标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4:第一章 1.2 1.2.1 第二课时 三角函数线

第二课时 三角函数线 预习课本 P15~17,思考并完成以下问题 (1)有向线段是如何定义的? (2)三角函数线是如何定义的? [新知初探] 1.有向线段 带有方向的线段叫做有向线段. 2.三角函数线 图示 正弦线 余弦线 正切线 [点睛] α 的终边与单位圆交于 P,过 P 作 PM 垂直于 x 轴,有向线段 MP 即为正弦线 有向线段 OM 即为余弦线 过 A(1,0)作 x 轴的垂线, 交 α 的终边或其终边的反向延长线于 T,有向线段 AT 即为正切线 三角函数线都是有向线段.因此在用字母表示这些线段时,也要注意它们的方 向,分清起点和终点,书写顺序也不能颠倒. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值.( ) ) ) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负.( (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线.( 答案:(1)× (2)√ (3)× 2.已知角 α 的正弦线的长度为单位长度,那么角 α 的终边( A.在 x 轴上 C.在直线 y=x 上 答案:B B.在 y 轴上 D.在直线 y=-x 上 ) 3.角 α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异,那么 α 的值为( A. C. π 4 7π 4 B. 3π 4 3π 7π 或 4 4 ) D. 答案:D 4.sin 1.5________ sin 1.2.(填“>”或“<”) 答案:> 三角函数线的作法 [典例] [解] 3π 作出 的正弦线、余弦线和正切线. 4 3π 角 的终边(如图)与单位圆的交点为 P.作 PM 垂直于 x 轴, 4 3π 的终边的反向延长线交 4 垂足为 M,过 A(1,0)作单位圆的切线 AT,与 于点 T,则 3π 的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正切线为 AT. 4 三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作 x 轴的 垂线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线. (2)作正切线时,应从 A(1,0)点引 x 轴的垂线,交 α 的终边(α 为第一或第四象限角)或 α 终边的反向延长线(α 为第二或第三象限角)于点 T,即可得到正切线 AT. [活学活用] 作出- 9π 的正弦线、余弦线和正切线. 4 解:如图所示, - 9π 的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正切线为 AT. 4 三角函数线的应用 题点一:利用三角函数线比较大小 1.利用三角函数线比较下列各组数的大小: ①sin 2π 4π 2π 4π 与 sin ;②tan 与 tan . 3 5 3 5 2π 的终边与单位圆的交点为 P,其反向延长线与 3 2π = 3 解:如图所示,角 单位圆的过点 A 的切线的交点为 T, 作 PM⊥x 轴, 垂足为 M, sin MP,tan 2π =AT; 3 4π 的终边与单位圆的交点为 P′,其反向延长线与单位圆的过点 A 的切线的交点为 5 T′,作 P′M′⊥x 轴,垂足为 M′,则 sin 4π 4π =M′P′,tan =AT′, 5 5 由图可见,MP>M′P′>0,AT<AT′<0, 所以①sin 2π 4π 2π 4π >sin ,②tan <tan . 3 5 3 5 题点二:利用三角函数线解不等式 2.在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围,并由此写出角 α 的集合: (1)sin α≥ 3 1 ;(2)cos α≤- . 2 2 3 交单位圆于 A,B 两点,连接 OA,OB,则 OA 与 OB 围成的区域 2 解:(1)作直线 y= (图①阴影部分)即为角 α 的终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为 ? ? ? π 2π ?α 2kπ+ ≤α≤2kπ+ ,k∈Z ?. 3 3 ? ? ? 1 (2)作直线 x=- 交单位圆于 C,D 两点,连接 OC,OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图 2 ②中阴影部分)即为角 α 终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为 ? ? ? 2π 4π ?α 2kπ+ ≤α≤2kπ+ ,k∈Z ?. 3 3 ? ? ? 题点三:利用三角函数线求函数的定义域 3.求函数 f(x)= 1-2cos x+ln sin x- ? ? 2? 的定义域. 2? 解:由题意,得自变量 x 应满足不等式组 1-2cos x≥0, ? ?cos x≤2, ? ? 即? 2 2 sin x- >0, ? 2 ? ?sin x> 2 . 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示, 1 ? π 3π 即定义域为?x?2kπ+ 3≤x<2kπ+ 4 ,k∈Z ? ? ? ?. ? 1.利用三角函数线比较大小的两个关注点 (1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现,从三角函数线的方向可以看出三角函数 值的正负,其长度是三角函数值的绝对值. (2)比较两个三角函数值的大小,不仅要看其长度,还要看其方向. 2.利用三角函数线解三角不等式的方法 (1)正弦、余弦型不等式的解法. 对于 sin x≥b,cos x≥a(sin x≤b,cos x≤a),求解关键是恰当地寻求点,只需作直线 y =b 或 x=a 与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即 可确定相应的范围. (2)正切型不等式的解法. 对于 tan x≥c,取点(1,c)连接该点和原点并反向延长,即得角的终边所在的位置,结 合图象可确定相应的范围. 3.利用三角函数线求函数的定义域 解答此类题目的关键在于借助于单位圆,作出等号成立时角 α 的三角函数线,然后运 用运动的观点,找出符合条件的角的范围.在这个解题过程中实现了一个转化,即把代数 问题几何化,体现了数形结合的思想. 层级一 π 6π 1.角 和角 有相同的( 5 5 A.正弦线 C.正切线 )

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