2017学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1数系的扩充和复_图文
3.1
3.1.1
数系的扩充和复数的概念
数系的扩充和复数的概念
考
纲
定
位
重
难
突
破
1.了解数系的扩充过程． 2.理解复数的基本概念以及 复数相等的充要条件． 3.了解复数的代数表示方法.
重点：1.复数的基本概念、复数相等． 2.复数的表示方法及有关概念． 3.复数的分类和复数相等的充要条件． 难点：1.复数的代数形式及其分类． 2.复数相等的充要条件.
01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、复数的概念及代数表示 1．定义：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中 i 叫作虚数单位，满足 i2＝ －1 . 2．表示：复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫作复数的 代数形式，a 与 b 分别叫作复数 z 的 实部 与 虚部 ．
二、复数的分类 1．复数：a＋bi(a，b∈R) ?实数?b＝0? ? ? ? ?纯虚数?a＝0? ?虚数?b≠0?? ? ?非纯虚数?a≠0? ? 2．集合表示
三、复数相等的充要条件 设 a，b，c，d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di? a＝c 且 b＝d .
[双基自测]
1．复数 3－i 的虚部为( A． 1 C． i ) B．－1 D．－i
解析：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为 b，故选 B.
答案：B
2．下列复数中，和复数－1＋i 相等的复数为( A．－1－i C．1＋i B．1－i D．i2＋i
)
解析：∵i2＝－1，∴i2＋i＝－1＋i，故选 D.
答案：D
3．z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有( A．m＝± 1 C．m＝1 B．m＝－1 D．m≠1
2 ? ?m －1＝0， 是纯虚数，∴? ? ?m－1≠0，
)
解析：∵z
? 1， ?m＝± 解得? ? ?m≠1，
∴m＝－1.故选 B.
答案：B
探究一 [典例 1]
复数的概念
(1)下列说法错误的有________．(填序号)
①若 z∈C 时，z2≥0；②若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数；③若 a>b，则 a＋i>b＋i. (2)给出以下命题： ①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②形如 a＋bi 的数一定是虚数；③两个复数不能 比较大小；④若 a∈C，则(a＋3)i 是纯虚数． 其中正确命题的个数是________．
[解析] (1)①错误，若 z＝i，则 z2＝－1<0；②错误，当 a＝－1 时，(a＋1)i＝0∈R； ③错误，两个虚数不能比较大小． (2)①复数由实数和虚数组成，虚数中包含着纯虚数，故①错；②形如 a＋bi 的数不 一定是虚数，也可能是实数，故②错；③中两个复数并非不可以比较大小，当两个 复数都是实数时就可以比较大小，故③错；④中当 a＝－3 时，(a＋3)i＝0，不是纯 虚数，故④错．因此正确命题的个数为 0.
[答案]
(1)①②③
(2)0
解答复数的概念类问题： 1．虚数单位的性质 i2＝－1,1· i＝i,0· i＝0. 2．复数的实部与虚部的确定方法 首先将所给的复数化简为复数的代数形式， 然后根据实部与虚部的概念确定实 部、虚部．
1．若复数 z＝3＋bi>0(b∈R)，则( A．b>0 C．b<0
)
B．b＝0 D．以上都不正确
解析：只有实数才可比较大小，既然有 z＝3＋bi>0，则说明 z＝3＋bi 是实数， 故 b＝0.
答案：B
2．给出下列三个命题： ①1＋i2＝0； ②若 z∈C，则 z2≥0； ③复数 3－4i 的实部与复数 4－3i 的虚部相等． 其中正确命题的个数为( A． 0 C． 2 ) B．1 D． 3
解析：因为 i2＝－1，故 1＋i2＝0，即①正确；②错误，如 i∈C，但 i2＝－1<0； 复数 3－4i 的实部是 3，复数 4－3i 的虚部是－3，所以③不正确．
答案：B
探究二
复数的分类
[典例 2] 实数 m 为何值时， z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i 是(1)实数？(2)虚数？ (3)纯虚数？
[解析] (1)若 z 为实数，则
? ?m≠－1， 即? ? ?m＝－2或m＝－1，
2 ? ?m ＋2m＋1>0， ? 2 ? ?m ＋3m＋2＝0，
解得 m＝－2. ∴当 m＝－2 时，z 为实数． (2)若 z
2 ? ?m ＋2m＋1>0， 是虚数，则? 2 ? ?m ＋3m＋2≠0，
? ?m≠－1， 即? ? ?m≠－2且m≠－1，
解得 m≠－2 且 m≠－1. ∴当 m≠－2 且 m≠－1 时，z 为虚数． (3)若 z
2 ? ?lg?m ＋2m＋1?＝0， 为纯虚数，则? 2 ? ?m ＋3m＋2≠0，
2 ? ?m ＋2m＋1＝1， 即? 2 ? ?m ＋3m＋2≠0，
? ?m＝0或m＝－2， 即? ? ?m≠－1且m≠－2.
