福建省福州市2014届高三数学毕业班质检试题 理_图文

福建省福州市 2014 届高三数学毕业班质检试题 理(扫描版)新人教 A 版

1

2

3

4

2014 年福州市高中毕业班质量检测 数学(理科)试卷参考答案及评分标准

1—10 11.96

DABCA

DCBBD 13.0 14.18+ 2 3 cm
2

12.1/3

15.8042

16. 解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有 7 件,优等品率为

7 . 10 8 4 乙厂抽取的样本中优等品有 8 件,优等品率为 ? . ………………4 分 10 5

(II) ? 的取值为 1,2,3. ………………5 分

P (? ? 1) ?

1 2 C8 ? C2 1 ? , 3 C10 15

………………7 分

P (? ? 2) ?

1 C82 ? C2 7 ? , ………………9 分 3 C10 15

P(? ? 3) ?

0 C 83 ? C 2 7 ? ………………11 分 3 15 C10

所以 ? 的分布列为

?
P
………………12 分 故 ?的数学期望为( E ?) ? 1?

1

2

3

1 15

7 15

7 15

1 7 7 12 ? 2 ? ? 3 ? ? . ………………13 分 15 15 15 5

2 17. 解:(I) f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x

= cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 = 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 1 ……………2 分 6?

5

令-

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2 k? , k ? Z ,

解得 2k? ?

? ? ………………6 分 ? x ? [0, ] ,?f(x)的递增区间为 [0, ] 2 6 ? ? 1 (Ⅱ)由 f (C ) ? 2 sin(2C ? ) ? 1 ? 2 ,得 sin(2C ? ) ? 6 6 2
而 C ? ? 0, ? ? ,所以 2C ?

? ? 2? ? ? 2 x ? 2k? ? 即 k? ? ? x ? k? ? …………4 分 3 6 3 3

?

? ? 13? ?? , 6 ?6 6

? 5 ? ? ? ,所以 2C ? ? ? 得 C ? ?????????8分 6 6 3 ?
sin A 1 ? , sin B 2

因为向量 m ? (1, sin A) 与向量 n ? ( 2, sin B ) 共线,所以

由正弦定理得:

a 1 ? b 2
2 2 2

①……………10 分

由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cos 由①②解得 a ?

?
3

,即 a +b -ab=9 ②………12 分

2

2

3 , b ? 2 3 ……………13 分

18. 解:(Ⅰ)证明:∵点 E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点,∴EF//BC 又∠ABC=90°∴AE⊥EF,∵平面 AEFD⊥平面 EBCF, ∴AE⊥平面 EBCF,AE⊥EF,AE⊥BE, 又 BE⊥EF,

如图建立空间坐标系 E﹣xyz.……………2 分 翻折前,连结 AC 交 EF 于点 G,此时点 G 使得 AG+GC 最小.

EG=

1 BC=2,又∵EA=EB=2. 2

则 A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0), ∴ =(﹣2,2,2), CG =(-2,-2,0)

??? ?

∴ BD ? CG =(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0,
6

??? ? ??? ?

∴ BD ⊥ CG ………………5 分 (Ⅱ)解法一:设 EG=k,

? AD ∥平面 EFCB ,?点 D 到平面 EFCB 的距离为即为点 A 到平面 EFCB 的距离.

1 [(3- k)+4]×2=7-k 2 1 2 \ VD- GBCF = 鬃 S四形GBCF AE = (7 ? k ) 3 3 1 2 又 VB- ADGE = S四形ADGE BE = (2 ? k ) , 3 3 4 2 ? 2VB- ADGE = VD- GBCF ,? (2 ? k ) = (7 ? k ) , 3 3 ? S四形GBCF =

?k ? 1 即 EG=1…………………8 分 ?? 设平面 DBG 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,∵G(0,1,0),
∴ BG ? (?2,1, 0), BD ? (-2,2,2),

??? ?

??? ?

