山东省日照市2012届高三数学5月阶段训练(2012日照二模)B卷 文 新人教B版


2012 年高三阶段训练 文 科 数 学
2012.5 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页。满分 150 分。考试 用时 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、县区和科类填写 在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、 修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)已知复数 a ? bi ? i (1 ? i ) (其中 a , b ? R , i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为 (A)-2 (2)若集合 A ? ? 0 , m
2

(B)-1

(C)0

(D)2
A ? B ? ?0 ,1, 2 ? ”的

? , B ? ? 1, 2 ?则“ m ? 1”是“

(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(3)已知向量 a ? (1, 2 ), b ? ( ? 1, 0 ) , 若 ( a ? mb ) ? a ,则实数 m 等于 (A)-5 (4)设 a ? 0 . 6
4 .2

(B)
,b ? 7
0 .6

5 2

(C)0

(D)5

, c ? log

0 .6

7 ,则 a , b , c 的大小关系是

(A) c ? b ? a

(B) c ? a ? b

(C) a ? c ? b

(D) a ? b ? c

(5)关于两条不同的直线 m 、 n 与两个不同的平面 ? 、 ? ,下列命题中的真命题是 (A) m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n (C) m ? ? , n // ? 且 ? // ? , 则 m ? n (B) m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? , 则 m // n (D) m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n

(6)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是 (A) 8 ?
4 3 3

(B) 8 ?

4 2 3

(C) 8 ?

2 3 3 6 2

(D)

32 3

(7)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的离心率为

,其焦点到渐近线的距离为 1,
-1-

则此双曲线的方程为 (A)
x
2

?

y

2

?1

(B)

x

2

?

y

2

?1

(C)

x

2

? y

2

?1

(D) x ? y ? 1

2

2

4

2

2

3

2
x

(8)已知函数 f ( x ) ? ( x ? a )( x ? b )(其中 a ? b ) 的图象如右图所示, 则函数 g ( x ) ? a ? b 的图象大致为

(9)如图给出的是计算 的条件是 (A) i ? 50

1 2

?

1 4

?

1 6

?

1 8

?? ?

1 100

的值的一个程序框图,其中判断框内应填入

(B) i ? 25

(C) i ? 50

(D) i ? 25

? x ? y ? 0, ? (10)若实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则 | x ? 3 y | 的最大值为 ? 0 ? x ? 1, ?

(A)6

(B)5

(C)4

(D)3

(11)已知函数 f ( x ) ? ? 则实数 a 的取值范围是 (A)(-2,2)

? ? x 2 ? ax , x ? 1, ? ax ? 1, x ? 1,

若 ? x1 x 2 ? R , x1 ? x 2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立,

(B)- ( ?? , ? 2 ) ? ( 2 , ?? )

(C) ( ?? , 2 )

(D) ( ?? , 2 ]
3

(12)已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? f ( x ) , ? 1 ? x ? 1 时, f ( x ) ? x , 当 若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? log (A)(1,5)
a

| x | 至少有 6 个零点,则 a 的取值范围是

(B) (0, ] ? [ 5 , ?? )
5

1

(C) (0, ) ? [ 5 , ?? )
5

1

(D)[ ,1) ? (1, 5 ]
5

1

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ? “ (13)若 ? x 0 ? ( 0 , ), tan x 0 ? sin x 0 ”的否定是 .
2

(14)在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数是 ;若从甲、乙两组数据中分别 去掉一个最大数和一个最小数后,两组数据的平均数中较大的一组是 组。 ? (15)在 ? ABC 中,已知内角 A ? , 边 BC ? 2 3 ,则 ? ABC 的面积 S 的最大值
3



.

-2-

(16)定义在区间 [ a , b ] 上的连续函数 y ? f ( x ), 如果 ? ? ? [ a , b ] ,使得
f ( b ) ? f ( a ) ? f ' (? )( b ? a ) , 则称 ? 为区间 [ a , b ] 上的 “中值点” 下列函数: f ( x ) ? 3 x ? 2 ; 。 ①
2 ② f ( x ) ? x ? x ? 1 ;③ f ( x ) ? ln( x ? 1) ;④ f ( x ) ? ( x ?

1 2

) 其中在区间[0,1]上“中值

3

点”多于一个的函数序号为 .(写出所有满足条件的函数的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。 (17)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? cos
2

x?

