不等式练习 +答案

周末练习 6

姓名_________

班级_________________

<不等式基础练习>

不等 式基础练习
一、选择题 1. (2013 年高考北京卷(文) )设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则

( D. a3 ? b3



A. ac ? bc
【答案】D

B.

1 1 ? a b

C. a 2 ? b 2

2 . (2013 年 高考课标Ⅱ卷(文) )设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x-3y 的最小值是 (



A.
【答案】B

B.-6

C.

D.-3

? x ? y ? 8, ? 2 y ? x ? 4, ? 3 . (2013 年高考四川卷 (文) ) 若变量 x, y 满足约束条件 ? 且 z ? 5 y ? x 的最大值为 a ,最小值为 b , x ? 0, ? ? ? y ? 0,
则 a ? b 的值是 A. 48 【答案】C ( B. 30 C. 24 D. 16 )

4. 【2012 高考陕西文 10】 小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b (a<b) , 其全程的平均时速为 v, 则 ( A.a<v< ab C. B.v= ab



ab <v<

a?b 2

D.v=

a?b 2
s s a?b 2s 2ab ? ,所以 v ? , 、 ? ab ? ? ?0 ? a ? b , s s a?b a b 2 ? a b

【答案】A. 【解析】 设甲乙两地相距 s , 则小王用时为

2ab 2ab 2 1 ,? a ? v ? ab .故选 A. ? ? ? a .? a?b a ? b 2b ab
5 . (201 3 年高考福建卷(文) )若 2
x

? 2 y ? 1 ,则 x ? y 的取值范围是
C. [?2,??) D. (??,?2]





A. [0,2]
【答案】D

B. [?2,0]

6 . (2013 年高考江西卷(文) )下列选项中,使不等式 x<

1 2 < x 成立的 x 的取值范围是 x
D.(1,+ )





A.(
【答案】A

,-1)

B.(-1,0)

C.0,1)

7.【2012 高考浙江文 9】若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是

周末练习 6

姓名_________

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<不等式基础练习>

A.

24 5

B.

28 5

C.5

D.6

【答案】C 【解析】?x+3y=5xy,

1 3 1 1 3 1 3x 12 y 13 )? ? ? ? 5 , (3x ? 4 y ) ? ( ? ) ? ( ? 5 y x 5 y x 5 y x

8.【2012 高考湖南文 7】设 a>b>1, c ? 0 ,给出下列三个结论: ①

1 13 ? 2 ? 36 ? ? 5 . 5 5 c c > a b

[www.z#zste&*p~.c@om]

;② a c < b c ; ③ logb (a ? c) ? log a (b ? c) ,
[ 中*国教育@^ 出 ~版网#]

其中所有的正确结论的序号是 __ . A.① B.① ② 【答案】D C.② ③

D.① ②③

1 1 c c ? ,又 c ? 0 ,所以 > ,①正确;由指数函数的图像与性质知②正确; a b a b 由 a>b>1, c ? 0 知 a ? c ? b ? c ? 1 ? c ? 1 ,由对数函数的图像与性质知③正确.
【解析】由不等式及 a>b>1 知 【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质,不等关 系,考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点.

? x? y ?3? 0 ? 9.【2102 高考福建文 10】若直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 则实数 m 的最大值为 ? x?m ?
A.-1 10.【答案】B. B.1 C.

3 2

D.2

【解析】如图

当直线 x ? m 经过函数 y ? 2 x 的图像与直线 x ? y ? 3 ? 0 的交点

时,函数 y ? 2 x 的图像仅有一个点 P 在可行域内,由 ?

?

y ? 2x

?x ? y ? 3 ? 0

得 P(1,2) ,所以 m ? 1 .故选 B.