解得 m＝0. ∴当 m＝0 时，z 为纯虚数．
解答复数的分类问题的方法： 解决这类复数的分类问题时，主要依据复数 z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数、 纯虚数的充要条件进行求解， 列出相应的等式或不等式组求出参数的值或范围， 但若已知的复数 z 不是 a＋bi(a，b∈R)的形式，应先化为这种形式，得到复数 的实部、虚部再进行求解．
3．实数 m 取什么值时，复数(m2－3m＋2)＋(m2－4)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解析：设 z＝(m2－3m＋2)＋(m2－4)i. (1)要使 z 为实数，必须有 m2－4＝0， 得 m＝－2 或 m＝2，即 m＝－2 或 m＝2 时，z 为实数． (2)要使 z 为虚数，必须有 m2－4≠0， 即 m≠－2 且 m≠2， 故 m≠－2 且 m≠2 时，z 为虚数．
(3)要使 z 为纯虚数，必须有
2 ? ?m －4≠0， ? 2 ? ?m －3m＋2＝0.
? ?m≠－2且m≠2， 所以? ? ?m＝1或m＝2，
所以 m＝1，即 m＝1 时，z 为纯虚数．
探究三 [典例 3]
复数相等
根据下列条件，分别求实数 x，y 的值．
(1)x2－y2＋2xyi＝2i； (2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.
[解析]
(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，x，y∈R，
? ?x＝1， 解得? ? ?y＝1， ? ?x＝－1， 或? ? ?y＝－1.
2 2 ? ?x －y ＝0， ∴? ? ?2xy＝2，
(2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且 x，y∈R，
? ?2x－1＝y， ∴? ? ?1＝－?3－y?，
5 ? ?x＝ ， 2 解得? ? ?y＝4.
怎样解答复数相等问题？ 1．必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列 方程组求解． 2．根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提 供了条件，同时这也是复数问题实数化的体现．
4．已知复数 z＝x＋yi(x，y∈R)，且 x，y 满足 2x y＋xi＝8＋(1＋y)i，求复数 z.
＋
解析：∵2x y＋xi＝8＋(1＋y)i，x，y∈R，
＋
x＋y ? ?2 ＝8， ∴? ? ?x＝1＋y，
? ?x＋y＝3， 即? ? ?x－y＝1，
? ?x＝2， 解得? ? ?y＝1.
∴z＝2＋i.
[典例]
m－ 3 (本题满分 12 分)若复数 z＝ ＋ m2－mi(m∈R)是虚数，求实数 m 的取 m＋ 2
值范围．
[解析]
m－ 3 因为复数 z＝ ＋ m2－mi(m∈R)是虚数， m＋ 2
所以 m＋2≠0，且 m2－m>0，……………………………………………………6 分 解得 m>1 或 m<0 且 m≠－2， 故实数 m 的取值范围是(－∞，－2)∪(－2,0)∪(1，＋∞). ……………………12 分
[反思提升] 1.要牢记复数 z＝a＋bi(a， b∈R)为实数、 虚数或纯虚数的充要条件， 并且注意所给条件式中其他的对参数范围起到限制作用的因素，如本例中 m＋ 2≠0，m2－m>0. 2．解题时，要注意一些隐含因素及条件对解题的影响，找出满足要求的所有题 目条件进行求解.
[随堂训练]
2 1．在 2＋ 7， i,0,8＋5i，(1－ 3)i,0.618 这几个数中，纯虚数的个数为( 7 A． 0 C． 2 B．1 D． 3 )
2 解析： i，(1－ 3)i 是纯虚数，2＋ 7，0,0.618 是实数，8＋5i 是虚数． 7
答案：C
2．以－ 5＋2i 的虚部为实部，以 5i＋2i2 的实部为虚部的复数是( A．2－2i C．－ 5＋ 5i B．2＋2i D. 5＋ 5i
)
解析：－ 5＋2i 的虚部为 2， 5i＋2i2＝－2＋ 5i，其实部为－2，故所求复数为 2 －2i.
答案：A
3．下列命题： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则 x＝± 1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．
解析：当 a＝－1 时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对； 若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i
2 ? ?x －1＝0， 是纯虚数，则? 2 ? ?x ＋3x＋2≠0，
即 x＝1，故②错．
答案：③
4．已知(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i，则实数 x＝________，y＝________.
解析：∵x，y 是实数， ∴根据两个复数相等的充要条件， 9 ? ? ?x＝4， ?3x＋y＝7x－5y， 可得? 解得? ? ?2x－y＝3， ?y＝3. ? 2
9 答案： 4
3 2