2016年高三数学二轮复习考点汇编专题1.5函数与方程(原卷版)

热点 5 函数与方程
【热点考法】本热点大多数情况考小题,选择填空都有可能,属于中等难度的题目,在大题
中出现也有可能,但如果考应用题主要在理解题意上容易造成得分两极分化.但命题组多次 表示只要出得到好的应用题就会在高考中用.做有函数应用大题的打算会让你成功更有把 握.分值 5-14 分。
【热点考向】
考向一 函数零点的确定与应用 【解决法宝】常见的函数零点(即方程的根)的确定问题有:①函数零点值或大致存在区间的 确定;②零点个数的确定;③两函数图象交点的横坐标的确定或有几个交点.解决这类问题 的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是那些两端对应的函数类 型不同的方程多用数形结合法求解.函数零点(即方程的根)的应用问题,是指已知函数零点 的存在情况求参数的值或取值范围的问题.解决该类问题的关键是用函数方程思想或数形结 合思想,构建关于参数的方程或不等式求解. 注意:方程 f(x)=0 有实根?函数 y=f(x)的 图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点.函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x) 的实数根,也就是函数 y=f(x)图象与函数 y=g(x)图象交点的横坐标. 例 1【黑龙江省哈尔滨三十二中 2016 届高三上学期期末】函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一 个区间是( ) A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1) D.(1,2) 例 2【山东省临沂市 2016 届高三上学期期中】定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0 时,f(x)

=

,则关于 x 的方程 f(x)=a(0<a<1)的所有根之和为

() A.3﹣a﹣1 B.1﹣3﹣a C.3a﹣1 D.1﹣3a 考向二 函数的实际应用 【解决法宝】解应用题首先要正确理解题意,将实际问题化为数学问题,再利用数学知识: 函数、导数、不等式解决数学问题,再回归到实际问题来解决. 找函数关系是关键,一定要 准确理解题目意思,弄清题设条件,最终将之化为函数问题解决. 例 3 北京市丰台区 2016 届高三第一学期期末数学文 8)某地实行阶梯电价,以日历年(每年 1 月 1 日至 12 月 31 日)为周期执行居民阶梯电价,即:一户居民用户全年不超过 2880 度(1 度

=千瓦时)的电量,执行第一档电价标准,每度电 0.4883 元;全年超过 2880 度至 4800 度之 间的电量,执行第二档电价标准,每度电 0.5383 元;全年超过 4800 度以上的电量,执行第 三档电价标准,每度电 0.7883 元.下面是关于阶梯电价的图形表示,其中正确的有

单价(元/度)

电费(元/年)

0.7883
0.5383 0.4883

2439.84 1406.30

B A

o

2880

4800

年用电量(度)

O



0.7883元/度
0.5383元/度 0.4883元/度

线段PQ左侧阴影部分的面积 表示年用电量为x度时的电费
P

2880 4800


年用电量(度)

Q

o

x 2880

4800

年用电量(度)



参考数据:0.4883元/度? 2880度=1406.30元,

0.5383元/度? (4800-2880)度+1406.30元=2439.84元.

A.①② B.②③ C. ①③ D.①②③

【热点集训】

1.【吉林省长春外国语学校 2016 届高三上学期期末】函数 y=(x+2)ln|x|的图象大致为( )

2.【五校联合体高三基础知识摸底考试数学试题】 f (x) ? 2x ? x3 的零点所在区间为( )

A.(0,1)

B.(-1,0)

C.(1,2)

D.(-2,-l)

3.【惠安一中、养正中学、安溪一中 2015 届高三上学期期中联合考试】已知函数

?1, x ? 0

f

(x)

?

?

? ??

1 x

,

x

?

,则使方程
0

x?

f

(x)

?

m 有解的实数 m 的取值范围是(



A. (1, 2)

B. (??, ?2]

C. (??,1) (2, ??) D. (??,1] [2, ??)

4. 【拉萨中学高三年级(2015 届)第三次月考试卷】在下列区间中,函数 f (x) ? e x ? 4x ? 3

的零点所在的区间为( )

A. (0, 1 ) 4

B. (1 , 1 ) 42

C. (1 , 3) 24

D. ( 3 ,1) 4

5. 【甘肃省河西五市部分普通高中 2016 年 1 月高三第一次联考】已知函数

f

(x)

?

?| ?

log3

x

|,

0

??

??? cos( 3 x),3

? ?

x x

? ?

