河南省辉县市第一高级中学2011届高三12月月考 数学(文)

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辉县市一中 2010-2011 学年高三 12 月份考试
数学试卷(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,考生作答时,将答案答在 答题卡上,在本试卷上答题无效。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. )
1. 已知集合 A={直线} B={椭圆},则集合 A∩B 中元素的个数为 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 0 个 1 个或 2 个 2.若 co s ? ? 2 sin ? ? ? 5 , 则 ta n ? ? A. ?
1 2
x 3.函数 f ( x ) ? ( ) ?

B.2
1 x 的零点所在区间为

C.

1 2

D.-2

3

A. ( 0 , )

1

B. ( , )

1 1

C. ( ,1 )

1

D. (1,2)

3 3 2 2 4.已知函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ? ? ) 的部分图象如图所示,则

函数 f ( x ) 的解析式为 A. f ( x ) ? 2 sin( B. f ( x ) ? 2 sin( C. f ( x ) ? 2 sin( D. f ( x ) ? 2 sin(
1 2 1 2 1 2 x? x? x ?

?
4

) )

3? 4

?
4

)

1 2

x?

3? 4

)
'

5. 等比数列 ? a n ? 中,a 1 ? 2 ,a 8 =4, 函数 f ? x ? ? x ( x ? a 1 )( x ? a 2 ) ? ( x ? a 8 ) , f ? 0 ? ? 则 A. 2
6

B. 2
? ? x ? 1, ? x ? 1,
2 ?1

9

C. 2

12

D. 2

15

6. 函数 f ? x ? ? ?

x ? 0, x ? 0,

则不等式 x ? ? x ? 1 ? f ? x ? 1 ? ? 1 的解集是 B. ?x | x ? 1? D. ?x | ? 2 ? 1 ? x ?
2 ?1

A. ?x | ? 1 ? x ? C. ?x | x ?
2 ?1

?

?

?

7.若不等式组 ? x

?x ? 0 ? ? 3y ? 4 ?3 x ? y ? 4 ?

所表示的平面区域被直线 y ? k x ?

4 3

分为面积相等的两部分,

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则 k 的值是 A.
7 3

B.

3 7

C.

4 3

D.

3 4

8、若某几何体的正视图为下图(1) ,则此几何体的俯视图不可能是 ....

9.阅读程序框图(图 2) ,若输出的 S 的值等于 16,那么在程序框图中的 判断框内应填写的条件是 A.i>5 B.i>6 C.i>7 D.i>8 10、记实数 x1 , x 2 , … x n 中的最大数为 m ax { x1 , x 2 , … x n },最小数为 min{ x1 , x 2 , … x n }.已知
?ABC 的 三 边 边 长 为 a 、 b 、 c ( a ? b ? c ) , 定 义 它 的 倾 斜 度 为
t ? m ax{ a b c a b c , , } ? m in { , , } , b c a b c a

则“t=1”是“ ? A B C 为等边三解形”的 A)充分布不必要的条件 B)必要而不充分的条件 C)充要条件 D)既不充分也不必要的条件 2 11.已知抛物线 y =2px(p>0)的经过焦点的弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2), y1y2 则 的值一定等于 x1x2 A.4 B.-4 C.p2 D.-p2 12.下列命题中是假命题的是 ... A. ? m ? R , 使 f ( x ) ? ( m ? 1) ? x B. ? a ? 0 , 函数 f ( x ) ? ln
2

m ?4m ?3

2

是幂函数

, 且在 ( 0 , ?? ) 上递减

x ? ln x ? a 有零点

C. ? ? , ? ? R , 使 cos( ? ? ? ) ? cos ? ? sin ? ; D. ? ? ? R , 函 数 f ( x ) ? sin ( 2 x ? ? ) 都不是偶函数

数学(文科)试卷第 II 卷(共 90 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷中横线上)
13.在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,△ABC,△ACD,△ADB 的面积 2 3 6 分别为 , , ,则该三棱锥的体积为________. 2 2 2 14.已知 i 和 j 是两个互相垂直的单位向量, a ? i ? 2 j , b 锐角,则实数 ? 的取值范围是___________. 15. f ( x ) ? x ? 3 x ? 2 在区间 ? ? 1,1 ? 上的最大值是
3 2

?

?

?

?

?

?

? ? ? i ? ? j

,且 a 与 b 的夹角为

?

?

16.若函数 f ( x ) ?

d
2

ax ? bx ? c 其图象如图所示, a : b : c : d ?

(a, b, c, d ? R ) ,



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(16 题图)

三、解答题,本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 A 算步骤
17.如图,有一壁画,最高点 A 处离地面 4m,最低点

B 处离地面 2m,若从离地高 1.5m 的 C 处观赏它,
则离墙多远时,视角 ? 最大? 1.5 m 第 17 题 C ?
?

B D 2m

4m

β

18.数列{an}是等差数列,a 1 ? f ? x ? 1 ? ,a 2 ? 0 ,a 3 ? f ? x ? 1 ? , 其中 f ? x ? ? x ? 4 x ? 2 ,
2

数列{an}前 n 项和存在最小值。 (1)求通项公式 an (2)若 b n ?

