高中数学立体几何知识点总结大全

高中数学立体几何知识点总结大全 一、空间几何体的结构及其三视图与直观图 1.空间几何体的结构 (1)多面体 几何体 结构特征 备注 棱柱 ①底面互相平行. ②侧面都是平行四边形 ③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行. 按侧棱与底面是否垂直分类,可分为斜棱柱 和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜 棱柱,侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特 别地,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. ①底面是多边形. 棱锥 ②侧面都是三角形. ③侧面有一个公共顶点. 三棱锥的所有面都是三角形,所以四个面都可 以看作底. 三棱锥又称为四面体. ①上、下底面互相平行,且是相似图形. 棱台 ②各侧棱的延长线交于一点. ③各侧面为梯形. 可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 (2)旋转体 几何体 结构特征 备注 ①圆柱有两个大小相同的底面,这两个面互相平行,且底 面是圆面而不是圆. 圆柱 ②圆柱有无数条母线,且任意一条母线都与圆柱的轴平 圆柱可以由矩形绕其任一边所在 行,所以圆柱的任意两条母线互相平行且相等. 直线旋转得到. ③平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面,过轴的截 面(轴截面)是全等的矩形. ①底面是圆面. 圆锥 ②有无数条母线,长度相等且交于顶点. 圆锥可以由直角三角形绕其直角 ③平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面,过轴的截 边所在直线旋转得到. 面(轴截面)是全等的等腰三角形. ①圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面. 圆台可以由直角梯形绕直角腰所 圆台 ②有无数条母线,等长且延长线交于一点. 在直线或等腰梯形绕上、下底中点 ③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面,过 连线所在直线旋转得到,也可由平 轴的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. 行于底面的平面截圆锥得到. ①球心和截面圆心的连线垂直于截面. 球 ②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r 球可以由半圆面或圆面绕直径所 在直线旋转得到. 之间满足关系式: d ? R2 ? r 2 . 2.空间几何体的三视图 (1)三视图的概念 ①光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图叫做几何体的正视图; ②光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图叫做几何体的侧视图; ③光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图叫做几何体的俯视图. 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图. (2)三视图的画法规则 ①排列规则:一般地,侧视图在正视图的右边,俯视图在正视图的下边.如下图: 正 侧 俯 ②画法规则 ⅰ)正视图与俯视图的长度一致,即“长对正”; ⅱ)侧视图和正视图的高度一致,即“高平齐”; ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致,即“宽相等”. ③线条的规则 ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示; ⅱ)不能看见的轮廓线用虚线表示. (3)常见几何体的三视图 常见几何体 正视图 侧视图 俯视图 长方体 矩形 矩形 矩形 正方体 正方形 正方形 正方形 圆柱 矩形 矩形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆 圆台 等腰梯形 等腰梯形 两个同心的圆 球 圆 圆 圆 3.空间几何体的直观图 (1)斜二测画法及其规则 对于平面多边形,我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法,其画 法规则是: ①在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O.画直观图时,把它们画成对应的 x′轴和 y′ 轴,两轴相交于点 O′,且使∠x′O′y′=45°(或 135°),它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的线段. ③已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段,长度为原来的一半. (2)用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 ①在已知图形所在的空间中取水平平面,作互相垂直的轴 Ox,Oy,再作 Oz 轴使∠xOz=90°,且∠yOz=90°. ②画直观图时,把它们画成对应的轴 O′x′,O′y′,O′z′,使∠x′O′y′=45°(或 135°),∠ x′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面. ③已知图形中,平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x′轴、y′轴或 z′轴的 线段,并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. ④已知图形中平行于 x 轴或 z 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于 y 轴的线段,长度变为原来 的一半. ⑤画图完成以后,擦去作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图. 直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为 S ? 2 2 ,即原图面积是直观图面积的 2 2 倍, S? ②直观图面积是原图面积的 1 = 2 倍. 22 4 二、空间几何体的表面积与体积 1.旋转体的表面积 圆柱(底面半径为 r, 圆锥(底面半径为 r, 圆台(上、下底面半径分别为 母线长为 l) 母线长为 l) r′,r,母线长为 l) 侧面展开图 底面面积 侧面面积 表面积 S底 ? πr2 S侧 ? 2πrl S表 ? 2πr ?r ? l? S底 ? πr2 S侧 ? πrl S表 ? πr ?r ? l? S上底 ? πr?2, S下底 ? πr2 S侧 ? πl ?r? ? r? ? ? S表 ? π r?2 ? r2 ? r?l ? rl 多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面积. 2.柱体、锥体、台体的体积公式 几何体 体积 柱体 V柱体 ? Sh (S 为底面面积,h 为高) V圆柱 ? πr2h (r 为底面半径,h 为高) 锥体 V锥体 ? 1 3 Sh (S 为底面面积,h 为高) V圆锥

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