3 sin x cos x ? 1 .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 f (? ) ?
5 6 ,? ? (

?
3

,

2? 3

) ,求 sin 2? 的值。

(18)(本小题满分 12 分) 某校高三期末统一测试中某级部的数学成绩分组统计如下表: (Ⅰ)求出表中 m 、 n 、 M 、 N 的值,并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出 频率分布直方图;

(Ⅱ)若该校参加本次考试的学生有 600 人,试估计这次测试中该校成绩在 90 分以上的 人数; (Ⅲ)若该校教师拟从分数不超过 60 的学生中选取 2 人进行个案分析,求被选中 2 人分 数不超过 30 分的概率。 (19)(本小题满分 12 分) 如图,矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 4 . E , F 分别在线段 BC 和 AD 上, EF // AB ,将矩 形 ABEF 沿 EF 折起,记折起后的矩形为 MNEF ,且平面 MNEF ? 平面 ECDF . (Ⅰ)求证: NC // 平面 MFD ;
-3-

(Ⅱ)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值。

(20)(本小题满分 12 分) 设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2 ? 1 。数列 ?b n ? 满足 b1 ? 2 , b n ?1 ? 2 b n ? 8 a n
n

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)证明:数列 {
bn 2
n

} 为等差数列,并求 ?b n ? 的通项公式;

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? a ln x ?
1 2 x ?
2

1 2

, (a ? R且 a ? 0) .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间。 (Ⅱ)是否存在实数 a ,使得对任意的 x ? [1, ?? ) ,都有 f ( x ) ? 0 ?若存在,求 a 的取值 范围;若不存在,请说明理由。 (22)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的两个焦点分别为 F1 ( ? 2 , 0 ), F 2 ( 2 , 0 ), 点 M (1, 0 )

与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过点 M (1, 直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点, 0) 设点 N (3, , 2) 记直接 AN 、 BN 的斜率分别为 k 1、 k 2,求证: k 1 ? k 2 为定值。

绝密★启用前 2012 年高三阶段训练 文 科 数 学 2012.5

试卷类型:B

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页。满分 150 分。考试 用时 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、县区和科类填写 在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 用 如需改动,

-4-

用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、 修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)已知复数 a ? bi ? i (1 ? i ) (其中 a , b ? R , i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为 (A)-2 (2)若集合 A ? ? 0 , m
2

(B)-1

(C)0

(D)2
A ? B ? ?0 ,1, 2 ? ”的

? , B ? ? 1, 2 ?则“ m ? 1”是“

(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(3)已知向量 a ? (1, 2 ), b ? ( ? 1, 0 ) , 若 ( a ? mb ) ? a ,则实数 m 等于 (A)-5 (4)设 a ? 0 . 6
4 .2

(B)
,b ? 7
0 .6

5 2

(C)0

(D)5

, c ? log

0 .6

7 ,则 a , b , c 的大小关系是

(A) c ? b ? a

(B) c ? a ? b

(C) a ? c ? b

(D) a ? b ? c

(5)关于两条不同的直线 m 、 n 与两个不同的平面 ? 、 ? ,下列命题中的真命题是 (B) m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n (C) m ? ? , n // ? 且 ? // ? , 则 m ? n (B) m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? , 则 m // n (D) m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n

(9)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是 (A) 8 ?
4 3 3

(B) 8 ?

4 2 3

(C) 8 ?

2 3 3 6 2

(D)

32 3

(10)已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的双曲线的离心率为 则此双曲线的方程为 (A)
x
2

, 其焦点到渐近线的距离为 1,

?

y

2

?1

(B)

x

2

?

y

2

?1

(C)

x

2

? y

2

?1

(D) x ? y ? 1

2

2

4

2

2

3

2
x

(11)已知函数 f ( x ) ? ( x ? a )( x ? b )(其中 a ? b ) 的图象如右图所示, 则函数 g ( x ) ? a ? b 的图象大致为

-5-

(10)如图给出的是计算 的条件是 (A) i ? 50

1 2

?

1 4

?

1 6

?

1 8

?? ?

1 100

的值的一个程序框图,其中判断框内应填入

(B) i ? 25

(C) i ? 50

(D) i ? 25

? x ? y ? 0, ? (10)若实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则 | x ? 3 y | 的最大值为 ? 0 ? x ? 1, ?

