辽宁省大连市第二十四中学2015年高考模拟考试数学(文)试卷

2015 年大连市第二十四中学高考模拟考试数学(文科)试卷
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1、 设集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 ,集合 B 为函数 y ?
2

?

?

1 x ?1

的定义域, 则 A? B ? (



A. B. C. D. iz ? 2 ? 4 i 2、若复数 z 满足 ,则在复平面内 z 对应的点的坐标是( A. ?2,4? B. ?2,?4? C. ?4,?2? D. ?4,2?



3、一枚质地均匀的正方体骰子,六个面上分别刻着一点至六点.甲乙两人各掷骰子一次, 则甲掷骰子向上的点数大于乙的概率为( ) A.

2 9

B.

1 4

C.

5 12

D.

1 2


?x ? y ? 1 ? 0 ? 4、变量 x 、 y 满足条件 ? y ? 1 ,则 ( x ? 2) 2 ? y 2 的最小值为( ? x ? ?1 ?
A.

3 2 2

B. 5

C.

5、将函数 y ? sin( x ?

?
6

9 2

D. 5

)( x ? R ) 的图象上所有的点向左平移

? 个单位长度,再把图象上 4


各点的横坐标扩大到原来的 2 倍,则所得的图象的解析式为( A. y ? sin(2 x ? C. y ? sin( ?

x ? )( x ? R ) 2 12

5? )( x ? R) 12

x 5? )( x ? R ) 2 12 x 5? )( x ? R ) D. y ? sin( ? 2 24
B. y ? sin( ?

6、某校通过随机询问 100 名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动,得到如下联表:
数学文科试卷 共 11 页 第 1 页

做 不 到 “光 盘 ” 能 做 到 “光 盘 ” 男 女 附: K 2 ? 45 30 10 15

P( K 2 ? k )
k

0.10 2.706 )

0.05 3.841

0.01 6.635

n(n11n22 ? n12 n21 )2 ,则下列结论正确的是( n1? n2? n?1n?2

A.在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“该校学生能否做到?光盘?与性别无关” B.有 99%以上的把握认为“该校学生能否做到?光盘?与性别有关” C.在犯错误的概率不超过 10%的前提下,认为“该校学生能否做到?光盘?与性别有关” D.有 90%以上的把握认为“该校学生能否做到?光盘?与性别无关”
? 2) , b ? (1 , cos ? ) ,且 a ? b ,则 sin 2? ? cos2 ? 的值为 7、已知向量 a ? (sin ?,

A.1

B.2

C.

1 2

D.3

8、如图所示程序框图中,输出 S ? ( ) A. 45 B. ? 55 C. ? 66 D. 66 9、某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3, 则正视图中的 x 的值是( ) A.2 B.

9 2

C.

3 2

D.3 第 8 题图

10、下图可能是下列哪个函数的图象(



第 10 题图 第 9 题图 A. y ? 2 ? x ? 1
x 2

B. y ?

2x sin x 4x ? 1
x ln x

C. y ? ( x ? 2 x)e
2

x

D. y ?

11、已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为 F1、F2 ,这两
数学文科试卷 共 11 页 第 2 页

条曲线在第一象限的交点为 P , ?PF 1F 2 是以 PF 1 为底边的等腰三角形。若 PF 1 =10 ,椭 圆与双曲线的离心率分别为 e1、e2 ,则 e1 ? e2 的取值范围是( A. ? 0, ? ?? B. ? , ? ?? )

?1 ?3

? ?

C. ? , ? ??

?1 ?5

? ?

D. ? , ? ??

?1 ?9

? ?

12、若 a 是 f ( x) ? sin x ? x cos x 在 x ? (0, 2? ) 的一个零点,则 ?x ? (0, 2? ) ,下列不等 式恒成立的是( ) B. cos a ?

sin x sin a ? A. x a 3? ? a ? 2? C. 2

sin x x

D. a ? cos a ? x ? cos x

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生依据要求作答。 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上)
? 13、在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a, b, c ,且 c ? 4 2,B ? 45 ,面积 S ? 2 ,

则 b 等于____________. 14、已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱和底面垂直,且所有棱长都相等,若该三棱柱的各 顶点都在球 O 的表面上,且球 O 的表面积为 7? ,则此三棱柱的体积为 .

15、在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的一个 三等分点,则 CP ? CB ? CP ? CA ? .

16、已知函数 f ( x) ? ?

2 ? ?? x ? ax( x ? 1) , 若 ?x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 , 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ), 2 a x ? 7 a ? 14( x ? 1) ? ?

