高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课件1北师大必修4_图文

1.4.4 单位圆的对称性与 诱导公式

在上几节课中,我们已经学习了任意角的正弦 函数的定义,以及终边相同的角的正弦函数值相 等,即sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z ),通过这个公式能 把任意角的正弦函数值转化为求0°~360°的角 的正弦函数值吗? 如果能的话,那么任意角的三角函数求值,都 可以转化为锐角三角函数求值,并通过查表方法

而得到最终解决,本课就来讨论这一问题.

1.理解正弦函数、余弦函数的诱导公式的推导过程. (重点) 2.能了解诱导公式之间的关系,能相互推导.(重点) 3.能利用诱导公式解决化简、求值等问题.(难点)

探究点1 角α与角-α的正弦函数、余弦函数关系 思考1:对于任意给定的一个角α,-α的终边与α的 终边有什么关系? y
α的终边

关键看两 角的对称 关系
O

x

-α的终边

思考2:设角α的终边与单位圆交于点 P(x,y), 则 -α的终边与单位圆的交点坐标如何?

y
提示:如图, -α的 α的终边 终边与单位圆的交点 坐标为P(x,-y). P(x,y)
P(x,-y)

O

x

-α 的终边

思考3:根据三角函数的定义,-α的正弦函数、余 弦函数与α的正弦函数、余弦函数有什么关系? y α的终边 公式:

sin(??) ? ? sin ? cos(??) ? cos ?

P(x,y)

P(x,-y)

O

x

结论:

-α的终边

正弦函数y=sinx是奇函数 余弦函数y=cosx是偶函数

探究点2

角α与角α±π的正弦函数、余弦函数关系

思考1:对于任意给定的一个角α,角α±π的终边与角α 的终边有什么关系?
α的终边

y

提示: 如图
O

角α±π的终边与 角α的终边关于原 点对称

x
α±π的终边

思考2:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则

角α±π的终边与单位圆的交点坐标如何?
y

α的终边

P(x,y)
提示: 坐标互为 相反数
O

x

Q(-x,-y)

α±π的终边

思考3:根据三角函数定义,sin( α ±π ) , cos( α ±π )的值分别是什么?
y

sin(α±π)=-y

α的终边
P(x,y)

cos(α±π)=-x
sin(? ? ?) ? ? sin ? cos(? ? ?) ? ? cos ? sin(? ? ?) ? ? sin ? cos(? ? ?) ? ? cos ?

x
O Q(-x,-y) α±π的终边

探究点3

角α与π-α的正弦函数、余弦函数关系

思考1:利用π-α= π+(-α),结合上述公式,你 能得到什么结论?
sin( ? ? ?)= sin ? cos(? ? ?)= ? cos ?

这两个公式也可以由前两组公式推出:
sin( ? ? ?) ? -sin(? ? ?)=-(-sin ?)= sin ? cos( ? ? ?) ? cos(? ? ?)= ? cos ?

思考2:以上公式都叫作诱导公式,它们分别反映了 -α, α± π,π-α的三角函数与α的三角函数之间 的关系,你能概括一下这四组公式的共同特点和规 律吗? 提示:-α, α± π ,π-α的三角函数值,等于α

的同名函数值,再放上原函数的象限符号.
简化成“函数名不变,符号看象限”的口诀. 诱导公式作用:转化为 0°~90°的角

【即时训练】判断
(1)终边相同的角的同一个三角函数值相等.( √ )

(2)若角α 与角β 的终边关于y轴对称,必有β =π -α
成立.( × )

(3)已知A,B,C是三角形ABC的三个内角,则cos(A+B)=
-cos C.( √ )
解:(1) 结合三角函数线可知,终边相同,三角函数值相等.

(2) 当角α与β终边关于y轴对称时,那么角β与π-α终边相
同,故应有β=2kπ+π-α(k∈Z),所以结论错误. (3) 在△ABC中,A+B+C=π,所以cos(A+B)=cos(π-C) =-cos

C,结论正确.

例1

求下列各角的三角函数值:

7? 2? 31? (1)sin( ? ). (2) cos . (3) cos( ? ). 3 4 6 7? 7? ? ? ? sin(2? ? ) 解: (1)sin( ? ) ? ? sin 4 4 一般步骤: 4 ? ? 2 变号 ? ?(? sin ) ? sin ? . 4 4 2 转化 2? ? ? 1 求值 ? cos( ? ? ) ? ? cos ? ? . (2) cos 3 3 3 2 31? 31? ? (3) cos( ? ) ? cos ? cos(4? ? ? ? ) 6 6 6

? ? 3 ? cos( ? ? ) ? ? cos ? ? . 6 6 2

探究点4

? 角α与 ? ? 的正弦函数、余弦函数关系 2

如图,利用单位圆作出任意锐角α与单位圆相交

? 于点 P(a,b), 角 ? ? 的终边与单位圆交于点P′, 2

由平面几何知识可知,
Rt△OPM≌Rt △P?OM ?, 不难证明P?坐标为 ? ?b,a ? .
? sin( ? ?) ? cos ? 2 ? cos( ? ?) ? ? sin ? 2

思考:如何得到下列两个等式
? sin( ? ?) ? cos ? 2 ? cos( ? ? ) ? sin ? 2

? ?? ? sin ? ( ?? ) 提示: sin( ? ?) ? ? ? cos( ?? ) ? cos ? ? ?2 ? 2 ? ?? ? cos( ? ?) ? cos ? ? (??) ? ? ? sin( ?? ) ? sin ? ?2 ? 2

以上两组诱导公式口诀:“函数名改变,符号看象限.”

