; (3)判断 bn 与 bn +1 的大小关系,并说明理由.

21.(本小题满分 l4 分) 已知函数 f ( x ) = ln x ?

1 2 ax + x,a ∈ R. 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)是否存在实数 a,使得函数 f ( x ) 的极值大于 0?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

2

参考答案
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5 A 6 D 7 C 8 D 9 C 10 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分,其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11.(-3,1) 12.

1 3

13. [

2 ,1] 2

14. (2 3 ,

说明:第 14 题答案可以是 (2 3,

2π + 2kπ )(k ∈ Z ) 3
2 2

2π ) 3

15. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (1)解:Q f ( x ) = (cos x + sin x )(cos x ? sin x ) = cos x ? sin x = cos 2 x .

2π =π . 2 α 1 β 2 1 2 (2)解:由(1)得 f ( x ) = cos 2 x .Q f ( ) = , f ( ) = , ∴ cos α = , cos β = .………8 分 3 3 2 3 2 3 2 2 5 π π 2 Q 0 < α < ,0 < β < 。∴ sin α = 1 ? cos 2 α = , sin β = 1 ? cos β = . ……10 分 3 3 2 2 5 4 2? 5 2 2 2 1 ∴ sin(α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β = ……12 分 × ? × = 9 3 3 3 3 ? x + y + z = 100, 17. (1)解:依题意得 ? 由 x + y + z = 100 ,得 z = 100 ? x ? y , ? P = 5 x + 4 y + 3 z. ……3 分 代入 P = 5 x + 4 y + 3 z ,得 P = 300 + 2 x + y .
∴函数 f(x)的最小正周期为 T =

? x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, ? (1)解:依题意知 x、y、z 要满足的条件为 ?300 x + 500 y + 300 z ≥ 35000. …6 分 ?700 x + 100 y + 300 z ≥ 40000. ?
? x ≥ 0, y ≥ 0, ?100 ? x ? y ≥ 0. ? 把 z = 100 ? x ? y 代入方程组得 ? ……9 分 ?2 x ? y ≥ 50, ? y ≥ 25. ?
如图可行域(阴影部分)的一个顶点为 A(37.5,25).…10 分 让目标函数 2 x + y + 300 = P 在可行域上移动,由此可知 P = 300 + 2 x + y 在 A(37.5,25)处取得最小值.11 分 ∴当 x = 37.5( kg ), y = 25( kg ), z = 37.5( kg ) 时,混合食物的成本最少. ………12 分 18.(1)解:作 MO ⊥ 平面 ABCD,垂足为 O,连接 AO,由于 AB ? 平面 ABCD,故 MO ⊥ AB . 作 MP ⊥ AB ,垂足为 P,连接 PO,又 MO 在 Rt△POM 中, PM =

IMP = M ,且 MO ? 平面 MPO, MP ? 平面 MPO,
………… 2 分

∴ AB ⊥ 平面 MPO.由题意知 MO=PO=AP=1, AA1 = 4 ,AD=2,

PO 2 + MO 2 = 2 , 在 Rt△APM 中, AM =

AP 2 + PM 2 = 3 ,……4 分

∴线段 AM 的长为 3 . (2)解:延长 PO 交 CD 于点 Q,连接 MQ,由(1)知 AB⊥平面 MPO. Q MQ ? 平面 MPO,∴ AB ⊥ MQ .

……5 分

Q MN // AB ,∴ MN ⊥ MQ .
在△PMQ 中, MQ = MP =

……6 分

2 ,PQ=2,Q MP 2 + MQ 2 = 4 = PQ 2 ,∴ MP ⊥ MQ

Q MPIMN = M , MP ? 平面 ABNM, MN ? 平面 ABNM, ∴ MQ ⊥ 平面 ABNM.Q MQ ? 平面 CDMN,∴平面 ABNM⊥平面 CDMN. (3)解法 1:作 NP // MP 交 AB 于点 P1,作 NQ1 // MQ 交 CD 于点 Q1, 1
3

由题意知多面体 MN-ABCD 可分割为两个等体积的四棱锥 M-APQD 和 N-P1BCQ1 和一个直三棱柱 MPQ-NP1Q1.