?? ??? ? ? ??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ?n1 ? BD ? 0 则 ? ?? ??? ,即 ? ? ? ?2 x ? y ? 0 ? ?n1 ? BG ? 0 ? 取 x=1,则 y=2,z=-1,∴ n ? (1, 2, ?1)
面 BCG 的一个法向量为 n2 ? (0, 0,1)

…………………10 分

?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 6 ? ?? 则 cos< n1 , n2 >= ??? ??? 6 | n1 || n2 |

…………………12 分

由于所求二面角 D-BF-C 的平面角为锐角, 所以此二面角平面角的余弦值为

6 ……………………13 分 6

(Ⅱ)解法二:由解法一得 EG=1,过点 D 作 DH ? EF,垂足 H, 过点 H 作 BG 延长线的垂线垂足 O,连接 OD. ∵平面 AEFD⊥平面 EBCF,? DH ? 平面 EBCF,?OD ? OB,所以

?DOH 就 是 所 求 的 二 面 角 D - BG - C 的 平 面
角. …………9 分

7

由于 HG=1,在 ? OHG 中 OH ?

2 5 , 5

又 DH=2,在 ? DOH 中 tan ?DOH ?

DH ? 5 …………11 分 OH

所以此二面角平面角的余弦值为

6 .…………13 分 6

19. 解: (Ⅰ)设动圆圆心 M(x,y), 依题意点 M 的轨迹是以(1,0)为焦点,直线 x=-1 为准线的抛物线………2 分 其方程为 y =4x.- …………3 分 (Ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意得 x1≠x2(否则 ? ? ? ? ? )且 x1x2≠0,则 x1 ?
2

y12 y2 , x2 ? 2 4 4

所以直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y=kx+b, 则将 y=kx+b 与 y =4x 联立消去 x,得 ky -4y+4b=0 由韦达定理得 y1 ? y 2 ? ①当 ? ? ? =
2 2

4 4b -------※…………6 分 , y1 y 2 ? k k

y y ? 时, tan ? ? tan ? ? 1 所以 1 ? 2 ? 1, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,…………7 分 x1 x2 2

所以 y1y2=16,又由※知:y1y2= 恒过定点(-4,0). …………8 分

4b 所以 b=4k;因此直线 AB 的方程可表示为 y=kx+4k,所以直线 AB k

②当 ? ? ? 为定值 ? (0 ? ? ? ? ) 时.若 ? ? ? = 直线 AB 恒过定点 M(-4,0) …………9 分 当? ?

? ,由①知, 2
tan ? ? tan ? 4( y1 ? y 2 ) = 1 ? tan ? tan ? y1 y 2 ? 16

?
2

时,由 ? ? ? ? ? ,得 tan ? ? tan(? ? ? ) =

4 4 ,所以 b ? 4k ? ,…………11 分 b ? 4k tan ? 4 此时,直线 AB 的方程可表示为 y=kx+ 4k ? , tan ?
将※式代入上式整理化简可得: tan ? ?
8

所以直线 AB 恒过定点 ( ?4, 所以当 ? ? 当? ?

? ?
2 2

4 ) …………12 分 tan ?

时,直线 AB 恒过定点(-4,0)., 时直线 AB 恒过定点 ( ?4,

4 ) .…………13 分 tan ?

20. 解:(I)f(x)的定义域为 ( ?
'

1 ,??) . a
a2 x ………1 分 ax + 1

其导数 f ( x) =

1 x+ 1 a

- a= -

①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,函数在 ( ? ②当 a ? 0 时,在区间 (所以 f ( x) 在 (-

1 ,??) 上是增函数;…………2 分 a

1 , 0) 上, f '( x) ? 0 ;在区间(0,+∞)上, f '( x) ? 0 . a

1 , 0) 是增函数,在(0,+∞)是减函数. …………4 分 a 1 (II)当 a ? 0 时, 取 x ? e ? , a 1 1 1 则 f (e ? ) ? 1 ? a(e ? ) ? 2 ? ae ? 0 ? ae ? 1 ? a(e ? ) , 不合题意. a a a 1 当 a ? 0 时令 h( x) ? ax ? f ( x) ,则 h( x) ? 2ax ? ln( x ? ) ………6 分 a
问题化为求 h( x) ? 0 恒成立时 a 的取值范围.

1 ) 1 2 a 由于 h' ( x) ? 2a ? ………7 分 ? 1 1 x? x? a a 1 1 1 ) 上, h' ( x) ? 0 ;在区间 ( ? ,?? ) 上, h' ( x) ? 0 . ?在区间 (- , 2a a 2a 1 1 ? h( x) 的最小值为 h(? ) ,所以只需 h(? ) ? 0 2a 2a 1 1 1 1 e 即 2a ? ( ? ) ? ln(? ? ) ? 0 ,? ln ? ?1 ,? a ? ………9 分 2a 2a a 2a 2 1 (Ⅲ)由于当 a ? 0 时函数在 ( ? ,??) 上是增函数,不满足题意,所以 a ? 0 a 2a ( x ?