?

2

?

an

,求数列 ? a n ? b n ? 的前 n 项和 s n

19.正△ A B C 的边长为 4, C D 是 A B 边上的高, E , F 分别是 A C 和 B C 边的中点,现将△
A B C 沿 C D 翻折成直二面角 A ? D C ? B .

(1)试判断直线 A B 与平面 D E F 的位置关系,并说明理由; (2)求二面角 E ? D F ? C 的余弦值; (3)在线段 B C 上是否存在一点 P ,使 A P ? D E ?证明你的结论.
A E

A

E
D F C

D F
B

C

B

→ → → → 20.已知两点 M(-2,0),N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,且满足|MN||MP|+MN· =0. NP (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 N 的直线 l 的斜率为 k,且与曲线 C 相交于点 S、T,若 S、T 两点只在第二象限
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内运动,线段 ST 的垂直平分线交 x 轴于 Q 点,求 Q 点横坐标的取值范围.

21. 已知函数

f ( x ) ? ? x ? 1 ? ? a ln x ? 1
2

(a ? R , a ? 0).

(1)当 a ? 8 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [ e ? 1, e ? 1] 上的最小值.
2

22.选做题(本小题满分 10 分。 ) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,圆 O 的直径 AB=10,弦 DE⊥AB 于点 H,BH=2。 (1)求 DE 的长; (2)延长 ED 到 P,过 P 作圆 O 的切线, 切点为 C,若PC=2 5 ,求PD的长。 A O C

P D H





文数答案
一:ABBBC CAAAB BD 6 1 13. 14. ( ? ? , ? 2 ) ? ( ? 2 , ) 6 2 15. 2 16. 1: (-6) (-8) :5:

17、解:

, 当 CD=x 时,

当且仅当

时等号成立。

答:离墙

m 时,视角 最大

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? ?2 ?

1 2

? 2?

1? 2

n ?1

1? 2

? (2n ? 4) ? 2

n ?1

? 3 ? ?n ? 3? ? 2

n

19.解:法一: (I)如图:在△ABC 中, 由 E、F 分别是 AC、BC 中点, 得 EF//AB,又 AB ? 平面 DEF,EF ? 平面 DEF. ∴AB∥平面 DEF. (II)∵AD⊥CD,BD⊥CD ∴∠ADB 是二面角 A—CD—B 的平面角 ∴AD⊥BD ∴AD⊥平面 BCD ∴EM⊥平面 B
P D Q N F E M A

C

取 CD 的中点 M,这时 EM∥AD

BCD

过 M 作 MN⊥DF 于点 N,连结 EN,则 EN⊥DF ∴∠MNE 是二面角 E—DF—C 的平面角,在 Rt△EMN 中,EM=1,MN=
3 2

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∴tan∠MNE=

2 3 3

,cos∠MNE=

21 7

(Ⅲ)在线段 BC 上存在点 P,使 AP⊥DE… 证明如下:在线段 BC 上取点 P。使 BP ?
1 3
1 3 BC ,过 P 作 PQ⊥CD 与点 Q,

∴PQ⊥平面 ACD ∴AQ⊥DE∴AP⊥DE…

∵ DQ ?

DC ?

2 3 3

在等边△ADE 中,∠DAQ=30°

法二: (Ⅱ)以点 D 为坐标原点,直线 DB、DC 为 x 轴、y 轴,建立空间直角坐标系, 则 A 0, B 0, C (0, 2) (2, 0) (0, 3 , 0 , ), E ( 0 , 3 ,1), F (1, 3 , 0 ) … 2
A z

平面 CDF 的

法向量为 DA ? ( 0 , 0 , 2 ) 设平面 EDF 的法向量为 n ? ( x , y , z )
E

则?

? DF ? n ? 0 ? ? DE ? n ? 0 ?

即?

?x ? ?

3y ? 0

? 3y ? z ? 0 ?

取 n ? (3,?

3 ,3 )

D F P

C

cos ? DA , n ??

DA ? n | DA || n |

?

21 7

B

所以二面角 E—DF—C 的

x

余 弦

y

值为

21 7

(Ⅲ)在平面坐标系 xDy 中,直线 BC 的方程为 y ? ? 3 x ? 2 3 设 P ( x ,2 3 ?
3 x , 0 ), 则 AP ? ( x , 2 3 ?
4 3

3 x ,? 2 )
? BP ? 1 3 BC …

? AP ? DE ? AP ? DE ? 0 ? x ?