(A)6

(B)5

(C)4

(D)3

? ? x 2 ? ax , x ? 1, (11)已知函数 f ( x ) ? ? 若 ? x1 x 2 ? R , x1 ? x 2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立, x ? 1, ? ax ? 1,

则实数 a 的取值范围是 (B)(-2,2) (B)- ( ?? , ? 2 ) ? ( 2 , ?? ) (C) ( ?? , 2 ) (D) ( ?? , 2 ]
3

(13)已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? f ( x ) , ? 1 ? x ? 1 时, f ( x ) ? x , 当 若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? log (B)(1,5)
a

| x | 至少有 6 个零点,则 a 的取值范围是

(B) (0, ] ? [ 5 , ?? )
5

1

(C) (0, ) ? [ 5 , ?? )
5

1

(D)[ ,1) ? (1, 5 ]
5

1

第Ⅱ卷(共 90 分) 三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ? “ (17)若 ? x 0 ? ( 0 , ), tan x 0 ? sin x 0 ”的否定是 .
2

(18)在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数是 ;若从甲、乙两组数据中分别 去掉一个最大数和一个最小数后,两组数据的平均数中较大的一组是 组。 ? (19)在 ? ABC 中,已知内角 A ? , 边 BC ? 2 3 ,则 ? ABC 的面积 S 的最大值
3



.

(20)定义在区间 [ a , b ] 上的连续函数 y ? f ( x ), 如果 ? ? ? [ a , b ] ,使得
f ( b ) ? f ( a ) ? f ' (? )( b ? a ) , 则称 ? 为区间 [ a , b ] 上的 “中值点” 下列函数: f ( x ) ? 3 x ? 2 ; 。 ①
2 ② f ( x ) ? x ? x ? 1 ;③ f ( x ) ? ln( x ? 1) ;④ f ( x ) ? ( x ?

1 2

) 其中在区间[0,1]上“中值

3

点”多于一个的函数序号为 .(写出所有满足条件的函数的序号) 四、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。 (18)(本小题满分 12 分)

-6-

已知函数 f ( x ) ? cos

2

x?

3 sin x cos x ? 1 .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 f (? ) ?
5 6 ,? ? (

?
3

,

2? 3

) ,求 sin 2? 的值。

(20)(本小题满分 12 分) 某校高三期末统一测试中某级部的数学成绩分组统计如下表: (Ⅰ)求出表中 m 、 n 、 M 、 N 的值,并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出 频率分布直方图;

(Ⅱ)若该校参加本次考试的学生有 600 人,试估计这次测试中该校成绩在 90 分以上的 人数; (Ⅲ)若该校教师拟从分数不超过 60 的学生中选取 2 人进行个案分析,求被选中 2 人分 数不超过 30 分的概率。 (21)(本小题满分 12 分) 如图,矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 4 . E , F 分别在线段 BC 和 AD 上, EF // AB ,将矩 形 ABEF 沿 EF 折起,记折起后的矩形为 MNEF ,且平面 MNEF ? 平面 ECDF . (Ⅰ)求证: NC // 平面 MFD ; (Ⅱ)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值。

-7-

(20)(本小题满分 12 分) 设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2 ? 1 。数列 ?b n ? 满足 b1 ? 2 , b n ?1 ? 2 b n ? 8 a n
n

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)证明:数列 {
bn 2
n

} 为等差数列,并求 ?b n ? 的通项公式;

(22)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? a ln x ?
1 2 x ?
2

1 2

, (a ? R且 a ? 0) .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间。 (Ⅱ)是否存在实数 a ,使得对任意的 x ? [1, ?? ) ,都有 f ( x ) ? 0 ?若存在,求 a 的取值 范围;若不存在,请说明理由。 (23)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的两个焦点分别为 F1 ( ? 2 , 0 ), F 2 ( 2 , 0 ), 点 M (1, 0 )

与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过点 M (1, 直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点, 0) 设点 N (3, , 2) 记直接 AN 、 BN 的斜率分别为 k 1、 k 2,求证: k 1 ? k 2 为定值。

