湖南省株洲市第十八中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题A 理

株洲市第十八中学 2015 年下学期数学考试试卷 高二年级理科数学 A 卷
时量 120 分钟 总分 150 分 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.复数 z=

2?i 的共轭复数是( i
B. ? 2i ? 1

) C.-1+2i D. 1 ? 2i

A.2+i

2.下列有关命题的说法错误的是( ) 2 2 A. 命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 2 B. “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C. 若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题 2 2 D. 对于命题 p:? x∈R,使得 x +x+1<0.则¬p:? x∈R,均有 x +x+1>0 3. 已知双曲线 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 a b 2
B. y ? ?

A. y ? ?

1 x 4

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

2 4. 设曲线 y ? ax 在点 x=1 处的切线与直线 2 x ? y ? b ? 0 平行,则 a ? (



A.1

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?1

5、 已知空间向量 a =(1, n,2),b =( ? 2,1,2), 若 2 a ? b 与 b 垂直, 则| a |等于 ( A. 5 2 3 B. 3 2 5 C. 37 2 D. 21 2

?

?

?

?

?

?



6、 在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M 为 A1C1 与 B1 D1 的交点。 若 AB ? a ,AD ? b , ) AA1 ? c , 则与 BM 相等的向量是( ? ? ? 1 1 1? 1? ? A. ? a ? b ? c B. a ? b ? c 2 2 2 2 ? ? ? ? 1 1 1 1? ? C. ? a ? b ? c D. a ? b ? c 2 2 2 2 2 2 x y ? ? 1 过点 P(2,1)作弦且弦被 P 平分, 7. 已知椭圆 16 4 则此弦所在直线方程为( A、 2 x ? y ? 3 ? 0
3

D1 A1

M B1

C1

D A B

C

) B、 2 x ? y ? 1 ? 0
2

C、 x ? 2 y ? 1 ? 0

D、 x ? 2 y ? 4 ? 0

8. 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数 , 则实数 a 的取值范围是
1



) B. (??,? 3] ? [ 3,??) C. (??,? 3) ? ( 3,??)
2

A. (? 3, 3)

D. [ ? 3 , 3 ]

9. 已知抛物线 y =4x,椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,它们有共同的焦点 F2,若 P 是两曲线的一个公共 9 b
) D.

点,且 F1 是椭圆的另一个焦点,则△PF1F2 的面积为 ( A. 2 6 B. 6 C. 3

2


10、正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 AB ? A、 60 11 .已知
0

2BB1 ,则 AB1 与 C1 B 所成角的大小为(
0

B、 90 是y?

0

C、 75

D、 105

0

1 2 x 上一点, 4


为抛物线焦点, A C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 上,则

MA ? MF 的最小值(
A、4 B、5
3 2

C、6

D、7

12.已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围 为( )

A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分.共 20 分) 13.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市;乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市.
2

由 此可判断乙去过的城市为 .

.

14.由曲线 y= x 与直线 y=1 围成的封闭图形的面积为

x 2 15、已知命题 P: ?x ? [0,1], a ? e ;命题 q: ?x ? R, x ? 4 x ? a ? 0 。命题“ p ? q ”是

真命题,则实数 a 的取值范围 16.如图(1)所示,已知点 P 为双曲线



x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上一点, F1 , F2 分别为 a2 b2

双曲线的左右焦点,且 | F1 F2 |?

b2 ,I 为三角形 PF1 F2 的内心,若 a

S?IPF ? S?IPF ? ?S?IF F
1 2

1 2

成立, 则 ? 的值为

三.解答题:(六个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤.)

图(1)

2

17. (本小题 8 分)已知命题 p:方程 4 x 2 ? 4((m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根;命题 q: 方程

x2 y2 ? ? 1 图象是焦点在 x 轴上的双曲线。又 p ? q为真,?p为真, 求实数 m 的取值 2m m ? 1
范围。

2 2 18.(满分 12 分)已知直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1交于 A,B 两点。

(1)求 a 的取值范围; (2)若以 AB 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值。

4 4 19、(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ln x ? bx ? c( x ? 0) 在 x ? 1 处取得极 值 ?3 ? c ,其中 a、b 、c 为常数.