所以在线段 BC 上存在点 P,使 AP⊥DE
20. (1)设点 P(x,y),根据题意则有: → → → → MN=(4,0),|MN|=4,|MP|= (x+2)2+y2,NP=(x-2,y), → → → → 代入|MN||MP|+MN· =0,得:4 (x+2)2+y2+4(x-2)=0. NP 整理得点 P 的轨迹 C 的方程:y2=-8x. (2)设 S(x1,y1),T(x2,y2), 由题意得:ST 的方程为 y=k(x-2)(显然 k≠0) 与 y2=-8x 联立消元得:ky2+8y+16k=0, 8 则有:y1+y2=- ,y1y2=16. k 因为直线交轨迹 C 于两点, 则 Δ=b2-4ac=64-64k2>0, 8 再由 y1>0,y2>0,则- >0,故-1<k<0. k
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4 4 可求得线段 ST 中点 B 的坐标为(- 2+2,- ), k k 所以线段 ST 的垂直平分线方程为 4 1 4 4 y+ =- (x+ 2-2).令 y=0 得点 Q 横坐标为 xQ=-2- 2, k k k k 4 xQ=-2- 2<-6.,所以 Q 点横坐标的取值范围为(-∞,-6). k

21.(Ⅰ)解:⑴当 x ? 1 时
f '( x ) ? 2 ( x ? 1) ? 8 x ?1 ? 2 ( x ? 1) ? 8
2

, f ( x ) ? ( x ? 1) ? 8 ln ( x ? 1)
2

x ?1



由 f '( x ) ? 0 得 2 ( x ? 1) ? 8 ? 0 , 解得 x ? 3 或 x ? ? 1 .
2

注意到 x ? 1 ,所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (3, ? ? ) . 由 f '( x ) ? 0 得 2 ( x ? 1) ? 8 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 3 ,
2

注意到 x ? 1 ,所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (1, 3) .
f '( x ) ? 2 ( x ? 1) ? 8 1? x ? ? 2 ( x ? 1) ? 8
2

⑵当 x ? 1 时, f ( x ) ? ( x ? 1) ? 8 ln (1 ? x ) ,
2

1? x



由 f '( x ) ? 0 得 2 ( x ? 1) ? 8 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 3 ,
2

注意到 x ? 1 ,所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ? 1,1) . 由 f '( x ) ? 0 得 2 ( x ? 1) ? 8 ? 0 ,解得 x ? 3 或 x ? ? 1 ,
2

由 x ? 1 ,所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 ( ? ? , ? 1) . 综上所述,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ? 1,1) , (3, ? ? ) ; 单调递减区间是 ( ? ? , ? 1) , (1, 3) . (Ⅱ)当 x ? [ e ? 1, e ? 1] 时, f ( x ) ? ( x ? 1) ? a ln ( x ? 1) ,
2 2

f '( x ) ? 2 ( x ? 1) ?

a x ?1

?

2 ( x ? 1) ? a
2

所以
2

x ?1

?

2x ? 4x ? 2 ? a
2

x ?1

设 g (x) ? 2 x ? 4 x ? 2 ? a . ⑴当 a ? 0 时,有 ? ? 0 , 此时 g ( x ) ? 0 ,所以 f '( x ) ? 0 , f ( x ) 在 [ e ? 1, e ? 1] 上单调递
2

增.所以

f ( x ) m in ? f ( e ? 1) ? e ? a
2

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⑵当 a ? 0 时, ? ? 1 6 ? 4 ? 2 ( 2 ? a ) ? 8 a ? 0 .
x ?1? 2a 2 2a 2 x ? 1? 2a 2 2a 2

令 f '( x ) ? 0 ,即 2 x ? 4 x ? 2 ? a ? 0 ,解得
2



(舍);



f '( x ) ? 0

,即 2 x ? 4 x ? 2 ? a ? 0 ,解得
2

1?

? x ?1?



1?

2a 2

? e ?1
2

①若 所以

4 ,即 a ? 2 e 时, f ( x ) 在区间 [ e ? 1, e ? 1] 单调递减,

2

f ( x ) m in ? f ( e ? 1) ? e ? 2 a
2 4


[1 ? e ,1 ? 2a 2

1? e ? 1?

2a 2

? e ?1
2

②若 递减,
[1 ? 2a 2 2a 2

,即 2 e ? a ? 2 e 时, f ( x ) 在区间
2 4

]

上单调

,1 ? e ]
2

在区间
1?

上单调递增,所以

f ( x ) m in ? f (1 ?

2a 2

)?

a 2

? a ln

2a 2



? e ?1

③若 所以

2 ,即 0 ? a ? 2 e 时, f ( x ) 在区间 [ e ? 1, e ? 1] 单调递增,

2

f ( x ) m in ? f ( e ? 1) ? e ? a
2



2 2 f ( x ) m in ? f ( e ? 1) ? e ? a 综上所述,当 a ? 0 或 0 ? a ? 2 e 时, ;

当 2 e ? a ? 2 e 时,
2 4

f ( x ) m in ?

a 2

? a ln

2a 2

;

4 f ( x ) m in ? e ? 2 a 当 a ? 2 e 时, .

4

22. (1)AB为圆O的直径,AB⊥DE,DH=HE, 2 DH =AH ? BH=2(10-2)=16, DH=4,DE=8 2 (2) PC切圆O于点C,PC =PD·PE,

?2

5

?

2

=PD· (PD+8) PD=2。 ,

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