则实数 a 的取值范围是____________.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
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17、 (本小题满分 12 分) 已知等比数列{ an }的前 n 项和为 S n , an ? 0, a1 ? (Ⅰ )求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ )设数列{ bn }满足 bn ? log3 (1 ? Sn?1 ) ? 1,求适合方程 b1b2 ? b2b3 ? ... ? bnbn ?1 ? 正整数 n 的值.

2 3 1 1 ,且 ? , , 成等差数列。 3 a2 a3 a4

25 的 51

18、 (本小题满分 12 分) 2014 年“五一”期间,高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按 进服务区的先后每间隔 50辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将他 们在某段高速公路的车速( km / t )分成六段:

[60, 65), [65, 70), [70, 75), [75,80), [80,85), [85,90)
后得到如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ )求这 40 辆小型车辆车速的众数及平均车速(可 用中值代替各组数据平均值) ; (Ⅱ )若从车速在 [60, 70) 的车辆中任抽取 2 辆, 求车速在 [65, 70) 的车辆至少有一辆的概率.

19、 (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 2 的 正方形,四边形 BDEF 是矩形,平面 BDEF⊥ 平面 ABCD, BF=3,G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中点. (Ⅰ )求证:AC⊥ 平面 BDEF; (Ⅱ )求证:平面 BDGH//平面 AEF; (Ⅲ )求多面体 ABCDEF 的体积.

20、 (本小题满分 12 分)
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y 2 x2 3 6 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,且经过点 (1, ), a b 3 2
抛物线 C2 : x2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点 F 与椭圆 C1 的一个焦点重合. (Ⅰ )过 F 的直线与抛物线 C2 交于 M , N 两点,过 M , N 分别作抛物线 C2 的切线 l1 , l2 , 求直线 l1 , l2 的交点 Q 的轨迹方程; (Ⅱ )从圆 O : x2 ? y 2 ? 5 上任意一点 P 作椭圆 C1 的两条切线,切点为 A, B , 证明: ?APB 为定值,并求出这个定值.

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x) ? x2 ? 2ax ? b (ab ? 0) ,且 f (0) = 0 . 设曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线 l1 的斜率为 k1 ,过原点的另一条切线 l2 的斜率为 k2 . (1)若 k1 : k2 = 4 : 5 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 k2 = tk1 时,函数 f ( x ) 无极值,且存在实数 t 使 f (b) < f (1- 2t ) 成立,求实数 a 的取值范围.

考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的
数学文科试卷 共 11 页 第 5 页

题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分,不涂, 按本选考题的首题进行评分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙O 的半径为 6,线段 AB 与⊙O 相交于点 C 、 D , AC =4 , ?BOD ? ?A , OB 与⊙O 相交于点 E . (1)求 BD 长; (2)当 CE ⊥OD 时,求证: AO ? AD .

O E A C D B

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极 坐标方程为 ? ?

?
4

,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cos ? . y ? sin ? ? ?
8 ,求点 M 轨 3

(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (2)过点 M 平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 A, B 两点,若 MA ? MB ? 迹的直角坐标方程.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 3 , g ( x) ? x ?1 ? 2 . (1)解不等式 g ( x) ? 5 ; (2)若对任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

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2015 年大连市第二十四中学高考模拟考试 数学(文科)试卷答案及评分标准
一.选择题:DCCDB 二.填空题:13.5 三.解答题: 17.解: (1)设数列 { an } 的公比为 q ,由 ? 解得 q ? CABDC 14. BA 15.4 16. ? ??,2?

9 4

?3,5?

1 2 3 1 1 , , 成等差数列,得 ?3 ? 2 ? , a2 a3 a4 q q

1 1 ,或 q ? ?1 (舍) .所以 an ? 2 ? ( ) n ……………………………6 分 3 3 2 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 3 (2)因 S n ?1 ? 3 . ? 1 ? n ?1 ,所以 log 3 (1 ? S n ?1 ) ? ?n ? 1 ,故 bn ? ? 1 3 n ? 1 1? 3

bnbn ?1 ?

1 1 1 . ? ? (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2
? bnbn ?1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 3 3 4 ? 1 1 1 1 ? ? ? n ?1 n ? 2 2 n ? 2

b1b2 ? b2b3 ?
依题意得

1 1 25 . ? ? 2 n ? 2 51 解得 n ? 100

……………………………12 分

18.解: (1)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5 ………2 分 这 40 辆小型车辆的平均车速为:

2 ? 62.5 ? 4 ? 67.5 ? 8 ? 72.5 ? 12 ? 77.5 ? 10 ? 82.5 ? 4 ? 87.5 ? 77 ( km / t )……5 分 40 (2)从图中可知,车速在 [60, 65) 的车辆数为: m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆)
车速在 [65, 70) 的车辆数为: m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆) 设车速在 [60, 65) 的车辆设为 a , b ,车速在 [65, 70) 的车辆设为 c, d , e, f ,则所有基本事