1 1 2 ? AP ? AD ? MO = × 1 × 2 × 1 = , …………10 分 3 3 3 1 1 直三棱柱 MPQ-NP1Q1 的体积为 V2 = ? MP ? MQ ? MN = × 2 × 2 × 2 = 2 ,…11 分 2 2 2 10 ∴多面体 MN-ABCD 的体积为 V = 2V1 + V2 = 2 × + 2 = . ……………12 分 3 3 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的体积为 V3 = AB ? BC ? AA1 = 4 × 2 × 4 = 32 . ………13 分 106 ∴建筑物的体积为 V + V3 = . ………14 分 3
四棱锥 M-APQD 的体积为 V1 = 解法 2:如图将多面体 MN-ABCD 补成一个直三棱柱 ADQ-BCQ1, 依题意知 AQ = DQ = BQ1 = CQ1 = 2 , MQ = NQ1 = 1 ,AD=2. 多面体 MN-ABCD 的体积等于直三棱柱 ADQ-BCQ1 的体积 减去两个等体积的三棱锥 M-ADQ 和 N-BCQ1 的体积.

Q AQ 2 + DQ 2 = 4 = AD 2 ,∴ ∠AQD = 90o . 1 1 直三棱柱 ADQ-BCQ1 的体积为 V1 = ? AQ ? DQ ? AB = × 2 × 2 × 4 = 4 , 2 2 1 1 1 1 1 三棱锥 M-ADQ 的体积为 V2 = ? ? AQ ? DQ ? MQ = × × 2 × 2 × 1 = .…11 分 3 3 2 3 2 2 10 ∴多面体 MN-ABCD 的体积为 V = V1 ? 2V2 = 4 ? = . ……12 分 3 3
长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的体积为 V3 = AB ? BC ? AA1 = 4 × 2 × 4 = 32 .∴建筑物的体积为 V + r3 = 19. (1)解法 1:由 ?

106 .…14 分 3

? y = 2 x + m, ?x = 4 y
2

消去 y,得 x ? 8 x ? 4m = 0 .
2 2

∵直线 l 与抛物线 C2 只有一个公共点,∴ ? = 8 + 4 × 4m = 0 ,解得 m=-4.∴直线 l 的方程为 y=2x-4.…4 分 解法 2:设直线 l 与抛物线 C2 公共点坐标为 ( x0 , y0 ) .由 y = 依题意得

1 2 1 1 x ,得 y '= x ,∴直线 l 斜率 k = y '| x = x0 = x0 1 分 4 2 2

1 x0 = 2 ,解得 x0 = 4 . 把 x0 = 4 代入抛物线 C2 的方程,得 y0 = 4 . 2 ∵点 ( x0 , y0 ) 在直线 l 上,∴ 4 = 2 × 4 + m ,解得 m=-4. ∴直线 l 的方程为 y=2x-4.……4 分
(2)解法 1:∵抛物线 C2 的焦点为 F1 (0,1) ,依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 (0,1), F2 (0,?1) . ……5 分

? y0 ? 1 ? x × 2 = ?1, ? x0 = 4, ? 设点 F1 (0,1) 关于直线 l 的对称点为 F1 ' ( x0 , y0 ) ,则 ? 0 解得 ? ∴点 F1 ' ( 4,?1) .…8 分 ? y0 = ?1. ? y0 + 1 = 2 × x0 ? 4. ? 2 2 ? 3 ∴直线 l 与直线 F1 ' F2 : y = ?1 的交点为 P0 ( ,?1) . ……9 分 2
由椭圆的定义及平面几何知识得: 椭圆 C1 的长轴长 2a =| PF1 | + | PF2 |=| PF1 '| + | PF2 |≥| F1 ' F2 |= 4 , ……11 分 其中当点 P 与点 P0 重合时,上面不等式取等号. ∴当 a=2 时,椭圆 C1 的长轴长取得最小值,其值为 4. ………12 分

y2 x2 3 + = 1 ,点 P 的坐标为 ( ,?1) . …14 分 4 3 2 解法 2:∵抛物线 C2 的焦点为 F1 (0,1) ,依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 (0,1), F2 (0,?1) .…5 分
此时椭圆 C1 的方程为

4

? y = 2 x ? 4, y2 x2 ? 设椭圆 C1 的方程为 2 + 2 = 1(a > 1) ,由 ? y 2 消去 y, x2 a a ?1 ? a 2 + a 2 ?1 = 1 ? 2 2 2 2 得 (5a ? 4) x ? 16( a ? 1) x + ( a ? 1)(16 ? a 2 ) = 0.(*) ……7 分

? 1)] 2 ? 4(5a 2 ? 4)(a 2 ? 1)(16 ? a 2 ) ≥ 0 , 4 2 2 得 5a ? 20a ≥ 0 . 解得 a ≥ 4 . ∴ a ≥ 2 . ……11 分
2

