(同步精品课堂)2016-2017年度高中数学 专题3.4 基本不等式讲义(提升版)新人教A版必修5_图文

3.4基本不等式

教学目标
1.利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题;(重点) 2.会合理拆项或凑项,会应用基本不等式;(重点) 3.会求给定条件的最值问题; 4.能证明一些简单的不等式.

基础回扣
1.基本不等式 ab ? a ? b (1)基本不等式2 成立的条件:_a_?__0_,b__?_0__.
(2)等号成立的条件:当且仅当__a _= _b __时取等号.

2.基本不等式常用变形:

(1) a2?b2?2ab(a,b∈R). (2) a ? b ? 2 (a,b同号). ba

(3)ab ? (a ? b)2 (a,b∈R). (4) a2 ?b2 ?(a?b)2 (a,b∈R).

2

2

2

3.算术平均数与几何平均数:设a>0,b>0,则a,b的算术平均 数为__a _?2 _b__,几何平均数为____a b__,基本不等式可叙述为:两个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
4.利用基本不等式求最值问题:
已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当____x_=__y___时,x+y有
最小值是__2__p__.(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当_x_=__y__时,xy有最大
值是__p_2___.(简记:和定积最大) 4

问题探讨与解题研究 类型一 求含有两个变量的最值问题

【例1】(1)若x>-3,则x+ 2 的最小值为_______.

x?3

(2)已知a,b为正实数且a+b=1,则(1+ 1 )(1+1 )的最小值为___.

a

b

【解题指南】(1)将原式等价变形构造出应用基本不等式形式

可解. (2)将 1 与 中1 的1用a+b代换整理后利用基本不等式可求.
ab

【规范解答】(1)由x>-3得x+3>0,

又x+ 2 =x+3+ 2 -3≥2 -32 ,等号成立的条件是

x?3

x?3

x+3= 2 ,即x= -23.
x?3

答案:2 2-3

(2)∵a>0,b>0,a+b=1,

∴1+ 1 =1+ a ? =b 2+ b ,同理1+ =1 2+ a ,

a

a

a

b

b

∴(1+ 1 )(1+ )1 =(2+ b)(2+ )a =5+2( +b )a≥5+4=9,等号成立

a

b

a

b

ab

的条件为a=b=1 .
2

答案:9

【小结】求条件最值的策略 求条件最值是基本不等式的一个重要应用.应用基本不等式 求最值时,①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添 加系数使之能够出现定值是解题的关键;②必须指出等号成 立的条件.

类型二、利用基本不等式证明简单的不等式 例1、已知 a>0,b>0,a+b=1, 求证:(1?1)(1? 1) ?9.
ab
分析:由于不等式左边含字母a,b,右边无字母,直接使用 基本不等式,既无法约掉字母,不等号方向又不对,因 a+b=1,能否把左边展开,实现“1”的代换?

证明:由a ? b ? 1 ? 2 ab

得ab ? 1 ,从而 1 ? 4.

4

ab

(1? 1 )(1? 1 ) ? 1? 1 ? 1 ? 1 ? 1? a ? b ? 1

ab

a b ab

ab ab

? 1? 2 ? 9. ab

当且仅当 a ? b ? 1 时取等号. 2

练习: (1)证明不等式:a4+b4+c4+d4≥4abcd; (2)已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:1+1≥4.
ab

证明:(1)a4+b4+c4+d4≥2a2b2+2c2d2 =2(a2b2+c2d2)≥2·2abcd=4abcd. 原不等式得证. (2)∵a>0,b>0,a+b=1, ∴1a+1b=a+a b+a+b b=2+ba+ab≥2+2 ∴1a+1b≥4. 所以原不等式成立.

ba·ab=4.

【小结】利用基本不等式证明其他不等式的两个思路 (1)利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不 等式的形式,若不能直接使用基本不等式证明,则考虑对代数式 进行拆项、变形、配凑等,使之达到能使用基本不等式的条件; (2)若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式 之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解 题中要时刻注意等号能否取到.

类型二、利用基本不等式解决恒成立问题
例 1、若对任意 x>0,x2+3xx+1≤a 恒成立,则 a 的取值范围是______.
【分析】先求x2+3xx+1(x>0)的最大值,要使得x2+3xx+1≤a(x>0) 恒成立,只要x2+3xx+1(x>0)的最大值小于等于 a 即可.

解析:若对任意 x>0,x2+3xx+1≤a 恒成立,只需求得 y=x2+3xx+1

的最大值即可,因为 x>0,所以 y=x2+3xx+1=x+11+3≤2 x

1 x·1+3
x

=1,当且仅当 5

x=1

时取等号,所以

a

的取值范围是[

1 5

,??)



【小结】当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出 时,可直接求出这个最值(最值可能含有参数),然后建立 关于参数的不等式求解.

【练习】已知 x>0,y>0,xy=x+2y,若 xy≥m-2 恒成立,则实数 m 的最大值是__________.
解析:由 x>0,y>0,xy=x+2y≥2 2xy,得 xy≥8,于是 由 m-2≤xy 恒成立,得 m-2≤8,m≤10,故 m 的最大值为 10.

当堂检测 1.若正数a,b满足ab-(a+b)=1,则a+b的最小值是( )

(A)2 ? 2 2

(B) 2 2 ? 2 (C) 5 ? 2

(D) 5 ? 2

【解析】选A.由于ab-(a+b)=1,∴ab=a+b+1.而 ab ? (a ? b)2

2

a+b+1?(a?b)2,令a+b=t(t>0), ? t ?1 ? 1 t2

2

4

解得 t?2?2 2,即 a?b?2?2 2

2.(2013·梅州模拟)设 x,y 均为正实数,且2+1 x+2+1 y=13, 则 xy 的最小值为__________.
解析:2+1 x+2+1 y=13可化为 xy=8+x+y,∵x,y 均为正 实数,∴xy=8+x+y≥8+2 xy(当且仅当 x=y 时等号成立), 即 xy-2 xy-8≥0,解得 xy≥4,即 xy≥16,故 xy 的最小值 为 16.
答案:16

3、已知a>0,b>0,若不等式 2 ? 1 ? m 恒成立,则m的最 a b 2a ?b
大值等于( )

(A)10

(B)9

(C)8

(D)7

【解析】选B. 由于a>0,b>0,所以不等式可化为

m?(2a?b)(2?1), 而(2 a?b )(2?1)?4?2 a?2 b? 1?5?2 2ag2b ? 9,

ab

ab b a

ba

当且仅当 2 a ? 2 b , 即a=b时(2a ?b)(2 ? 1)

ba

ab

取最小值9,所以不等式恒成立时m的最大值等于9.

4.下列结论中正确的是( )

(A)若a>0,则(a?1)(1?1)?2 (B)若x>0,则 ln x? 1 ?2

a

ln x

(C)若a+b=1,则 a 2 ? b2 ? 1 2

(D)若a+b=1,则 a 2 ? b2 ? 1 2

【解析】选C.当a>0时,有(a?1)(1?1)?2 ag2 1?4, 故A错误.

a

a

当x>0时,不一定有ln x>0,故 ln x? 1 ?2 不一定成立,

ln x

B错误.当a+b=1时,ab?(a?b)2 ?1,故a2+b2=(a+b)2-2ab=1-

2ab≥1? 2? 1 ? 1,

24 因此C正确,D错误.

42

四、课堂小结 1、应用基本不等式求最值时,①通过对所给式进行
巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解 题的关键;②必须指出等号成立的条件.
2、利用基本不等式证明不等式时,若不能直接使用 基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑 等,使之达到能使用基本不等式的条件。


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