2017-2018学年高中数学选修4-4 同步精练:1.2.1-1.2.2极坐标系的概念 点的极坐标与直角坐标的互化

§ 2 2.1 2.2 极坐标系 极坐标系的概念 点的极坐标与直角坐标的互化 课后篇巩固探究 A组 1.极坐标为 的点的直角坐标为( ) A.(π,π) B.(π,-π) C.(-π,π) D.(-π,-π) 解析: 设点的直角坐标为(x,y),则有 x= π· cos =π,y= π· sin =-π,故直角坐标为(π,-π). 答案: B 2.下列极坐标对应的点中,在直角坐标平面的第三象限内的是( ) A.(3,4) B.(4,3) C.(3,5) D.(5,6) 答案: A 3.已知极坐标平面内的点 P ,则点 P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为 ( ) A. ,(1, ) B. ,(1,- ) C. ,(-1, ) D. ,(-1,- ) 解析: 易知点 P 关于极点的对称点的极坐标为 , 由 x=ρcos θ=2×cos =-1,y=ρsin θ=2×sin =- ,知点 P 关于极点的对称点的直角坐标为(-1,- ). 答案: D 4.已知点 M 的直角坐标是(2,-2 ),则在下列极坐标中,不是点 M 的极坐标的是( ) A. B. C. D. 解析: ρ= =4,tan θ= =- . 又点 M 在第四象限,故点 M 的极坐标为 . 答案: C 5.若点 M 的极坐标为 ,则点 M 关于 y 轴对称点的直角坐标为 . 解析: ∵点 M 的极坐标为 , ∴x=6cos =6cos =6× =3 , y=6sin =6sin =-3, ∴点 M 的直角坐标为(3 ,-3), ∴点 M 关于 y 轴对称的点的直角坐标为(-3 ,-3). 答案: (-3 ,-3) 6.已知点 P 在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为 2,则当 ρ>0,θ∈[0,2π)时,点 P 的极坐 标为 . 解析: ∵点 P(x,y)在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为 2,∴x=-2,且 y=-2. =2 . 又 tan θ= =1,且 θ∈[0,2π), ∴θ= π. ∴点 P 的极坐标为 . 答案: 7.将下列极坐标化成直角坐标. (1) ;(2) ;(3)(5,π). 解 (1)因为 x= · cos =1,y= · sin =1, 所以点 的直角坐标为(1,1). (2)因为 x=6· cos =3,y=6· sin =-3 . 所以点 的直角坐标为(3,-3 ). (3)因为 x=5· cos π=-5,y=5· sin π=0, 所以点(5,π)的直角坐标为(-5,0). 8. 导学号 73144009 分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). (1)(-1,1);(2)(4,-4 ); (3) ;(4)(- ,- ). 解 (1)ρ= ,tan θ=-1,θ∈[0,2π), 因为点(-1,1)在第二象限,所以 θ= , 所以直角坐标(-1,1)化为极坐标为 . (2)ρ= =8,tan θ= =- ,θ∈[0,2π), 因为点(4,-4 )在第四象限,所以 θ= . 所以直角坐标(4,-4 )化为极坐标为 . (3)ρ= ,tan θ= =1,θ∈[0,2π), 因为点 在第一象限,所以 θ= . 所以直角坐标 化为极坐标为 . (4)ρ= =2 ,tan θ= ,θ∈[0,2π), 因为点(- ,- )在第三象限,所以 θ= . 所以直角坐标(- ,- )化为极坐标为 . 9.在极坐标系中,如果 A ,B 为等腰直角三角形 ABC 的两个顶点,求直角顶点 C 的极 坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)与该三角形的面积. 解 法一 利用坐标转化. 对于点 A ,直角坐标为( ),点 B 的直角坐标为(- ,- ). 设点 C 的直角坐标为(x,y). 由题意得 AC⊥BC,且|AC|=|BC|, 故 =0, 即(x- ,y- )· (x+ ,y+ )=0, (x- )(x+ )+(y- )(y+ )=0. 得 x2+y2=4. 又∵|AC|2=|BC|2, 于是(x- )2+(y- )2=(x+ )2+(y+ )2, 即 y=-x,代入①得 x2=2, 解得 x=± , ∴ρ= ① ∴ ∴点 C 的直角坐标为 . ∴ρ= =2,tan θ=-1,θ= ∴点 C 的极坐标为 2 , . S△ABC= |AC||BC|= |AC| = ×8=4. 法二 设点 C 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ<2π), ∵|AB|=2|OA|=4,∠C= ,|AC|=|BC|, ∴|AC|=|BC|=2 , 即 ①+②化简得 ρ2=4,由 ρ>0 得 ρ=2, 代入①得 cos =0, ∴θ+kπ,k∈Z,即 θ= +kπ,k∈Z, 又 0≤θ<2π,∴k 可取 0 或 1, ∴θ= 或 θ= . ∴点 C 的极坐标为 , 2 S△ABC= |AC||BC|= |AC| = ×8=4. B组 1.在极坐标系中,确定点 M 的位置,下面方法正确的是( ) A.作射线 OP,使∠xOP= ,再在射线 OP 上取点 M,使|OM|=2 B.作射线 OP,使∠xOP= ,再在射线 OP 的反向延长线上取点 M,使|OM|=2 C.作射线 OP,使∠xOP= ,再在射线 OP 的反向延长线上取点 M,使|OM|=2 D.作射线 OP,使∠xOP=- ,再在射线 OP 上取点 M,使|OM|=2 答案: B 2.在极坐标系中,已知点 A ,B ,则 OA 与 OB 的夹角为( ) A. B.0 C. D. 解析: 如图所示,夹角为 . 答案: C 3.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角坐标为(1,建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是( ) ).若以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴 A. B. C. D. 解析: 极径 ρ= =2,极角 θ 满足 tan θ= =- ,∵点(1,- )在第四象限,∴θ=- +2kπ(k ∈Z). 答案: A 4.在极坐标

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