由 ? = [16( a

……………8 分 ………12 分

∴当 a=2 时,椭圆 C1 的长轴长取得最小值,其值为 4.
2 2

y x 3 3 + = 1 . 把 a=2 代入(*)方程,得 x = , y = ?1 ,∴点 P 的坐标为 ( ,?1) .…14 分 4 3 2 2 2 2 (a n ? 1)(a n + 2) a n + a n ? 2 a + a1 ? 2 = 20. (1)解:由于 S n = ,当 n=1 时, a1 = S1 = 1 . ……1 分 2 2 2 2 整理得 a1 ? a1 ? 2 = 0 ,解得 a1=2 或 a1=-1.Q an > 0 ,∴a1 = 2 . ……2 分
此时椭圆 C1 的方程为
2 2 a n + a n ? 2 a n ?1 + a n ?1 ? 2 ? 当 n≥2 时, a n = S n ? S n ?1 = , ……3 分 2 2 2 2 化简得 an ? an ?1 ? an ? an ?1 = 0 ,∴ (a n + a n ?1 )( a n ? a n ?1 ? 1) = 0 . Q an > 0 ,∴ a n ? a n ?1 = 1 .……4 分

∴数列 {an } 是首项为 2,公差为 1 的等差数列.∴ an = 2 + ( n ? 1) = n + 1 .…5 分 (2)解:Q bn =

ln an +1 ln(n + 2) ln 3 ln 4 ln(k + 2) ln(k + 2) = ,∴ b1 ? b2 ? L ? bk = ? ?L? = = log 2 (k + 2) . ln an ln(n + 1) ln 2 ln 3 ln(k + 1) ln 2 m m m 令 log 2 ( k + 2) = m , k = 2 ? 2 则 (m 为整数) 由 1 ≤ 2 ? 2 ≤ 2012 , 3 ≤ 2 ≤ 2014 , , 得 ∴m = 2,3,4,L,10 .
……8 分

∴在区间[1,2012]内的 k 值为 2 2 ? 2,23 ? 2,L,210 ? 2 ,

其和为 ( 2 2 ? 2) + ( 2 3 ? 2) + L + (210 ? 2) = ( 2 2 + 2 3 + L + 210 ) ? 2 × 9 =

ln(n + 3) ln(n + 2) ln(n + 1) b ln(n + 2) ln(n + 3) ? ln(n + 1) > = 1 , ∴ n +1 = = (3)解法 1:Q bn = bn ln(n + 2) ln(n + 1) ln(n + 1) ln 2 (n + 2) ln(n + 1)

22 × (1 ? 29 ) ? 18 =2026 1? 2

…10 分

ln(n + 3) + ln(n + 1) 2 [ ] [ln(n + 3)(n + 1)]2 2 < = < ln 2 (n + 2) 4 ln 2 (n + 2)

? n + 3 + n +1 2? ) ? ?ln( 2 ? ? 4 ln 2 (n + 2)

2

=1. ∴ bn +1 < bn .……14 分

ln(n + 2) ln(n + 1) ln(n + 3) ln(n + 2) ln(n + 3) ? ln(n + 1) ? ln 2 (n + 2) 解法 2:Q bn = > = 1 ,∴ bn +1 ? bn = ? = ln(n + 1) ln(n + 1) ln(n + 2) ln(n + 1) ln(n + 2) ? ln(n + 1) ln(n + 3) + ln(n + 1) 2 ln(n + 3)(n + 1) 2 [ ] ? ln 2 (n + 2) [ ] ? ln 2 (n + 2) 2 2 < = ln(n + 2) ? ln(n + 1) ln(n + 2) ? ln(n + 1) 1 n + 3 + n +1 2 2 [ ln( ) ] ? ln 2 (n + 2) 2 < 2 =0.∴ bn +1 < bn . …………14 分 ln(n + 2) ? ln(n + 1) 1 1 ? ln x ? ? ln( x + 1) ln( x + 1) x 解法 3:设 f ( x ) = ( x ≥ 2) ,则 f ' ( x) = x + 1 . …………11 分 ln 2 x ln x 1 1 1 1 Q x ≥ 2 ,∴ ? ln x ? ? ln( x + 1) < ? ln x ? ? ln( x + 1) < 0 .∴ f ' ( x) < 0 . ……12 分 x +1 x x x ∴函数 f(x)在 [ 2,+∞) 上单调递减.Q n ∈ N * ,∴ 2 ≤ n + 1 < n + 2 .∴ f ( n + 2) < f ( n + 1) . ln(n + 3) ln(n + 2) ∴ < . ∴ bn +1 < bn . ………14 分 ln(n + 2) ln(n + 1)
5