(a, b),(a, c),(a, d ),(a, e),(a, f ),(b, c),(b, d ),(b, e),(b, f )(c, d ),(c, e),(c, f ),(d , e), 件有:
(d , f )(e, f ) 共 15 种 其中车速在 [65, 70) 的车辆至少有一辆的事件有: (a, c),(a, d ),(a, e),(a, f ),(b, c),(b, d ), (b, e),(b, f ),(c, d ),(c, e),(c, f ),(d , e),(d , f ),(e, f ) ,共 14 种 14 所以,车速在 [65, 70) 的车辆至少有一辆的概率为 P ? . ……………………………12 分 15
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19.解: (Ⅰ )证明:因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD . 又因为平面 BDEF ? 平面 ABCD ,平面 BDEF 平面 ABCD ? BD , 且 AC ? 平面 ABCD , 所以 AC ? 平面 BDEF . ……………………….4 分

(Ⅲ )由(Ⅰ ) ,得 AC ? 平面 BDEF , 又因为 AO ? 2 ,四边形 BDEF 的面积 S 所以四棱锥 A ? BDEF 的体积 V1
BDEF

…………………………8 分

? 3? 2 2 ? 6 2 ,
BDEF

1 ? ? AO ? S 3 同理,四棱锥 C ? BDEF 的体积 V2 ? 4 .
所以多面体 ABCDEF 的体积 V

? 4.

? V1 ? V2 ? 8 .

…………………12 分

20.解: (Ⅰ )设椭圆的半焦距为 c ,则 椭圆方程为

c 3 ,即 a ? 3c ,则 b ? 2c , ? a 3

y2 x2 6 ? ? 1 ,将点 (1, ) 的坐标代入得 c2 ? 1 , 2 2 3c 2c 2 2 2 y x ? ? 1 焦点坐标为 (0, ?1) , 故所求的椭圆方程为 3 2 2 故抛物线方程为 x ? 4 y .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2 设直线 MN : y ? kx ? 1 , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,代入抛物线方程得 x ? 4kx ? 4 ? 0 , 1 2 1 1 则 x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4 ,由于 y ? x ,所以 y ' ? x ,故直线 l1 的斜率为 x1 , 4 2 2
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1 1 1 1 l1 的方程为 y ? x12 ? x1 ( x ? x1 ) ,即 y ? x1 x ? x12 , 4 2 2 4 1 1 2 同理 l2 的方程为 y ? x2 x ? x2 , 2 4 1 1 2 1 1 2 1 令 x1 x ? x1 ? x2 x ? x2 ,即 ( x1 ? x2 ) x ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ,显然 x1 ? x2 , 2 4 2 4 2 1 1 故 x ? ( x1 ? x2 ) ,即点 Q 的横坐标是 ( x1 ? x2 ) , 2 2 1 1 2 1 1 2 1 点 Q 的纵坐标是 y ? x1 x ? x1 ? x1 ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x1 x2 ? ?1 ,即点 Q(2k , ?1) , 2 4 4 4 4 故点 Q 的轨迹方程是 y ? ?1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分
(Ⅱ )证明:① 当两切线的之一的斜率不存在时,根据对称性,设点 P 在第一象限, 则此时 P 点横坐标为 2 ,代入圆的方程得 P 点的纵坐标为 3 , 此时两条切线方程分别为 x ? 2, y ? 3 ,此时 ?APB ? 若 ?APB 的大小为定值,则这个定值只能是

π , 2

π .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 2 ② 当两条切线的斜率都存在时,即 x ? ? 2 时,设 P( x0 , y0 ) ,切线的斜率为 k ,
则切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 与椭圆方程联立消元得 (3 ? 2k 2 ) x2 ? 4k ( y0 ? kx0 ) x ? 2(kx0 ? y0 )2 ? 6 ? 0 .· · · · · · · · · · · · · · 6分 由于直线 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 是椭圆的切线, 故 ? ? [4k ( y0 ? kx0 )]2 ? 4(3 ? 2k 2 )[2(kx0 ? y0 )2 ? 6] ? 0 ,
2 2 整理得 (2 ? x0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 )k 2 ? 2x0 y0k ? ( y0 ? 3) ? 0 .·

2 y0 ?3 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 2 ? x0 π 2 2 2 2 点 P 在圆 x ? y ? 5 上,故 y0 ,所以 k1k2 ? ?1,所以 ?APB ? . ? 3 ? 2 ? x0 2 π 综上可知: ?APB 的大小为定值 ,得证.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2

切线 PA, PB 的斜率 k1 , k2 是上述方程的两个实根,故 k1k2 ? ?