3 9

,若存在实数

x1



x2



x3



x4

,当

x1

?

x2

?

x3

?

x4

时满足

f (x1) ? f (x2 ) ? f (x3) ? f (x4 ) ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 的取值范围是( )

A. (7, 29) 4

B. (21,135) 4

C. [27, 30)

D. (27,135) 4

6. 【江西省五校第二次联考高三数学试卷】已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足

① f (x) ? f (2 ? x) ? 0 ,② f (x) ? f (?2 ? x) ? 0 ,③在[?1,1] 上表达式为

f

(x)

?

?? 1? x2 ???x ?[?1,0] ? ??1? x????????x ? (0,1]

,则函数

f

(x)

与函数

g(x)

?

??2x?????????x

?log ??

1 2

x???x

≤0 ?0

的图像在区间

[?3,3] 上的交点个数为( )

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

7. 【长春市普通高中 2016 届高三质量监测(二)】 已知函数 f (x) 满足 f (x) ? f (2 ? x) ? 2 ,

当 x ? (0,1] 时, f (x) ? x2 ,当 x ? (?1, 0] 时, f (x) ? 2 ? 2 ,若定义在 (?1,3) 上的 f ( x ?1)

函数 g(x) ? f (x) ? t(x ?1) 有三个不同的零点,则实数 t 的取值范围是

A. (0, 1] B. [1 , ??)

2

2

C. (0, 6 ? 2 7)

D. (0, 6 ? 2 7)

8. 【浙江省慈溪市、余姚市 2015 届高三上学期期中联考】设函数 f (x) 的零点为 x1 ,

g(x) ? 4x ? 2x ? 2 的零点为 x2 ,若 x1 ? x2 ? 0.25 ,则 f (x) 可以是

A. f (x) ? (x ?1)2 B. f (x) ? ex ?1

C. f (x) ? ln(x ? 1)2 2

D. f (x) ? 4x ?1

9.【拉萨中学高三年级(2015 届)第三次月考试卷】设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,对 x ? R ,

都有 f (x ? 2) ? f (x ? 2) ,且当 x ? ?? 2,0? 时,f (x) ? (1 ) x ?1,若在区间 (?2,6] 内关于 x 的
2 方程 f (x) ? loga (x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根,则 a 的取值范围是( )

A. (1,2)

B. (2,+∞)

C. (1, 3 4 )

D. (3 4,2)

10.【甘肃省定西市通渭县榜罗中学 2016 届高三上学期期末】已知函数 f(x)

=

的图象与直线 y=x 恰有三个公共点,则实数 m 的取值范围是( )

A.(﹣∞,﹣1] B.[﹣1,2) C.[﹣1,2] D.[2,+∞)

11. 【宁夏银川九中高三年级期中试卷】下面是函数 f(x)在区间[1,2]上的一些点的函数值

x

1

1. 25 1.375 1.4065 1.438 1.5 1.61 1.875 2

f(x) -2

-0.984 0.260 -0.052 0.165 0.625 -0.315 4.35 6

由此可判断:方程 f(x)=0 在[1,2]解的个数( )

A.至少 5 个

B.5 个

C.至多 5 个

D.4 个

12. 【山东省临沂市 2016 届高三上学期期中】某商场 2014 年一月份到十二月份销售额呈现

先下降后上升的趋势,下列函数模型中能较准确反映该商场月销售额 f(x)与月份 x 关系的

是( )

A.f(x)=a?bn(b>0,且 b≠1) B.f(x)=lognx+b(a>0,且 a≠1)

C.f(x)=x2+ax+b D.f(x)=

13.【

2015 届高三六校联考(一)】已知函数

?a ?ex ,x ? 0 f(x)??

,其中 e 为自然对数的底

?? ln x,x ? 0

数,若关于 x 的方程 f ( f ( x )) ? 0 ,有且只有一个实数解,则实数 a 的取值范围为( )

A. ???,0?

B. ???,0? ?0,1?

C. ?0,1?

D. ?0,1? ?1,???

14. 【山东省临沂市 2016 届高三上学期期中】已知实数 a,b 满足 2a=3,3b=2,则函数 f(x) =ax+x﹣b 的零点所在的区间是( )

A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1) D.(1,2)

15.【三明一中 2014—2015 学年第一学期学段考试高三数学试题】函数 f(x)= x-cos x

在[0,+∞)内 A.没有零点 C.有且仅有两个零点

B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

()

16.【贵州省黔南州 2016 届高三(上)期末】已知函数 f(x)=x2﹣ax,g(x)=b+aln(x﹣1),

存在实数 a(a≥1),使 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象无公共点,则实数 b 的取值范围为

()

A.[1,+∞) B.[1,

) C.[

) D.(﹣



18.【 广西钦州市钦州港经济技术开发区中学 2016 届高三上学期期末】已知函数 f(x)