9

构造函数: g ( x) ? f (? x) ? f ( x) ( ?

1 ? x ? 0) a 1 1 ? g ( x) ? ln( ? x) ? ln( x ? ) ? 2ax ………11 分 a a

g ' ( x) ?


1 x? 1 a

?

1 x? 1 a

? 2a ?

2ax 2 ?0 1 2 x ? 2 a

所以函数 g ( x) 在区间 ( ?

1 1 , 0) 上为减函数. ? ? ? x1 ? 0 ,则 g ( x1 ) ? g (0) ? 0 , a a

于是 f (- x1 ) - f ( x1 ) > 0 ,又 f ( x1 ) ? 0 , f (- x1 ) > 0 = f ( x2 ) ,由 f ( x) 在 (0, ??) 上为减函数可 知 x2 ? ? x1 .即 x1 ? x2 ? 0 …………………14 分

21. (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 解: (Ⅰ)法一:依题意, ?

? c?d ?6 ?c ? 2 ? 3 3? ,? ? .A?? ? 2 4? ? . ………… 2 分 3 c ? 2 d ? ? 2 d ? 4 ? ? ? ?

所以 A

?1

? 2 ? ?? 3 ?? 1 ? ? 3
?3

1? ? ? 2 ? …………4 分 1 ? ? 2 ?
? 0即?2 ? ( 3 ? d )? ? 3d ? 3c ? 0 的两个根为 6 和 1, ? 3 3? ? ? …………2 分 2 4 ? ?

法二:

? ?3
?c

? ?d

故 d=4,c=2. ? A ? ? ?

所以 A

?1

? 2 ? ?? 3 ?? 1 ? ? 3

1? ? ? 2 ? -…………4 分 1 ? ? 2 ?

(Ⅱ)法一: ? ?

? ? 1? ?1? ? 3 ? ? ? =2 ? ? ? ? …………5 分 ? ? ? -? ? 4 ? ?1? ? ? 2 ?

A3 ? ?

1 3 ? ? 429? ? ? 1? 3? ? 3? ? ? ? ? =2×6 - 1 ? 434? ? …………7 分 ? ? ? 2? ? =? ?1? 4 ? ? ? ? ? ? ? ?

10

法二: A ? ? ?2 ?
2

? 3 3 ?? 3 3 ? ? 15 21? 3 ? 15 21?? 3 3 ? ? 87 129? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ?; A ? ? ? 14 22? ?? ? ??? ? ? 4? ?? 2 4 ? ? 14 22? ? ?? 2 4 ? ? 86 130?

A3 ? ?

? ? 1 ? ? 87 129?? ? 1 ? ? 429? ? ? ? ? =? ? ?? ? ? ??? ? ? …………7 分 ? 4 ? ? 86 130?? 4 ? ? 434?

(2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程. 解:(Ⅰ)(曲线 C 的直角坐标方程为 y =4x, 直线 l 的普通方程 x-y-2=0. ………..4 分
2

? ? x ? ?2 ? ? (Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?
2

2 t 2 (t 为参数), 2 t 2

代入 y =4x, 得到 t ? 12 2t ? 48 ? 0 ,设 M,N 对应的参数分别为 t1,t2
2

则 t1 ? t 2 ? 12 2 , t1t 2 ? 48 ? 0 所以|PM|+|PN|=|t1+t2|= 12 2 …………7 分 (3) )(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 解:(Ⅰ)法 1: f(x)=|x-4|+|x-3|≥|(x-4)-(x-3)|=1, 故函数 f(x)的最小值为 1. m=1. …………4 分

?2 x ? 7, x ? 4 ? 法 2: f ( x ) ? ? 1,3 ? x ? 4 .------------------1 分 ?7 ? 2 x , x ? 3 ?
x≥4 时,f(x)≥1;x<3 时,f(x)>1,3≤x<4 时,f(x)=1,----------------3 分
故函数 f(x)的最小值为 1. m=1. …………4 分

(Ⅱ)由柯西不等式(a +b +c )(1 +2 +3 )≥(a+2b+3c) =1----------5 分

2

2

2

2

2

2

2

1 -…………6 分 14 1 1 3 当且仅当 a ? 时取等号…………7 分 ,b ? ,c ? 14 7 14
故 a +b +c ≥
2 2 2

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