1 3 x ? ax 2 ? bx 3 k1 ? f ?(0) ? b ,设 l2 与曲线 y ? f ( x) 的切点为 ( x0 , y0 )( x0 ? 0) 2 2 3 y 1 2 2 ? ax0 ? 0 ,即 x0 ? ? a , 则 x0 ? 2ax0 ? b ? 0 ? x0 ? ax0 ? b 所以 x0 3 2 x0 3 3 9 2 3 2 2 则 k2 ? f ?(? a ) ? a ? 3a ? b ? ? a ? b . 2 4 4
21. (1)由已知 f ( x) ?
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又 4k2 ? 5k1 ,所以 ?3a ? 4b ? 5b ,即 b ? ?3a
2

2

因此 f ?( x) ? x2 ? 2ax ? 3a2 ? ( x ? 3a)( x ? a) ① 当 a ? 0 时, f ( x ) 的增区间为 (??, ?3a) 和 (a, ??) ,减区间为 (?3a, a) . ② 当 a ? 0 时, f ( x ) 的增区间为 (??, a) 和 (?3a, ??) ,减区间为 (a, ?3a) . ………..5 分

3 2 a ? b ? tb, ab ? 0 ,∴t ? 1 , 4 3a 2 3a 2 2 于是 b ? ,所以 f ?( x) ? x ? 2ax ? , 4(1 ? t ) 4(1 ? t )
(2)由(1)若 k2 ? tk1 ,则 ? 由 f ( x ) 无极值可知, ? ? 4a ?
2

所以

1 ? 4t 1 ? 0, ? t ? 1 1? t 4

3a 2 1 ? 4t 2 a ? 0, ? 0 ,即 1? t 1? t

3a 2 由 f (b) ? f (1 ? 2t ) 知, b ? 1 ? 2 t ,即 ? 1? 2 t , 4(1 ? t ) 就是 3a2 ? 4(1 ? t )(1 ? 2t ) , 3 1 3 2 而 ? t ? 1 ,故 {4(1 ? t )(1 ? 2t )}max ? ,所以 3a ? , 2 4 2 2 2 又 a ? 0 ,因此 a ? (? …………………..12 分 , 0) (0, ). 2 2
22、 (1)∵ OC=OD,∴ ∠ OCD=∠ ODC,∴ ∠ OCA=∠ ODB, ∵ ∠ BOD=∠ A,∴ △ OBD∽ △ AOC.∴ ∵ OC=OD=6,AC=4,∴

BD OD , ? OC AC

BD 6 BD=9.…………………5 分 ? ,∴ 6 4

(2)证明:∵ OC=OE,CE⊥ OD.∴ ∠ COD=∠ BOD=∠ A. ∴ ∠ AOD=180? –∠ A –∠ ODC=180? –∠ COD–∠ OCD=∠ ADO. ∴ AD=AO ……………………10 分

x2 ? y 2 ? 1 ……………………4 分 2 ? 2t ? x ? x0 ? ? 2 (2)设点 M ? x0 , y0 ? 及过点 M 的直线为 l1 : ? ? y ? y ? 2t 0 ? ? 2 2 3t ? 2tx0 ? 2 2ty0 ? x0 2 ? 2 y0 2 ? 2 ? 0 由直线 l1 与曲线 C 相交可得: 2
23、 (1)直线 l : y ? x ,曲线 C :
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x 2 ? 2 y0 2 ? 2 8 8 MA ? MB ? ? 0 ? ,即: x02 ? 2 y02 ? 6 3 3 3 2 x2 ? 2 y 2 ? 6 表示一椭圆……………………8 分
x2 ? y 2 ? 1得: 3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0 2 由? ? 0得? 3 ? m? 3
取 y ? x ? m 代入 故点 M 的轨迹是椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 6 夹在平行直线 y ? x ? 3 之间的两段弧……10 分

24、(1)由 x ? 1 ? 2 ? 5 得 ?5 ? x ?1 ? 2 ? 5

??7 ? x ?1 ? 3 ,得不等式的解集为 ? x ?2 ? x ? 4? ……………………5 分
(2)因为任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 所以 { y | y ? f ( x)} ? { y | y ? g ( x)} , 又 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 3 ?| (2x ? a) ? (2x ? 3) |?| a ? 3| ,

g ( x) ?| x ? 1| ?2 ? 2 ,所以 | a ? 3 |? 2 ,解得 a ? ?1 或 a ? ?5 , 所以实数 a 的取值范围为 a ? ?1 或 a ? ?5 .……………………10 分

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