对于任意角α,下列关系式成立:
sin(2k? ? ? ) ? sin ? ,cos(2k? ? ? ) ? cos ? (1.8) sin( ?? ) ? ? sin ? ,cos( ?? ) ? cos ? (1.9) sin(2? ? ? ) ? ? sin ? ,cos(2? ? ? ) ? cos ? (1.10) sin(? ? ? ) ? sin ? ,cos(? ? ? ) ? ? cos ? (1.11) sin(? ? ? ) ? ? sin ? ,cos(? ? ? ) ? ? cos ? (1.12) sin( sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ,cos( ? ? ) ? cos ? ,cos(

?
2

? ? ) ? ? sin ? ? ? ) ? sin ?

(1.13)

?
2

?
2

(1.14)

公式1.8~1.14叫作正弦函数、余弦函数的诱导公
式.

任意负角的正弦函数、余弦函数
用公式1.8或1.9

任意正角的正弦函数、余弦函数
用公式1.8

0~2 ? 角的正弦函数、余弦函数
用公式1.10~1.14

锐角的正弦函数、余弦函数

例2
(1)sin(

求下列函数值:

5? ? 55? (2)sin( ? ). ? ). 6 2 4 5? ? 11? 5? (3)sin cos( ? ) ? sin cos . 6 4 6 4

5π π π π π 2 解: (1)sin( + )= sin( + )= cos = . 2 4 2 4 4 2 55π 55π 7π (2)sin()= -sin = -sin(8π + ) 6 6 6 7π π π 1 = -sin = -sin(π + )= sin = . 6 6 6 2

5π π 11π 5π (3)sin cos(- )+ sin cos 6 4 6 4 π π π π = sin(π - )cos + sin(2π - )cos(π + ) 6 4 6 4 π π π π = sin cos +(-sin )(-cos ) 6 4 6 4 1 2 1 2 2 = ? + ? ? . 2 2 2 2 2

3? sin(2? ? ?)cos(3? ? ?)cos( ? ?) 2 例3 化简 sin( ?? ? ?)sin(3? ? ?)cos( ?? ? ?)
π (-sinα )cos(π +α )cos(π + +α ) 2 解:原式 = [-sin(π -α )]sin(π -α )cos[-(α +π )] π (-sinα )(-cosα )[-cos( +α )] sinα 2 = = = 1. (-sinα )sinα (-cosα ) sinα

【变式练习】
sin 2π -θ sin -2π -θ cos 6π -θ 化简: . cos 2π-θ cos θ -π sin 5π+θ
【解析】 sin -θ ·sin -θ ·cos -θ 原式= cos -θ cos π -θ ·sin π +θ



-sin θ · -sin θ ·cos θ cos θ -cos θ · -sin θ

sin θ sin θcos θ sin θ = = . cos θcos θ sin θ cos θ

1.求下列三角函数值:
11π (1)cos = 3

π 1 π cos(4π - ) = cos = . 3 2 3

10π 10π π (2)sin()= -sin = -sin(3π + ) 3 3 3 3 π . = -(-sin ) = 2 3

2.求sin(-60°)+cos120°+sin390°+cos210°.

解:sin(-60°)+cos120°+sin390°+cos210°
=-sin60°+cos(180°-60°)+sin(360°+30°)

+cos(180°+30°)
=-sin60°-cos60°+sin30°-cos30° = ? 3 ? 1 ? 1 ? 3 ? ? 3. 2 2 2 2

? 3. 已知cos( +?)= ? 1 ,且?是第二象限角, 2 3
求sin(?-

? )的值.
2 3

解: 因为cos(π +α )= -sinα = - 1 ,

1 所以sinα = . 3
因为?是第二象限角,
1 sin( ? ? ? ) ? -sin ? ? ? . 所以 3

【特别提醒】
解答这类给值求值的问题,首先应把所给的值进行 化简,再结合被求值的式子的特点,观察所给值的 式子与被求式的特点,找出它们之间的内在联系, 特别是角之间的关系,恰当地选择诱导公式.

sin ?1 440? ? ? ? cos ? ?-1080? ? -1 4. 化简 =___________. cos ?-180?-? ? sin(-?-180?)

【解题关键】1 440°=4×360°,1 080°=3×360°.

【解析】(1)原式=

sin(4 ? 360? ? ?)cos ? 3 ? 360?-? ? cos ?180? ? ? ?[-sin(180? ? ?)]

sin?cos ?-? ? cos ? ? ?- 1. = ?-cos ? ? sin ? -cos ?

5. 已知α 为第三象限角,f(α (1)化简f(α ); (2)若

?? ? ? 3? ? sin ? ?- ? cos ? ? ?? 2? ? ? 2 ? )= sin(-?-?)

? ?? ? ? ? -sin ? -? ? cos ? ? ? ( ? ?) ? 2 ?2 ? ? ? 解:f(α)= ?sin( ? ? ?) ? ?? ?? -cos? ?-cos ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?cos?sin ? ? = ? ? ?cos ?. sin? sin ?
3? ? ? ?? ?? ?? ? ②因为 sin ? ? - ? - sin ? ? - ? ? sin - ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 ? ? ?2 ?? ?2 ?

3? ? 1 ? sin ? ?- 求f(α ? ?- , 2 ? 5 ?

)的值.

=cos α,所以

1 cos ? ? - , 即 f ? ? ? ? 1 . 5 5

【特别提醒】
化简三角函数式的策略
(1)化简时要使函数类型尽量少,角的弧度数(或角度数) 的绝对值尽量小,特殊角的正弦、余弦函数要求出值. (2)要认真观察有关角之间的关系,根据需要合理选择诱 导公式变角.

正弦函数和余弦函数的诱导公式
sinα -sinα -sinα sinα cosα cosα cosα

-cosα -cosα

-sinα
cosα cosα

-sinα

sinα

把希望建筑在意欲和心愿上面的人 们,二十次中有十九次都会失望. ——大仲马


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