2012 年高三阶段训练 文科数学(B)参考答案及评分标准 2012.05 说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正 确,均应参照本标准相应评分。 (11)选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. (23)D (2)A (3)D (4)B (5)C (6)A (7)C (8)A (9)C (10)B 提示:先求出 Z=X-3Y 的最大值与最小值,再取绝对值比较大小即可。 2 五、C 提示:画出 y=-x +ax,x≤1 和 y=ax-1,x>1 的图象,当 a≤0 时,由图象看出显然满足 题意;当 a>0 时,若 a≥2,则-1 +a>a-1,此时无解:若 0<a<2,则 ? ( ) ? a ?
2
2

a

a 2

? a ? 1 ,解

2

得此时恒成立,综上得 a≤2;或用特值法排除。 六、B 提示:利用周期性画出 y=f(x)图象,再画出 y ? lo g x 的图象,使它们至少有 6 个交
a

点,应讨论 a>1 和 0<a<1 两种情况。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分。共 16 分。 ? (21) ? x 0 ? (0, ), tan x 0 ? sin x 0 ; (14)84,乙;
2

(15) 3 3 ;

-8-

(22)?④。 提示: ? ? ? [ a , b ] ,使得 f ( b ) ? f ( a ) ? f ' (? )( b ? a ) ,即 ? ? ? [ a , b ] ,使得
f ' (? ) ? f (b ) ? f ( a ) b?a

,所以“中值点”的个数就是看 f ' ( x ) ?

f (b ) ? f ( a ) b?a

的解的个数。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。 解: (I) f ( x ) ? cos
1 ? cos 2 x 2
2

x?

3 sin x cos x ? 1

?

?

3 2

sin 2 x ? 1 ? cos( 2 x ?

?
3

)?

3 2

????????4 分
?
6 (k ? Z )

由 2 k? ? ? ? 2 x ?

?
3

? 2 k ? ,得 k ? ?

2? 3

? x ? k? ?

2? ? ? ? , k? ? ? (k ? Z ) ? 函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ? k ? ? 3 6? ?

???????6 分
2 3
2

(II)? f (? ) ?
?
3 2? 3

5 6

,? cos( 2? ?

?
3

)?

3 2

?

5 6

,即 cos( 2? ?
?
3

?
3

)? ?

????8 分
?
3 5 3
5

?? ? (

,

),? 2? ?

?
3

? (? ,

5? 3

), sin ( 2? ?

) ? ? 1 ? co s ( 2 ? ?

? ?

? sin 2? ? sin[( 2? ?

?
3

)?

?
3

]?

1 2

sin( 2? ?

?
3

)?

3 2

cos( 2? ?

?
3

)

2 3? 6

?12 分

(24)(本小题满意分 12 分) 解: (1)由频率分布表得 M ?
3 0 . 03 ? 100

????????1 分 ????????2 分 ??????3 分

所以 m=100-(3+3+37+15)=42,
n ? 42 100

? 0 .4 2 ,N=0.03+0.03+0.37+0.42+0.15=1

-9-

(II) 该 校 学生估

由题意知, 90 分以上 计 为

(0.42+0.15)×600=342 人.????7 分 (III)设考试成绩在(0,30]内的 3 人分别为 A、B、C;考试成绩在(30,60]内的 3 人分别 为 a、b、c 从不超过 60 分的 6 人中,任意抽取 2 人的结果有: (A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(A,c),(B,C),(B,a),(B,b),(B,c), (C,a),(C,b),(C,c),(a,b),(a,c),(b,c)共有 15 个。??10 分 设抽取的 2 人的分数均不大于 30 分为事件 D。 则事件 D 含有 3 个结果: (A,B)(A,C),(B,C) , ??????????11 分
? P(D ) ? 3 15 ? 1 5

??????????12 分

(25)(本小题满分 12 分) (1)证明:因为四边形 MNEF、EFDC 都是矩形, 所以 MN//EF//CD,MN=EF=CD. 所以四边形 MNCD 是平行四边形,????????2 分 所以 NC//MD, ????????3 分 因为 NC ? 平面 MFD,MD ? 平面 MFD, 所以 NC//平面 MFD ????????4 分 (II)证明:连接 ED,设 ED ? FC=O。 因为平面 MNEF ? 平面 ECDF,且 NE ? EF, 由面面垂直的性质定理得 NE ? 平面 ECDF 因为 FC ? 平面 ECDF,所以 FC ? NE ????????5 分 ????????6 分

- 10 -

因为 EC=CD,所以四边形 ECDF 为正方形,所以 FC ? ED 又 ED ? NE=E,所以 FC ? 平面 NED ????????7 分 因为 ND ? 平面 NED,所以 ND ? FC (III)解:设 NE=X,则 EC=4-x,其中 0<x<4 由(I)得 NE ? 平面 FEC, 所以四面体 NFEC 的体积为 V NFEC ? 所以 V NFEC ?
1 x ? (4 ? x) 2 [ ] ? 2 2 2

????????8 分

1 3

S ? EFC ? NE ?