21. (1)解:函数 f(x)的定义域为 (0,+∞) . f ' ( x) = ①当 a=0 时, f ' ( x ) =

1+ x ,Q x > 0,∴ f ' ( x) > 0 ∴函数 f(x)单调递增区间为 (0,+∞) x ax 2 ? x ? 1 ②当 a = 0 时,令 f'(x)=0 得 ? = 0 ,Q x > 0,∴ ax 2 ? x ? 1 = 0 . ∴ ? = 1 + 4a . / x 1 2 (i)当 ? ≤ 0 ,即 a ≤ ? 时,得 ax ? x ? 1 ≤ 0 ,故 f ' ( x ) ≥ 0 ,∴函数 f(x)的单调递增区间为 (0, ∞) . ……4 分 + 4 1 1 ? 1 + 4a 1 + 1 + 4a 2 (ii)当 ? > 0 ,即 a > ? 时,方程 ax ? x ? 1 = 0 的两个实根分别为 x1 = , x2 = .……5 分 2a 2a 4 1 若 ? < a < 0 ,则 x1 < 0, x 2 < 0 ,此时,当 x ∈ (0,+∞) 时, f ' ( x) > 0 .∴函数 f(x)单调递增区间为 (0,+∞) 6 分 4 若 a>0,则 x1 < 0, x 2 > 0 ,此时,当 x ∈ (0, x2 ) 时, f ' ( x) > 0 ,当 x ∈ ( x2 ,+∞) 时, f ' ( x) < 0 ,
1 + 1 + 4a 1 + 1 + 4a ) ,单调递减区间为 ( ,+∞) . 2a 2a 1 + 1 + 4a 1 + 1 + 4a 综上所述,当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为 (0, ) ,单调递减区间为 ( ,+∞) : 2a 2a 当 a ≤ 0 时,函数 f(x)的单调递增区间为 (0,+∞) ,无单调递减区间. ……………8 分 (2)解:由(1)得当 a ≤ 0 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,故函数 f(x)无极值;
∴函数 f(x)的单调递增区间为 (0, ………9 分 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为 (0,

1 ax 2 ? x ? 1 ? ax + 1 = ? . x x

……2 分

1 + 1 + 4a 1 + 1 + 4a ) ,单调递减区间为 ( ,+∞) ; 2a 2a 1 2 1 + 1 + 4a 则 f(x)有极大值,其值为 f ( x2 ) = ln x2 ? ax2 + x2 ,其中 x 2 = . …10 分 2a 2 x ?1 2 2 而 ax 2 ? x 2 ? 1 = 0 ,即 ax 2 = x 2 + 1 ,∴ f ( x2 ) = ln x2 + 2 . …11 分 2 x ?1 x ?1 1 1 设函数 h( x ) = ln x + ( x > 0) ,则 h' ( x) = + > 0 ,则 h( x) = ln x + 在 (0,+∞) 上为增函数. x 2 2 2 x ?1 又 h(1)=0,则 h(x)>0 等价于 x>1.∴ f ( x2 ) = ln x2 + 2 > 0 等价于 x2 > 1 . ………13 分 2 2 即在 a>0 时,方程 ax ? x ? 1 = 0 的大根大于 1, 设 φ ( x) = ax 2 ? x ? 1 ,由于 φ (x ) 的图象是开口向上的抛物线,且经过点(0,-1) ,对称 1 轴x= > 0 ,则只需 φ (1) < 0 ,即 a-1-1<0 解得 a<2,而 a>0,故实数 a 的取值范围为(0,2).………14 分 2a
说明:若采用下面的方法求出实数 a 的取值范围的同样给 1 分.

1 1 + 4a 1 1 1 4 1 + 1 + 4a 1 = + = + + 在 (0,+∞) 是减函数, 2 2a 2a 2 a 2a 2 a 2 a 1 + 1 + 4a 1 + 1 + 4a 而 = 1 时,a=2,故 > 1 的解集为(0,2) ,从而实数 a 的取值范围为(0,2). 2a 2a 1 + 1 + 4a 2.解不等式 > 1 ,而 a>0,通过分类讨论得出实数 a 的取值范围为(0,2) 2a
1.由于

6


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