11. (2013 年高考湖北卷(文) )某旅行社租用 A 、 B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行, A 、 B 两种车辆的

载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆.则租金最少为 ( ) A.31200 元 B.36000 元 C.36800 元 D.38400 元 【答案】C 12. (2013 年高考陕西卷(文) )若点(x,y)位于曲线 y = |x|与 y = 2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值为 ( )

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姓名_________

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<不等式基础练习>

A.-6
【答案】A

B.-2

C.0
2 2

D.2

13. (2013 年高考重庆卷 (文) ) 关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 8a ? 0 ( a ? 0 )的解集为 ( x1 , x2 ) ,且: x2 ? x1 ? 15 ,

则a? A.

( B.



5 2

7 2

C.

15 4

D.

15 2

【答案】A 二、填空题 14.(2013 年上海高考数学试题(文科) )不等式 【答案】 (0,

x ? 0 的解为_________. 2x ?1

1 ) 2

15.【2012 高考湖南文 12】不等式 x2-5x+6≤0 的解集为______. 【答案】 x 2 ? x ? 3

?

? ? ?

【解析】由 x2-5x+6≤0,得 ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 ,从而的不等式 x2-5x+6≤0 的解集为 x 2 ? x ? 3 .

16.【2012 高考江西文 11】不等式 【答案】 (?3,2) ? (3, ? ?)

的解集是___________。

【解析】原不等式等价为 ?

?x2 ? 9 ? 0 ?x ? 2 ? 0

或?

?x2 ? 9 ? 0 ?x ? 2 ? 0

,即 ?

? x ? 3或x ? ?3 ?? 3 ? x ? 3 或? ,解得 x ? 3 或 ?x ? 2 ?x ? 2

? 3 ? x ? 2 ,所以原不等式的解集为 (?3,2) ? (3, ? ?) 。
? x ? 0, ? 17. (2013 年高考大纲卷(文) )若 x、y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4, 则 z ? ? x ? y的最小值为 ____________. ?3 x ? y ? 4, ?
【答案】0

?x ? 2 ? 18. (2013 年高考浙江卷(文) )设 z ? kx ? y ,其中实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,若 z 的最大值为 12,则 实 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
数 k ? ________ .
【答案】2

?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? 19. (2013 年高考山东卷(文) )在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 所表示的区域上一 ?y ? 0 ?
动点,则直线 OM 的最小值为_______
【答案】

2

周末练习 6

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<不等式基础练习>

? x?0 ? 20. (2013 年高考北京卷(文) )设 D 为不等式组 ? 2 x ? y ? 0 ,表示的平面区 域,区域 D 上的点与点(1,0) 之 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
间的距离的最小值为___________.
【答案】
2

2 5 5

21.【2102 高考福建文 15】已知关于 x 的不等式 x -ax+2a>0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围

是_________.
【答案】 (0,8) . 【解析】 x ? ax ? 2a ? 0 恒成立 ? ? ? 0 ,即 a ? 4 ? 2a ? 0 ,易得 0 ? a ? 8 .
2 2

22.【2012 高考江苏 13】 (5 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a , b ? R) 的值域为 [0 , ? ?) ,若关于 x 的不等式

f ( x) ? c 的解集为 (m , m ? 6) ,则实数 c 的值为 ▲ .
【答案】9。 【考点】函数的值域,不等式的解集。 【解析】由值域为 [0 , ? ?) ,当 x2 ? ax ? b=0 时有 V? a ? 4b ? 0 ,即 b ?
2

a2 , 4

a2 ? a? ??x? ? 。 ∴ f ( x) ? x ? ax ? b ? x ? ax ? 4 ? 2?
2 2

2

a? a a a ? ∴ f ( x) ? ? x ? ? ? c 解得 ? c ? x ? ? c , ? c ? ? x ? c ? 。 2? 2 2 2 ?

2

a a ∵不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m , m ? 6) ,∴ ( c ? ) ? (? c ? ) ? 2 c ? 6 ,解得 c ? 9 。 2 2 【点评】本题考查一元二次不等式的解法,考查简单的运算能力.
23. (2013 年高考重庆卷(文) )设 0 ? ? ? ? ,不等式 8 x ? (8sin ? ) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒成立,则 a 的取
2

值范围为____________.
【答案】 [0,

?
6

] ?[

5? ,? ] 6

24 . ( 2013 年 高 考 四 川 卷 ( 文 ) )已知函数

a ? __________.
【答案】36

a f ( x) ? 4 x ? ( x ? 0, a ? 0) 在 x ? 3 时 取 得 最 小 值 , 则 x

25. (2013 年高考陕西卷(文) )在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部

分), 则其边长 x 为___(m).