1 2

x(4 ? x)

??????10 分 ??????11 分 ??????12 分

当且仅当 x=4-x,即 x=2 时,四面体 NFEC 的体积最大。 (20) (本小题满分 12 分) 1 解: (I)当 n=1 时,a1=s1=2 -1=1; n n-1 n-1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2 -1)-(2 -1)=2 n-1 n-1 * 因为 a1=1 适合通项公式 an=2 ,所以 an=2 (n ? N ) n+2 (II)因为 bn+1-2bn=8an,所以 bn+1-2bn=2 即
b n ?1 2 n ?1 ? bn 2
n

???????4 分

? bn ? b1 ? 2 ,所以 ? ? 是首项为 1 ? 1 ,公差为 2 的等等差数列。 2 ? 2n ?
n

所以

bn 2
n

? 1 ? 2 ( n ? 1) ? 2 n ? 1 ,所以 bn=(2n-1)×2

????????8 分

(本小题满分 12 分)

解: (I)f(x)的定义域为(0,+ ? ) 。

f '(x) ?

a x

?x ?

?x ?a
2

?????2 分

x

当 a<0 时,在区间(0,+ ? )上, f ' ( x ) ? 0 , 所以 f ( x ) 的单调递减区间是(0,+ ? ) ,无递增区间 当 a>0 时,令 f ' ( x ) ? 0 ,得 x ?
a 或x ? ?

????????3 分

a (舍)

函数 f ( x ), f ' ( x ) 随 x 的变化如下:

- 11 -

x

(0,

a)

a

( a , ?? )

f '( x)
f (x)

+ ↗

0 极大值

↘ ?????6 分

所以 f ( x ) 的单调递增区间是 ( 0 , a ) ,单调递减区是 ( a , ?? ) 综上所述,当 a<0 时 f ( x ) 的单调递减区间是(0,+ ? ) ,无递增间;

当 a>0 时, f ( x ) 的单调递增区间是 ( 0 , a ) ,单调递减区间是 ( a , ?? ) (II)由(I)可知:当 a<0 时, f ( x ) 在[1,+ ? )上单调递减。 所以 f ( x ) 在[1,+ ? )上的最大值为 f(1)=0 即对任意的 x ? [1, ?? ) ,都有 f ( x ) ? 0 。 当 a>0 时, ?当 a ? 1 ,即 0<a≤1 时, f ( x ) 在[1,+ ? )上单调递减。 所以 f ( x ) 在[1,+ ? )上最大值为 f (1) =0 即对任意的 x ? [1, ?? ) ,都有 f ( x ) ? 0

????7 分

??????8 分

??????????????9 分

?当 a ? 1 ,即 a>1 时, f ( x ) 在[1,+、 a )上单调递增, 所以 f ( a ) ? f (1) ,又 f (1) ? 0 ,所以 f ( a ) ? 0 , 与对于任意的 x ? [1, ?? ) ,都有 f ( x ) ? 0 矛盾。 ??????????????11 份 ?????12 分

综上所述,存在实数 a 满足题意,此时 a 的取值范围是 ( ?? , 0 ) ? ( 0 ,1] 。 (19)(本小题满分 14 分) 解: (I)依题意,得 c ?
2,a 2 ? b ? 2 。
2

由已知易得 b ? OM ? 1 ,解得 a ?
x
2

3.

所以椭圆的方程为

? y ? 1。
2

??????????????4 分

3

- 12 -

(II)?当直线 l 的斜率不存在时,由 ? x

?x ? 1 6 ? 2 解得 x ? 1, y ? ? . 2 ? y ?1 3 ? 3 ?
6 3 ? 2 2 2? 6 3 ? 2 为定值

设 A (1,

6 3

), B (1, ?

6 3

2?

), 则 k 1 ? k 2 ?

??????5 分

?当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为:y=k(x-1). 将 y=k(x-1)代入
x2 3 ? y ? 1 化简,得 (3 k 2 ? 1) x 2 ? 6 k 2 x ? 3 k 2 ? 3 ? 0 ??????6 分
2

依提意,直线 l 与随圆 C 必相交于两点,设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 则 x1 ? x 2 ?
6k
2 2

3k ? 1

, x1 x 2 ?

3k ? 3
2

3k ? 1
2



????????????????7 分

- 13 -


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