=

的图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 对,

则实数 a 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

19.【黑龙江省哈尔滨六中 2016 届高三上学期期末】若 f(x)为偶函数,且 x0 是的 y=f(x) +ex 一个零点,则﹣x0 一定是下列哪个函数的零点( ) A.y=f(﹣x)ex﹣1 B.y=f(x)ex+1 C.y=f(x)ex﹣1 D.y=f(x)e﹣x+1
20.【长春市普通高中 2016 届高三质量监测(二)】已知函数 f (x) ? 2 ? 2 ,当 x ? (0,1] f ( x ?1)

时, f (x) ? x2 ,若在区间 (?1,1] 内, g(x) ? f (x) ? t(x ?1) 有两个不同的零点,则实数 t 的

取值范围是

A. [1 , ??) B. [? 1 , 1] C. [? 1 , 0) D. (0, 1]

2

22

2

2

21.【北京市东城区

2016

届高三第一学期期末】已知函数

f

(x)

?

?1

? ?

x

? 1,

0 ? x ? 2 ,如果关

??ln x, x ? 2

于 x 的方程 f (x) ? k 有两个不同的实根,那么实数 k 的取值范围是( )

A. (1, ??)

B.[ 3 , ??) 2

3
C.[e2 , ??)

D.[ln 2, ??)

22.【甘肃省白银市会宁四中 2016 届高三上学期期末】方程 x2﹣2x=3(|x﹣1|﹣1)的根是 .

23. 【江苏省苏州市 2014—2015 学年第一学期高三期中调研测试试卷】函数 y ? lg x ?1 ? 1 的 x
零点个数是 .

24.【甘肃省白银市会宁四中 2016 届高三上学期期末】已知 f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),

x∈(﹣1,1).现有下列命题:①f(﹣x)=f(x);②f(

)=2f(x);③|f(x)|≥2|x|.其

中的所有正确命题的序号是 .

25. 【江苏省泰州中学 2016 届第一学期高三第二次月考 19】设 a ? R, f (x) ? x x ? a .

(1)若函数 f (x) 在 ?0,???上为单调函数,求实数 a 的取值范围;

(2)设 a ? 0 . ①证明:函数 F (x) ? f (x) ? 1 x 有 3 个零点;
2

②若存在实数

t(t

?

a)

,当

x

? ?0, t ? 时函数

f

(x)

的值域为

???0,

t? 2 ??

,求实数

a

的取值范围.

26. 【山东潍坊一中 2016 届高三 10 月考 20】某地空气中出现污染,须喷洒一定量的去污剂

进行处理.据测算,每喷洒 1 个单位的去污剂,空气中释放的浓度 y (单位:毫克/立方米)随

着时间

x

(单位:天)变化的函数关系式近似为

y

?

? 16

??8 ?5

? ?

x 1

?1,0 ? x ? 4 x,4 ? x ? 10

,若多次喷洒,则某

?2

一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知,

当空气中去污剂的浓度不低于 4(毫克/立方米)时,它才能起到去污作用.

(Ⅰ)若一次喷洒 4 个单位的去污剂,则去污时间可达几天?

(Ⅱ)若第一次喷洒 2 个单位的去污剂,6 天后再喷洒 a(1 ? a ? 4) 个单位的去污剂,要使接下

来的 4 天中能够持续有效去污,试求 a 的最小值(精确到 0.1 ,参考数据: 2 取1.4 ).
27. 【2015届黄石二中、鄂南高中、鄂州高中三校高三上学期期中联考数学试题】为改善 购物环境,提高经济效益,某商场决定投资800万元改造商场内部环境,据调查,改造好购物
环境后,任何一个月内(每月按30天计算)每天的顾客人数 f ?x? 与第x天近似地满足 f ?x? ? 8 ? 8
x
(千人),且每位顾客人均购物金额数 g?x? 近似地满足 g?x? ? 143 ? x ? 22 (元).
(1)求该商场第 x 天的销售收入 p?x?(单位千元,1≤x≤30, x ? N ? )的函数关系;

(2)若以最低日收入的 20%作为每一天纯收入的计量依据,商场决定以每日纯收入的 5%收回投资成本,试问商场在两年内能否收回全部投资成本. 28.【常州市武进区 2015 届高三上学期期中考试】为了保护环境,某工厂在国家的号召下,
把废弃物回收转化为某种产品,经测算,处理成本 y (万元)与处理量 x (吨)之间的函数 关系可近似的表示为: y ? x2 ? 40x ? 900 ,
⑴ 当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少?
⑵ 若每处理一吨废弃物可得价值为 20 万元的某种产品,同时获得国家补贴10 万元.当
x ??20, 25? 时,判断该项举措能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,请求
出国家最少补贴多少万元,该工厂才不会亏损?


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