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<不等式基础练习>

【答案】20 26. (2013 年上海高考数学试题(文科) )设常数 a ? 0 ,若 9 x ?

a2 ? a ? 1 对一切正实数 x 成立,则 a 的取值范 x

围为________.
【答案】 [

1 , ??) 5
2

27.【2012 高考四川文 16】设 a, b 为正实数,现有下列命题: ①若 a ? b ? 1 ,则 a ? b ? 1 ;
2

②若

1 1 ? ? 1 ,则 a ? b ? 1 ; b a
3 3

③若 | a ? b |? 1 ,则 | a ? b |? 1 ; ④若 | a ? b |? 1 ,则 | a ? b |? 1 。 其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的编号) 【答案】①④ 【解析】① a ? b ? 1 ? (a ? b)(a ? b) ? 1 ,? a ? b ? a ? b , a ? b ? 1 所以是真命题;②
2 2

1 1 ? ? 1 时无法 b a

确定 a ? b ? 1 ,是假命题;③ a ? 9, b ? 4 时 | a ? b |? 1 , | a ? b |? 5 ? 1 ,是假命题;④同①可证,为真 命题.故选①④.
三、解答题 28. (2013 年上海高考数学试题(文科) )本题共有 2 个小题.第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

甲厂以 x 千米 / 小时的速度匀速生产某种产品 ( 生产条件要求 1 ? x ? 10 ), 每小时可获得的利润是

3 100(5 x ? 1 ? ) 元. x
(1)求证:生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a(5 ?

1 3 ? ); x x2
3? ?, x?

(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该如何选取何种生产速度?并求此最大利润.
【答案】解:(1)每小时生产 x 克产品,获利 100 ? 5 x ? 1 ?

? ?

生产 a 千克该产品用时间为

3? a 1 3? a ? ? ,所获利润为 100 ? 5 x ? 1 ? ? ? ? 100a ? 5 ? ? 2 ? . x? x x x ? x ? ? ? ?
? ? 1 1 ? 61 ? 1 3? ? 2 ? ? 90000 ? ?3 ? ? ? ? ? x x ? ? ? x 6 ? 12 ?

(2)生产 900 千克该产品,所获利润为 90000 ? 5 ? 所以 x ? 6 ,最大利润为 90000 ?

61 ? 457500 元. 12

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<不等式基础练习>

29. 某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物—— “福娃” .该厂所用的主要原料为 A,B 两种贵重金属,已知生产一套奥运会标志需用原料 A 和原料 B 的 量分别为 4 盒和 3 盒,生产一套奥运会吉祥物需用原料 A 和原料 B 的量分别为 5 盒和 10 盒.若奥运 会标志每套可获利 700 元,奥运会吉祥物每套可获利 1 200 元,该厂月初一次性购进原料 A,B 的量分别 为 200 盒和 300 盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大,最大利润为 多少? 解答:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为 x,y 套,月利润为 z 元,由题意,得

4x+5y≤200, ? ?3x+10y≤300, ?x≥0, ? ?y≥0.

(x,y∈N)

目标函数为 z=700x+1 200y. 作出可行域如图 D24 所示 7 z 目标函数可变形为 y=- x+ , 12 1 200


4 7 3 ∵- <- <- , 5 12 10 7 z z ∴当直线 y=- x+ 通过图中的点 A 时, 最大,这时 z 最大. 12 1 200 1 200
? ?4x+5y=200, 解? 得点 A 的坐标为(20,24). ?3x+10y=300, ?

D24

将点 A(20,24)代入 z=700x+1 200y,得 zmax=700×20+1 200×24=42 800 元 答:当该厂生产奥运会标志和吉祥物分别为 20,24 套时,月利润最大,最大利润为 42 800 元.


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