《极坐标系--简单曲线的极坐标方程》教案

三、简单曲线的极坐标方程 【基础知识导学】 1、极坐标方程的定义:在极坐标系中,如果平面曲线 C 上任一点的极坐标中至少有一个满
足方程 f (?,?) ? 0 ,并且坐标适合方程 f (?,?) ? 0 的点都在曲线 C 上,那么方程
f (?,? ) ? 0 叫做曲线 C 的极坐标方程。
1. 直线与圆的极坐标方程

O
① 过极点,与极轴成? 角的直线 ? ? ?(? ? R)或 tan? ? tan?
②以极点为圆心半径等于 r 的圆的

x 极坐标议程为

极坐标方程为 ? ? r

【知识迷航指南】

例 1 求(1)过点 A(2, ? ) 平行于极轴的直线。 4

(2)过点 A(3, ? ) 且和极轴成 3? 角的直线。

3

4

解(1)如图,在直线 l 上任取一点 M (?,? ),因为 A(2, ? ) ,所以|MH|=2 ? sin ? ? 2

4

4

在直角三角形 MOH 中|MH|=|OM|sin? 即 ? sin? ? 2 ,所以过点 A(2, ? ) 平行于极轴的直线
4

为 ? sin? ? 2 。

(2)如图 ,设 M (?,? ) 为直线 l 上一点。

A(3, ? ) , OA =3, ?AOB ? ?

3

3

由已知 ?MBx ? 3? ,所以 ?OAB ? 3? ? ? ? 5? ,所以 ?OAM ? ? ? 5? ? 7?

4

4 3 12

12 12

又 ?OMA ? ?MBx ? ? ? 3? ? ? 4

在?MOA 中,根据正弦定理得

3 sin(3?

??)

?

? sin 7?

4

12

又 sin 7? ? sin(? ? ? ) ? 6 ? 2 将 sin(3? ? ? ) 展开化简可得 ?(sin ? ? cos? ) ? 3 3 ? 3

12

43

4

4

22

所以过 A(3, ? ) 且和极轴成 3? 角的直线为: ?(sin ? ? cos? ) ? 3 3 ? 3

3

4

22

〔点评〕求曲线方程,关键是找出曲线上点满足的几何条件。将它用坐标表示。再通过代数 变换进行化简。 例 2(1)求以 C(4,0)为圆心,半径等于 4 的圆的极坐标方程。(2)从极点 O 作圆 C 的弦 ON, 求 ON 的中点 M 的轨迹方程。

解: (1)设 p(?,? ) 为圆 C 上任意一点。圆 C 交极轴于另一点 A。由已知 OA =8 在直角?AOD

中 OD ? OA cos? ,即 ? ? 8cos? , 这就是圆 C 的方程。

(2)由 r ? OC ? 4 。连接 CM。因为 M 为弦 ON 的中点。所以 CM ? ON ,故 M 在以

OC 为直径的圆上。所以,动点 M 的轨迹方程是: ? ? 4cos? 。

〔点评〕 在直角坐标系中,求曲线的轨迹方程的方法有直译法,定义法,动点转移法。在

极坐标中。求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。例 2 中(1)为直译法,(2)为

定义法。此外(2)还可以用动点转移法。请同学们尝试用转移法重解之。

例 3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。

(1) y 2 ? 4x (2)? ? ? (3) ? cos2 ? ? 1

3

2

(4) ? 2 cos 2? ? 4

解:(1)将 x ? ? cos?, y ? ? sin? 代入 y 2 ? 4x 得 (? sin? )2 ? 4? cos? 化简得

? sin 2 ? ? 4sin?

(2)∵ tan? ? y ∴ tan ? ? y ? 3 化简得: y ? 3x(x ? 0)

x

3x

(3)∵ ? cos2 ? ? 1 ∴ ? 1 ? cos? ? 1。即 ? ? ? cos ? ? 2 所以

2

2

化简得 y 2 ? ?4(x ?1) 。

x2 ? y2 ? x ? 2。

(4)由 ? 2 cos 2? ? 4 即 ? 2 (cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? 4 所以 x 2 ? y 2 ? 4
〔点评〕 (1)注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。
(2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定 ? ? 0,0 ? ? ? 2?

(3)由极坐标方程化为极坐标方程时,要注意等价性。如本例(2)中。由于

一般约定 ? ? 0. 故? ? ? 表示射线。若将题目改为? ? ? (? ? R) 则方程化为: y ? 3x

3

3

〔解题能力测试〕

1 判断点 (? 1 , 5? ) 是否在曲线 ? ? cos? 上。

23

2

2.将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。

(1) y 2 ? x 2 ? 2x ? 1 ? 0 ;

(2) ? ? 1 。 2 ? cos?

3.下列方程各表示什么曲线?

(1) y ? a :



(2) ? ? a :



(3)? ? ? :



〔潜能强化训练〕
1 极坐标方程分别是 ? ? cos? 和 ? ? sin? 的两个圆的圆心距是( )

A2

B2

C1

D2 2

2 在极坐标系中,点 (3, ? ) 关于? ? ? (? ? R) 的对称的点的坐标为 ( )

2

6

A (3,0)

B (3, ? ) 2

C (?3, 2? ) 3

D (3, 11? ) 6

3 在极坐标系中,过点 (3, ? ) 且垂直于极轴的直线方程为( ) 3

A ? cos? ? 3 2

B ? sin? ? 3 C ? ? 3 cos?

2

2

D ? ? 3 sin? 2

4 极坐标方程 cos? ? 2 (? ? 0) 表示的曲线是 ( 2
A 余弦曲线 B 两条相交直线 C 一条射线

) D 两条射线

5 已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ? ? ) ? 2 ,则极点到该直线的距离是:



42

6 圆 ? ? 2(cos? ? sin ? ) 的圆心坐标是:



7 从原点 O 引直线交直线 2x ? 4 y ?1 ? 0 于点 M,P 为 OM 上一点,已知 OD OM ? 1 。
求 P 点的轨迹并将其化为极坐标方程。

〔知识要点归纳〕 1 直线,射线的极坐标方程。

2 圆的极坐标方程

三、简单曲线的极坐标方程 〔解题能力测试〕
1、在 2、(1) ? 2 ? 2? cos? ?1 ? 0 (2)3x2 ? 4 y2 ? 2x ?1 ? 0
3、(1)在直角坐标下,平行于 X 轴的直线。(2)在极坐标下,表示圆心在极点半径为 a 的 圆。(3)在极坐标下,表示过极点倾斜角为α的射线。 〔潜能强化训练〕

1、D 2、D 3、A 4、D 5、 2 2

6.(1, ? ) 4

7、以 O 为极点,x 轴正方向为极轴建立极坐标系,直线方程化为 2? cos? ? 4? sin? ?1 ? 0 ,



M

(?0,?0 ).P(?,? )则2?0

cos?0

?

4?0

sin ? 0

?1 ?

0



? ? ? ?

? ?0

?

? ?0 ??

知 1

? ? ? ??

?0 ?0

?? ?1
?

代入得:

2

1 ?

cos?

?

4

1 ?

sin ?

?1

?

0,?

?

?

2

cos?

?

4 sin ?


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