(Ⅰ)试确定 a、b 的值;
2 (Ⅱ)若对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? ?2c 恒成立,求 c 的取值范围.

20.(本小题 12 分)如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90?, CD / / AB, AB ? 4 ,

AD ? CD ? 2 ,点 M 为线段 AB 的中点,将 ? ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面

3

ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示.
(Ⅰ)求证: BC ? 平面 ACD ; (Ⅱ)求二面角 A ? CD ? M 的余弦值. C D

D

C

A

M 图1

B

B A M 图2

21.(本小题共 13 分)

x 2 ? ax ? b 已知函数 f ( x) ? 经过点(0,3),且在该点处得切线与 x 轴 平行 ex
(1) 求 a,b 的值; (2)若 x ? (t , t ? 1) ,其中 t ? ?2 ,讨论函数 y ? f ( x) 的单调区间。

x2 y2 1 22.(本题满分 13 分) 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的离心率为 , 以坐标原点为圆 2 a b
心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设点 P(4,0),A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连接 PB 交椭圆 于另一点 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。

4

株洲市第十八中学 2016 年上学期期末考试答案 高二年级 理科数学 时量 120 分钟 总分 150 分 _____________ 一. 选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.) 题号 答案 1 C D 2 C 3 A 4 B 5 A 6 D 7 8 D B 9 B 10 B 11 A 12

二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分.)

13.



14._____

4 __ 3

姓名 线

15.

a ? [e,4]

16.

2 ?1

选修 2-1 第一章 2,15 第二章 3,7,9,11,16 第三章 5,6,10 选修 2-2 第一章 4,8,12,14,第二章 13 第三章 1 班级

二. 解答题:(六个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题 8 分)已知命题 p:方程 4 x 2 ? 4((m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根;命题 q: 方程

座位号 封

x2 y2 ? ? 1 图象是焦点在 y 轴上的双曲线。又 p ? q为真,?p为真, 求实数 m 的取值 2m m ? 1
范围。 答案:m ? 3

18.(满分 12 分)已知直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1交于 A,B 两点。 (1)求 a 的取值范围;

考场号 密

(2) 若以 AB 为直径的圆过坐标原点, 求实数 a 的值。 答案:(1) a ? (? 6,? 3) ? (? 3, 3) ? ( 3, 6 ) (2) a ? ?1

4 4 19、(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ln x ? bx ? c( x ? 0) 在 x ? 1 处取得极

5

值 ?3 ? c ,其中 a、b 、c 为常数. (Ⅰ)试确定 a、b 的值; (Ⅱ)若对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? ?2c 2 恒成立,求 c 的取值范围. 答案:(1)a=12,b=-3 (2) c ? 1或c ? ?

3 2

20.( 本小题 12 分)如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90?, CD / / AB, AB ? 4 ,

AD ? CD ? 2 ,点 M 为线段 AB 的中点,将 ? ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面
ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示.
(Ⅰ)求证: BC ? 平面 ACD ; (Ⅱ)求二面角 A ? CD ? M 的余弦值. C D

D

C

A

M 图1

B

B A M 图2

答案:(1)略(2)

3 3

21.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

x 2 ? ax ? b 经过点(0,3),且在该点处得切线与 x 轴平行 ex


(1) 求 a,b 的值; (2) 若 x ? (t , t ? 1) , 其中 t ? ?2 , 讨论函数 y ? f ( x) 的单调区间。 案:(1)a=-3,b=3 (2)分类讨论

22.(本题满分 13 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的离心率为 , 以坐标原点为圆 2 2 a b

心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设点 P(4,0),A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连接 PB 交椭圆 于另一点 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。
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